浅析构造法在解题中的应用袁炳金（ 四川省射洪中学 ，629200）数学的人文价值不仅为数学是现代文明的一部分，而且体现为数学对现代文明的深远影响。

所以，置身于平凡抽象的数学问题中，追求思维简易化，挖掘蕴涵其中的数学思想，整理归纳其中的数学方法，学会“点石成金”之术，建立完整的知识网络体系，发展真正的数学创新能力，这是数学学习的宗旨。

构造法，它是根据问题中的条件或结论的特征，以问题中的数学关系为“框架”，以问题中的数学“元件”，构造出新的对象或数学模型，从而使问题转化并得到解决的方法。

它往往表现出简洁、明了、精巧，新颖等特点。

但如何应用构造法解题，这是一项创造性工作，现结合一些具体的题目，略陈管见。

一、构造对偶式 解决问题前，充分观察所给式子的结构特征，构造出与已知式子结构相同或对称，奇偶、正余函数对换的式子，然后把它与原式经过或加减或乘除进行研究，有时会得到意想不到的效果。

例1. （1）求︒︒+︒+︒50cos 20sin 50cos 20sin 22的值；（2）求证121212......654321-<-⋅⋅n nn（1）解：令A=︒︒+︒+︒50cos 20sin 50cos 20sin 22构造对偶式 B=︒︒+︒+︒50sin 20cos 50sin 20cos 22则：︒︒+︒︒+=+50sin 20cos 50cos 20sin 2B A︒+=70sin 2————————————————① ︒-︒+︒-=-30sin 100cos 40cos B A21)3070cos()3070cos(-︒+︒+︒-︒= 2170sin -︒-=————————————————② 由（①+②）÷2得A=43（2）证明：令n n A 212......654321-⋅⋅=构造对偶式 122......765432+⋅⋅=n nB显然：A<B 1211212+<⇒+=<⇒n A n AB A二、构造向量向量作为高中数学中很不起眼的一章，平时我们仅限于它自身知识的学习及作为其他章节的工具来用。

但实际上，因为它与标量的不同而形成的特殊运算规律与性质为我们解决多组数据或多维问题提供了很好的思维方向。

例2. （1）已知41sin sin =+βα，31cos cos =+βα，求)tan(βα+的值。

（2）已知πγβα20<<<<，0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα， 求αβ-的值。

（3）求使函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值时的x tan 的值。

（1）解：构造向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a得)41,31(=+，如图14331412tan ==+⇒βα 724)tan(=+⇒βα（2）解：构造向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ),sin,(cos γγββαα===由题=++1===，如图2，,,三等分单位圆， 又πγβα20<<<<, 所以32παβ=- （3）解：构造向量)cos ,(sin ),2,1(x x b a =-=显然b a x f ∙=)(，而≤∙，所以当且仅当a 与b 同向时)(x f 取最大值，图1图2此时21tan -=x 。

三、构造方程方程是我们再熟悉不过的了，但我们的学习不止与此，其它非方程问题是否也能够运用方程的思想来研究呢？ 例3. （1）求 (3)1313132+++的值； （2）在ABC ∆中，求证：81cos cos cos ≤C B A （1）解：构造方程x =+++ (31)313132 则：x x 3131......)313131(313132+=++++=21=⇒x当然，学习了等比数列我们这是一个无穷递缩等比数列的所有项之和问题，213113111=-=-=qS a（2）证明：构造方程: 令C B A x cos cos cos =[]C B A B A x cos )cos()cos(21-++=,02cos )cos(cos 2=+--⇒x C B A C由08)(cos 2≥--=∆x B A)(cos 812B A x -≤⇒81≤⇒x四、构造数列数列作为特殊的函数，它与函数既联系又区别。

