离散元法及其应用
吉林大学生物与农业工程学院 于建群 yujianqun@
一、引言
在自然界和工农业生产领域，大量存在着颗粒材料， 如农产品、肥料、土壤、药品、煤炭和岩石等。据估计 世界上50 % 的产品和75 % 的原材料都是颗粒材料。 在农业生产领域，耕地、开沟、播种、施肥、镇压、 脱粒、分离、清选、粉碎、干燥、输送、仓储、分级、 加工和包装等过程中，始终存在着颗粒材料与农机部件
颗粒材料，当颗粒间载荷超过颗粒间的摩擦结合力，颗粒
间开始滑移即屈服，但颗粒仍保持接触并相互摩擦。 人们已建立多种颗粒材料屈服条件，其中有双剪切模 型、塑性势模型和双滑移自由转动模型等。 摩擦塑性模型主要应用于准静态颗粒流。
有限元方法
在小变形的情况下，可采用有限元法分析准静态的颗
粒运动。此时，颗粒中心为单元节点。由接触建立节点间
连续介质
离散介质
二十世纪70年代后，许多物理学家、力学家和应用数学 家开始对颗粒运动的物理机制发生兴趣，建立了两类颗粒动 力学理论：①基于连续介质力学的理论，如颗粒动理论、摩 擦塑性模型和光滑粒子法等；②基于离散介质力学的理论， 如硬颗粒模型、软颗粒模型和Monte Carlo方法等。 连续介质力学理论是把物质或其特性，假设成无论在时 间还是在空间位置上，均是连续的或可用连续函数表示。因
论扩展到颗粒材料，在考虑颗粒碰撞及摩擦所造成的能量 损失的基础上，修正了Boltzmann方程，得到宏观的颗粒 相输运方程，并导出动理论模型，由此可求得固体体积分 数分布、颗粒速度分布和浓度分布等。 适合于稀薄颗粒的快流分析。
F
摩擦塑性模型
17世纪中期法国工程师Coulomb提出了土的抗剪强度
和土压力滑动理论，其后被推广为散体极限破坏的MohrCoulomb准则，在此基础上发展成为土力学。 摩擦塑性模型，即是将Mohr-Coulomb准则应用于
i
j i j
R1
δn
R2
以i 和j 颗粒接触为例，设其法向叠合量为 n ，由此产 生的法向接触作用力 Fn 可如下计算（局部坐标—胡克定律）
Fn
Fn Kn n
（斥力）
式中 K n 为接触的法向刚度系数。
由于切向接触作用力与运动和加载历史有关，因此切
向力通常采用增量形式计算，t 时刻的切向力 Fs(t ) 为


( t t / 2 ) (t t / 2) i i (t ) i 2


(t )
i
( t t / 2 ) (t t / 2) i i 2
(t t / 2) (t t / 2) Fi (t ) i i 1 t / 2 r r t 1 t / 2 m i
适于土力学的离散元法，并推出二维圆盘程序BALL和三 维圆球程序TRUBAL，后发展成商业软件PFC-2D/3D，形 成较系统的模型与方法。
块体模型
颗粒模型
3. 离散元法的基本方法
离散元法的基本思想是，把散粒群体简化成具有一 定形状和质量颗粒的集合，赋予接触颗粒间及颗粒与接 触边界(机械部件)间某种接触力学模型和模型中的参数 ，以考虑颗粒之间及颗粒与边界间的接触作用和散粒体 与边界的不同物理机械性质。
静态松弛法根据颗粒不平衡力达到再平衡时的力与位移 关系建立平衡方程组，通过求解方程组得到颗粒的新位置，
是一种隐式解法且需求解刚度矩阵。
动态松弛法采用牛顿第二定律求解颗粒的新位置如下。
动态松弛法——牛顿第二定律（球颗粒）：
(t ) (t ) r i mi F i
j , j i
连续介质
离散介质
连续介质理论的基本控制方程是连续方程、动量方 程和能量守恒方程。由于颗粒介质并不满足连续性的假 定，并且由于连续介质模型没有考虑颗粒物性参数、粒 径形状、大小及其分布等对颗粒流的影响，因此用连续
介质模型分析颗粒流一般误差较大。
目前进行相关农机部件设计时，大都依靠经验和试 验方法，既费时费力又得不到理想的效果。据估计仅由 颗粒材料输送所造成的相关设备利用损失就达 40% ，远 未达到优化设计和节省能源的要求。

