是一个数, 与a 的乘积是一个新向量, 记作 a.
它的模 :
可见 1 1 a a a ;a ;
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运算律 : 结合律 (a ) (a )a
分配律 (a b )a b
则有单位 a向 1 a .量 因此 aaa
a
a
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
定理. 设 a 为非零向量 , 则
证: “ ”. 设 aa∥∥bb , 取 ＝±
(, a为,唯b 同一向实时数)
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故ba.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0
故0, 即.
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“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向
若
称为向量 ab垂直，记
零向量与任何向量都垂直
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,
记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 ,
则称此 k 个向量共面 .
8、两个模相等、____________的向量互为逆向量；
9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点
构成____________；
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、要始使点，a 则b终点a 构 b成成_立 ___，_向__量__a__,_b_应__满__足_____；_____
高等数学第七章8
一、向量的概念
M2
向向量 量（表矢示量 ：a）或：既M有1M大2小或又粗有体方字向母的。量. M 1
数向学量上的以模M：1向为量起的点大，M小2，为记终|点a的|或有|向M线1M 段2来| 表示向量.
零单向 位量向：量：模模长长为为0的1的向向量量，，记记0a规0 定或其M方1M 向2是0 任意的。
5、 与 _____无 关 的 向 量 称 为 自 由 向 量 ；
6、 平 行 于 同 一 直 线 的 一 组 向 量 叫 做 _________ ， 三
个 或 三 个 以 上 平 行 于 同 一 平 面 的 一 组 向 量 叫 做 ___
_________；
7、两向量___________，我们称这两个向量相等；
ABc,BCa表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.
谢
谢
观
12、要__使___a___b___a____b_成_；立，向量a,
b
应满足_______
___________ .
二 、 用 向 量 方 法 证 明 ： 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 .
三、把ABC 的BC边五等分，设分点依次为 D1,D2,D3,D4 ，再把各分点与点A连接，试以
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例. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试 a 与 用 b 表 M 示 ,M A ,M B ,M C . DD
C
解: abAC baBD
2MA b M
2MB A a B
M A1(ab) MB1(ba)
2
2
MC1(ab) MD1(ba)
2
2
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三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 4
a5
a3 s
a2 a1
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2. 向量的减法
三角不等式 两向量同向或反向时等号成立。
a
ab baຫໍສະໝຸດ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三. 向量与数的乘法
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二、向量的线性运算（加减法） 1. 向量的加法
a 平行四边形法则: b ab
三角形法则: ab b a
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运算规律 :交换律 a b b a
a b ba ab b
(ab)c c a(bc) bc
ab
a
b a
结合律 (ab)ca(bc) a b c
自由向量：不考虑起点位置的向量.
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相等向量：a大小相等且方向b相 同的向量a .记作 ab
负向量：大a 小相等但方向相反的a向量.
两向量的夹角 :任取空间 一点O
称取 为向量值 ab0 的范 ， 夹角围ab
零向量与其它向量夹角规定为[0, π] 任意值
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思考题解答
D b
A
a
C
M
B
BC AD AMMD
1(ab). 2
DCAB AMMB
1(ab). 2
一、填空：
练习题
1、 向 量 是 _________的 量 ；
2、 向 量 的 ___________叫 做 向 量 的 模 ；
3、 ___________的 向 量 叫 做 单 位 向 量 ；
4、 _____________的 向 量 叫 做 零 向 量 ；
a∥b
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在数轴上
1
•
oi
x
•
x
p
∥ OP x OP xi
点 p 1 1向O 量 P x i 1 1实数x
(x称为点 p 的在轴上的坐标)
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC
D b
BM MD A
a
C
M
B
AD AMMD MCBMBMMC
AD与 BC平行且相等, 结论得证.
BC
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四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
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思考题
已试知 用平aA,行bC表四示边a,平形行ABB四CD边D的形b对四角边线上对应的向量.