对于正整数问题我们可以考虑用数列思想来研究。

例4. （1）已知不等式()32log 12121......21111+>+++++-a a n n n 对于N ∈n 且2≥n 恒成立，求a 的范围；（2）设()1......3221+++⨯+⨯=n n S n ，求证：()()21212+<<+n S n n n （1）解：构造数列{n a }: 令nn n a n 21......2111+++++=则：)1(2112121......31211++++++++=+n n n n n a n11)1(211211+-+++=-+n n n a a n n 0221121>+-+=n n 所以{}n a 单调递增只需32log 121)1(2+>-a a a )251,1(+∈⇒a （2）证明：构造数列{n a }: 令)1(+=n n a n而212)1(+=++<<n n n a n n )21(......)212()211(......321++++++<<++++⇒n S n n2)1(222)1(22+<+<<+⇒n n n S n n n 五、构造函数在高中阶段函数的地位是相当重要的，函数的图像和性质（尤其是函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性）为我们解决很多问题都带来了极大的方便。

所以在解题时，我们可以构造函数的性质解题或利用函数图像数形结合解题。

例5. （1）解方程：()x x x x +=-+-331212；（2）已知()1,0,,∈z y x ，证明：()()()1111<-+-+-x z z y y x 。

（1）解：构造函数x x x f +=3)(，显然)(x f 为单调递增函数由题)()12(x f x f =-x x =-⇒12 1=⇒x（2）证明：构造函数()()()1111)(--+-+-=x z z y y x x f1)1(--++--=yz z y x z y )1,0(∈x则)(x f 为一次函数或常值函数，且)1,0(,∈z y 。

因为0)1)(1()1()0(<---=+---=z y z y yz f 且0)1(<-=yz f0)(<⇒x f即：()()()1111<-+-+-x z z y y x 得证。

当然，根据题目的条件我们还可以构造曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）来解题。

六、构造几何图形在解决代数问题时还可以构造一些几何图形，让所给的量与关系在图形中反应出来，我们通过数形结合使问题变得简洁、明了，从而解决问题达到事半功倍的效果。

例6.（1）在ABC ∆中，2,3==a A π，则()_________max =∆ABC S ；（2）若+∈R c b a z y x ,,,,,，且k c z b y a x =+=+=+， 证明：2k cz by ax <++。

（1） 分析：因为任何一个三角形都有外接圆，由2==BC a ，3π=A ，所以构造图3所示ABC ∆的外接圆。

当点A 在BC 所对的优弧上时，∠A 的大小都不变。

很显然，当A 移动到弦BC 的中垂线与BC 的优弧的交点A ’时，三角形的面积最大。

此时三角形为等边三角形，()3max =∆ABC S 。

（2） 分析：由条件构造边长为k 的正ABC ∆（如图4）。

在三边上依次取分点D 、E 、F使z CD y BF x AE ===,,。

很显然ABC CD F BEF AED S S S S ∆∆∆∆<++。

然后运用正弦定理的面积公式即可得出结论：2k cz by ax <++。

七、构造二项式或多项式 例7.（1）化简_______1010910210110110010=+⋅⋅⋅++c c c c c c ;(2 )有限集S 的全部元素之积称为S 的“积数”，给定⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅⋅=1001,,41,31,21M ，则M的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和为__________。

解：（1）构造1010)1()1(x x ++，因为c c c c c c 1010910210110110010+⋅⋅⋅++c c c c c c 010910810110910010+⋅⋅⋅++=表示1010)1()1(x x ++展开式中9x 项的系数，而图3y CF 图4201010)1()1()1(x x x +=++，20)1(x +展开式中9x 项的系数为c 920。

所以，=+⋅⋅⋅++c c c c c c 1010910210110110010c920。

（2）构造99992210)1001()41)(31)(21(x a x a x a a x x x x +⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++， 由题即求9731a a a +⋅⋅⋅++。

显然199=a ，再分别令1=x 和1-=x 即可得20048519731=+⋅⋅⋅++a a a 。

总之，在解决有关数学问题时，我们要善于从多角度认识题目中的条件和结论的特征，挖掘出它们之间的内在联系，熟练、灵活的我们所学的数学知识必将能得到意想不到、事半功倍的效果。