⎧ x − y + 2 z − 1 = 0, 从而 l0 的方程为： ⎨ ⎩ x − 3 y − 2 z + 1 = 0,
25.【解】点 (3,0,2) 处切平面 x + 2 z = 7 ；点 (1,2,2) 处切平面 x + 4 y + 6 z = 21 . 26.【解】 3 x − 9 y − 12 z + 17 = 0. 27.【解】 （1）由梯度的几何意义知， h( x, y ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿梯度
⎧ ⎪ ⎧ ∂z ∂z ⎫ ⎪ x y {dx, dy} // ⎨ , ⎬ = ⎨− ,− ⎩ ∂x ∂y ⎭ ⎪ x2 y2 x2 y2 4 1 9 1 − − − − ⎪ 16 36 16 36 ⎩
即
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
4
dx dy , 这就是投影曲线应满足的微分方程，解之得 y = Cx 9 . = x y − − 4 9
2
x + 2 y + z = 4 平行 ⇔ τ 与该平面的法向量 n = {1,2,1} 垂直
1 2 ⇔ τ ⋅ n = 0 ⇔ 1 − 4t0 + 3t0 = 0 ⇔ t0 = 1 或 t0 = 故选（B）. 3
5.【解】应选（C）. 函数 f ( x, y ) 虽然在点 (0,0) 处的两个偏导数存在，但不一定可微，故 （A）不对. 取 x 为参数，则曲线 x = x ， y = 0 ， z = f ( x,0) 在 (0,0, f (0,0)) 的切向量为
令 x = 1, y = 3 ，知 C = 3 ，故过房顶上点 P(1,3, 11) 的雨水流下的路线方程为
⎧ x2 y2 z 4 1 = − − ⎪ ⎪ 16 36 ⎨ 4 ⎪ 9 ⎪ ⎩ y = 3x
4
r n = (2 x0 ,2 y0 ,1)
又因为切平面平行于平面 2 x + 2 y + z − 1 = 0 ，则
2 x0 2 y0 1 = = ， 2 2 1
x0 = y0 = 1, z0 = 2.
4.【解】应选（B）. 对应于 t0 处曲线切线的方向向量 τ = {1,−2t0 ,3t0 } ，该切线与平面
（2）令 f ( x, y ) = g ( x, y ) = 5 x + 5 y − 8 xy.
2 2 2
由题意，只需求 f ( x, y ) 在约束条件 75 − x − y + xy = 0 下的最大值点.
2 2
令 L( x, y, λ ) = 5 x + 5 y − 8 xy + λ (75 − x − y + xy ) ，则
x 2 + z 2 = ( x′) 2 + ( z′) 2 = 1 + y 2 ，所以有 x 2 + z 2 = 1 + y 2 .
16.【解】应填
2 {1,2,−2}. 9
17.【解】应填 2. 18.【解】应填
3 . 3
19.【解】应填 2 3. 20.【解】应填
4 13 −3 −4 13 ∂u . = ( −6) + 1⋅ + 5⋅ = 41 ∂l 41 41 416 + 25
= 2.
1
10.【解】应填 x − y + z = 0. 所求平面的法线向量 n 和两直线的方向向量都垂直，故
n = {1,−1,1}.
11.【解】应填 x − 3 y − z + 4 = 0. 12.【解】应填 x − 3 y + z + 2 = 0. 所求平面的法线向量 n = {1,0,−1} × {2,1,1} = {1,−3,1}. 13.【解】应填 2 x + 2 y − 3 z = 0. 所求平面的法线向量 n ⊥ {4,−1,2} ， n ⊥ {6,−3,2} ，取
∂z ∂z i+ j 的反方向 ∂x ∂y
3
下流，因而雨水从椭球面上流下的路线在坐标面 xoy 上的投影曲线上任一点处的切线应与
gradz 平行.
