2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2nn +，则在映射f 下，象20的原象是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C【解析】220n n +=，解得4n =．2．在复平面内，把复数3-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是A ．B ．-C 3iD ．3+ 【答案】B【解析】所求复数为1(3)[cos()sin()](3)()3322i ππ-+-=-=-．3，这个长方体对角线的长是A ．B ．C ．6D ．6 【答案】D【解析】设长、宽和高分别为,,a b c ，则ab bc ac ===，∴abc =∴1,a b c ===l ==．4．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 A ．若,αβ是第一象限角，则βαcos cos > B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则βαcos cos > D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ> 【答案】D【解析】用特殊值法：取60,30αβ=︒=︒，A 不正确；取120,150αβ=︒=︒，B 不正确； 取210,240αβ=︒=︒，C 不正确；D 正确．5．函数cos y x x =-的部分图像是【答案】D【解析】函数cos y x x =-是奇函数，A 、C 错误；且当(0,)2x π∈时，0y <．6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元 【答案】C【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为252045+=元，所以选C ．7．若1a b >>，()1lg lg ,lg 22a b P Q a b R +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则 A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q << 【答案】B 【解析】方法一：()11lg lg 22a b +>=lg 2a b +⎛⎫>= ⎪⎝⎭()1lg lg 2a b +，所以B 正确． 方法二：特殊值法：取100,10a b ==，即可得答案．8．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 A ．2cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2cos 1ρθ=-D ．()2sin 1ρθ=- 【答案】C【解析】设圆上任意一点(,)M ρθ，直径为2，则2cos(1)θρ-=，即()2cos 1ρθ=-．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，则高2h r π=，2222(2)12(2)2S r r S r πππππ++==全侧．10．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A．y = B．y = C ．x y 33= D ．x y 33-= 【答案】C【解析】圆的标准方程为22(2)1x y ++=，设直线的方程为0kx y -=，由题设条件可得1=，解得k =，由于切点在第三象限，所以k =x y 33=．11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则qp 11+等于 A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a【答案】C【解析】特殊值法．作PQ y ⊥轴，即将14y a =代入抛物线方程得12x a=±， ∴114a p q+=． 【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程．12．如图，OA 是圆锥底面中心A 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 A ．3arccos2B ．1arccos 2C ．arccos2 D ．4arccos 2【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，上半部分由共底的两个圆锥构成，过A 向轴作垂线AC ，垂足为C ，2cos ,cos cos OA r CA OA r θθθ===，∴2211(cos )3V r h πθ=，原圆锥的体积为2241122cos 33V r h V r h ππθ===，解得4cos 2θ=，∴4arccos 2θ=．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）． 【答案】252【解析】不同的出场安排共有3237252A A =．14．椭圆22194x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ． 【答案】(,)55-【解析】方法一：（向量法）设(,)P x y ，由题设120PF PF ⋅<u u u r u u u u r，即(,)(,)0x c y x c y +⋅-<，2220x c y -+<，又由22194x y +=得22449x y =-，代入2220x c y -+<并化简得225419x c <-=，解得55x -<<．方法二：（圆锥曲线性质）设(,)P x y ，∵3,2a b ==，∴5c =，又1533PF x =+， 253PF x =-，当12F PF ∠为钝角时，2221212PF PF F F +<，解得55x -<<．15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,...)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式是n a = ． 【答案】n1 【解析】条件化为11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，∵0n a >∴1(1)0n n n a na ++-=，即11n n a n a n +=+，累成得1n a n=．16．如图，,E F 分别为正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正 方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都．填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数213cos sin cos 1,22y x x x x =++∈R ． （I ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图像可由sin ()y x x =∈R 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分． （Ⅰ）2213113cos cos 1(2cos 1)cos )122444y x x x x x x =++=-+++ 13515cos 22(cos 2sin sin 2cos )4442664x x x x ππ=++=⋅+⋅+ 15sin(2)264x π=++． ——6分 y 取得最大值必须且只需22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6x k k Z ππ=+∈．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭| ——8分 （Ⅱ）将函数sin y x =依次进行如下变换：（i ）把函数sin y x =的图像向左平移6π，得到函数sin()6y x π=+的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数sin(2)6y x π=+的图像；（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横纵坐标不变），得到函数 1sin(2)26y x π=+的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数15sin(2)264x π=++的图像；综上得到函数213cos sin cos 122y x x x =++的图像． ——12分18．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1C CB ∠=160C CD BCD ∠=∠=︒．（I ）证明：1C C BD ⊥； （II ）假定132,2CD CC ==，记面1C BD 为α，面CBD 为β，求二面角BD αβ--的平面角的余弦值；（Ⅲ）当1CDCC 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明． 【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． （Ⅰ）证明：连结11,A C AC ，AC 和BD 交于O ，连结1C O ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴,AC BD BD CD ⊥=． 