i
求i 颗粒质心作用的合力和合力矩为（全局坐标系下）
(t ) N (t ) N (t ) (t ) Fi Fi j Fnij Fsij
j 1 j i j 1 j i
M
(t ) i
M
j 1 j i
N
(t ) ij
F Ri
j 1 j i (t ) sij
(t ) (t ) (t ) i Fi 0 r i mi r
(t ) I (t ) M (t ) 0 i i i i
动态松弛法——中心差分（数值积分）：
(t t / 2) (t t / 2) (t ) r i i r r i 2 (t ) i r (t t / 2) (t t / 2) i r r i 2
的联系，通过作用在节点上的力建立平衡方程。 有限元法适合模拟颗粒接触的拓扑结构不发生变化的 静态颗粒系统，在动态和大变形的情况下，大量接触的丢 失或产生，导致拓扑结构发生很大变化，这将需要耗费大 量的时间重新生成单元，其缺点是：①网格重构；②网格 变形较大还将产生计算不收敛；③缺少合适的分析模型， 如接触和变形模型、分离破裂模型等。
i j
R
1
R2
F
(t ) s
F
(t t ) s
Ks us
（静摩擦力）
式中 Fs(t t )为上一时步接触的切向作用力； K s 为接触的切向
刚度系数； us为接触点的切向相对位移； t 为计算时步。
Fn Kn n
F
(t ) s
F
(t t ) s
Ks us
2. 基于离散介质力学的理论
随着计算机技术的发展，基于离散介质力学的理论， 愈来愈引起人们的重视。
离散介质力学方法的思想源于较早的分子动力学，
适用于模拟颗粒群体的接触或碰撞过程，它的出现补充 了连续力学方法的不足。
硬颗粒模型(hard/rigid sphere model)
1985年Campbell提出硬颗粒模型，其思想是当颗粒 表面承受的应力较低时，颗粒不产生显著的塑性变形，碰 撞只在瞬间发生，在碰撞过程中颗粒本身不变形，并且只
(t ) (t ) (t ) i Fi 0 r i mi r
(t ) I (t ) M (t ) 0 i i i i
Fn Kn n Cn Vn
Fs(t ) Fs(t t ) Ks us Cs us / t
考虑两个颗粒的同时碰撞，而不计三个以上颗粒的同时碰
撞，采用动量守恒或能量守恒计算碰撞后颗粒的速度和位 置，广泛的应用于快速、低浓度颗粒流的模拟。
软颗粒模型(soft sphere model)
软颗粒模型又称为离散元法。
1971年Cundall提出适于岩石力学的离散元法(discrete
/distinct element method，DEM)，1979年Cundall又提出
耕翻土壤时牵引动力消耗，等等，此时必须考虑机械部件
与颗粒材料的接触作用及颗粒群体动力学问题 。
机械部件的优化需考虑颗粒动力学问题。
固体
颗粒
非均匀尺寸偏析
粮仓效应
成拱
颗粒材料的性质介于固体与流体之间，又称第四种物质 形态，有着复杂的力学特性：①非均匀尺寸偏析，如巴西果、 反巴西果和三明治效应；②粮仓效应；③成拱现象；④漏斗 现象；⑤自组织临界，等等。
(t t / 2) M i(t ) ( t t / 2 ) 1 t / 2 i i t 1 t / 2 I i
(t t ) (t ) (t t / 2) i ri ri r t
(t t / 2) t i(t t ) i(t ) i
4. 离散元法的应用
无 粘 干颗粒
接触作用 力为斥力
Fn Fn
图1 边坡稳定性分析
图2 块体拱的稳定性分析
此物质可以无限分割而不失去其固有特性，不考虑粒子的特
性，是描述物质整体及其特性的一种方法。
1. 基于连续介质力学的理论
颗粒动理论(kinetic theory)
研究发现快速颗粒流中单个颗粒的运动，与气体中的 分子热运动非常相似。因此，借鉴非均匀的稠密气体分子
运动理论，Ogawa定义了颗粒温度，Jenkins将气体的动理
①遍历所有颗粒，然后进入下一时步； ②显式解法， 适合于求解非线性问题。
由于其离散的特点，在分析高度复杂的系统时，无论 是颗粒还是边界均不需作大的简化；当赋予接触颗粒间不
同的接触模型时，还可以分析颗粒结块、颗粒群聚合体的
破碎过程、多相流动甚至可以包括化学反应和传热问题。 正是由于诸多优点，使得离散元法已成为研究颗粒群 体动力学问题的通用方法，并在岩土工程及装备、采矿工 程及装备、化工过程及装备、制药工程及装备、食品工程 及装备和农业工程及装备等研究领域得到较多应用。
颗粒的浓度，可将颗粒材料分为密相颗粒材料、松散颗粒
材料与稀薄颗粒材料。颗粒材料又可分为干颗粒材料(不含 液体)与湿颗粒材料(含液体)。 颗粒材料流动可分为：①准静态流动，流动的初始阶 段，当颗粒承受的载荷超过颗粒间静摩擦力时，颗粒间仍 保持接触但开始流动；②快流，流动完全发展阶段的快速 剪切流动；③慢流，处于准静态流动和快流的中间阶段。
(t ) Fi j
(t ) (t ) r 0 i mi F i
(t ) I M (t ) 0 i i i
(t ) I M (t ) i i i