设雨水流下的路线在 xOy 面上的投影曲线的方程为 f ( x, y ) = 0 ，那么在它上面任一点 处的切向量为 {dx, dy} ，它应与 gradz 平行，所以有
grad h( x, y ) ( x
0 , y0 )
= ( y0 − 2 x0 )i + ( x0 − 2 y0 ) j
方向的方向导数最大. 方向导数的最大值为该梯度的模，所以
2 2 g ( x0 , y0 ) = ( y0 − 2 x0 ) 2 + ( x0 − 2 y0 ) 2 = 5 x0 + 5 y0 − 8 x0 y0 .
《高等数学辅导讲义》练习题解答 第八章 向量代数与空间解析几何 及多元微分在几何上的应用 1.【解】应选（C）. L1 和 L2 的方向向量分别为 s1 = {1,−2,1} 和 s2 = {−1,−1,2} ，
cosθ = s1 ⋅ s2 / | s1 || s2 | =
1 π ，θ = . 3 2
2 2 2 2
′ = 10 x − 8 y + λ ( y − 2 x) = 0 ⎧ Lx ⎪ ⎨ L′ y = 10 y − 8 x + λ ( y − 2 x ) = 0, ⎪ L′ = 75 − x 2 − y 2 + xy = 0. ⎩ x
①式与②式相加可得 ( x + y )(2 − λ ) = 0 ，从而得 y = − x 或 λ = 2. 若 λ = 2 ，则由①式得 y = x ，再由③式得 x = ±5 3 ， y = ±5 3. 若 y = − x ，则由③式得 x = ±5 ， y = m5. 于是得到 4 个可能的极值点
21.【解】应填 1. 22.【解】在点 (0,0,−1) 沿方向 {0,0 − 2}和点 (0,0,1) 沿方向 {0,02} 的方向导数最大，其最大 值为 4. 23.【解】
x y z−a = = , x + ay = 0. a a2 0
24.【解】设经过 l 且垂直于 π 的平面方程为 π 1 : A( x − 1) + By + C ( z − 1) = 0 ，则由条件可 知
M 1 (5,−5), M 2 (−5,5), M 3 (5 3 ,5 3 ), M 4 (−5 3 ,−5 3 ).
由于 f ( M 1 ) = f ( M 2 ) = 450 ， f ( M 1 ) = f ( M 4 ) = 150. 故 M 1 (5,−5) 或 M (−5,5) 可作为攀登的起点. 28.【解】雨水沿着 z 下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度 gradz =
{1,0,3} ，故应选（C）.
6.【解】应选（A）.
∂f y x ∂f = 2 =− 2 ， ，故 grad f 2 ∂x x + y ∂y x + y2
( 0 ,1)
= i.
7.【解】应选（A）. n = (1,−1,1) ,则切平面方程为 x − y + z = −2. 8.【解】应填 4. [(a + b) × (b + c)] ⋅ (c + a ) = 2(a × b) ⋅ c = 4. 9.【解】应填 2 . d =
n = {2,2,−3}.
14.【解】应填
1 0, 2 , 3 . 5
2 2 2
{
}
15.【解】应填 x + z = 1 + y . 设点 M ( x, y, z ) 是旋转曲面上的任一点，设它在直线上的对 应 点 M ′( x′, y, z′) ， 由 于 M ′ 在 直 线 上 ， 所 以 有 x′ = 1, y = z′ ， 由 题 意 有
2.【解】应选（C）.由于交成直线 L 的两平面的法线向量与 π 的法线向量均垂直，即
(1,3,2) ⊥ (4,−2,1),
(2,−1,−10) ⊥ (4,−2,1),
故 π 的法线向量与 L 的方向向量平行，因此，直线 L 垂直于 π . 3.【解】应选（C）.设 P 点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ), 则曲面在 P 点的法线向量为
A − B + 2C = 0,
2
A + B − C = 0,
由此解得 A : B : C = −1 : 3 : 2. 于是 π 1 的方程为
x − 3 y − 2 z + 1 = 0.
x = 2 y, ⎧ ⎪ 即⎨ 1 z = − ( y − 1). ⎪ 2 ⎩ 1 2 2 2 2 于是 l0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程为 x + z = 4 y + ( y − 1) . 4