又∵1111,BCC DCC C C C C ∠=∠=， ∴11C BC C DC ∆≅∆，∴11C B C D =， ∵ DO OB =，∴ 1C O BD ⊥， ——2分 但1,AC BD AC C O O ⊥=I ，∴BD ⊥平面1AC ，又1CC ⊂平面1AC ，∴1CC BD ⊥． ——4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1,AC BD C O BD ⊥⊥，∴1C OC ∠是二面角BD αβ--的平面角．在1C BC ∆中，1132,,602BC C C BCC ==∠=︒， ∴222133132()22cos60224C B =+-⨯⨯⨯︒=． ——6分∵30OCB ∠=︒，∴112OB BC ==．∴22211139144C O C B OB =-=-=，∴132C O =，即11C O C C =．作1O H OC ⊥，垂足为H ．∴ 点H 是OC的中点，且OH =所以11cos 3OH C OC C O ∠==． ——8分 （Ⅲ）当11CDCC =时，能使1A C ⊥平面1C BD 证明一：∵11CDCC =，∴1BC CD C C ==， 又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，由此可推得11BD C B C D ==．∴ 三棱锥1C C BD -是正三棱锥． ——10分 设1A C 与1C O 相交于G ．∵11//A C AC ，且11:2:1AC OC =，∴1:2:1C G GO =． 又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形1C BD 的中心，∴ CG ⊥平面1C BD ．即1A C ⊥平面1C BD ． ——12分 证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面1AC ，∵1AC ⊂平面1AC ，∴1BD A C ⊥． ——10分 当11CDCC =时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同1BD A C ⊥的证法可得11BC A C ⊥，又1BD BC B =I ，∴1A C ⊥平面1C BD ． ——12分19．（本小题满分12分）设函数()f x ax =，其中0>a ．（I ）解不等式()1f x ≤；（II ）求a 的取值范围，使函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数．【解】本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．（Ⅰ）不等式()1f x ≤1ax ≤+，由此得11ax ≤+，即0ax ≥，其中常数0>a ．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当01a <<时，所给不等式的解集为2201a x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬-⎩⎭|； 当1a ≥时，所给不等式的解集为{}0x x ≥|． ——6分（Ⅱ）在区间),0[+∞上任取12,x x ，使得12x x <．22121212()()()()f x f x a x x a x x -=-=-12()x x a =--． ——8分（ⅰ）当1a ≥1<0a <，又12x x <，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >．所以，当1a ≥时，函数()f x 在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分（ii ）当01a <<时，在区间),0[+∞上存在两点12220,1ax x a ==-，满足1()1f x =，2()1f x =，即12()()f x f x =，所以函数()f x 在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当1a ≥时，函数()f x 在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分20．（本小题满分12分）（I ）已知数列{}n c ，其中23n nn c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ；（II ）设{}{},n n a b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明数列{}n c 不是等比数列．【解】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．（Ⅰ）因为{}1n n c pc +-是等比数列，故有21211()()()n n n n n n c pc c pc c pc +++--=--，将23n nn c =+代入上式，得112[23(23)]n n n n p +++-+221111[23(23)][(23(23)]n n n n n n n n p p ++++--=+-++-+， ——3分即21111[(2)2(3)3][(2)2(3)3][(2)2(3)3]nn n n n n p p p p p p ++---+-=-+-⋅-+-，整理得1(2)(3)2306n n p p --⋅⋅=， 解得2p =或3p =． ——6分 （Ⅱ）设{}{},n n a b 的公比分别为,,p q p q ≠，n n n c a b =+．为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅．事实上，2222222111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++，222222221311111111()()()c c a b a p b q a p b q a b p q ⋅=++=+++．由于22,2p q p q pq ≠+>，又11,a b 不为零，因此2213c c c ≠⋅，故{}n c 不是等比数列． ——12分21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t=；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t=；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为3000200,()2300,200300;t tf tt t-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300200g t t t=-+≤≤．——4分（Ⅱ）设t时刻的纯收益为()h t，则由题意得()()()h t f t g t=-即2211175020020022()17102520030020022t t th tt t t⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，，——6分当0200t≤≤时，配方整理得21()(50)100200h t t=--+，所以，当50t =时，()h t 取得区间[0,200]上的最大值100； 当200300t <≤时，配方整理得21()(350)100200h t t =--+ 所以，当300t =时，()h t 取得区间[200,300]上的最大值87.5． ——10分综上，由10087.5>可知，()h t 在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时50t =，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分22．（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点．当2334λ≤≤时，求双曲线离心率e 的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD y ⊥轴．因为双曲线经过点,C D ，且以,A B 为焦点，由双曲线的对称性知,C D 关于y 轴对称． ——2分依题意，记00(,0),(,),(,)2c A c C h E x y -，其中12c AB =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 00(2)2,12(1)1c c c h x y λλλλλλ-+-===+++． 设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ac e =． 由点,C E 在双曲线上，将点,C E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得14222=-b h e ， ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b h e λλλλ． ② ——7分 由①式得14222-=e b h ， ③ 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ， 故2312+-=e λ．——10分 由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ． 解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为．——14分。