2000年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分。

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向量{}12-=OA 、{}m OB ,3=，若AB OA ⊥，则=m 。

2．函数xx y --=312log 2的定义域为 。

3．圆锥曲线1916)1(22=--y x 的焦点坐标是 。

4．计算：=+∞→n n n n )2(lim 。

5．已知b x f x +=2)(的反函数为)(1x f -，若)(1x f y -=的图象经过点)2,5(Q ，则=b 。

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300万）7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。

8．设函数)(x f v =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，)(x f = 。

9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数是小的项的系数为 。

（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是 。

11．图中阴影部分的点满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x ，在这些点中，使目标函数y x k 86+=取得最大 值的点的坐标是 。

12．在等差数列{}n a 中，若0=n a ，则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++-πΛΛ成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若10=b ，则有等式 成立。

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

13．函数])2,2[)(2sin(πππ-∈+=x x y 是 （A ）增函数 （B ）减函数 （C ）偶函数 （D ）奇函数[答]（ ） 14．设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题：（1）若a a //，a b //，则b a //。

（2）若a a //，β//a ，则β//a 。

（3）若γ⊥a ，γβ⊥，则β//a 。

其中正确的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3[答]（ ）15．若集合{}{}T S R x x y y T R x y y S x I 则,,1|..3|2∈-==∈==是（A ）S （B ）T （C ）φ （D ）有限集[答]（ ）16．下列命题中正确的命题是（A ）若点)0)(2,(≠a a a P 为角a 终边上一点，则552sin =a 。

（B ）同时满足23cos ,21sin ==a a 的角a 有且只有一个。

（C ）当1||πa 时，)(arcsin a tg 的值恒正。

（D ）三角方程3)3(=+πx tg 的解集为{}Z k k x x ∈=,|π。

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17．（本题满分12分）已知椭圆C 的焦点分别为)0,22(1-F 和)0,22(2F ，长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

[解]18．（本题满分12分）如图所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求四面体ABCD 的体积。

[解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2小题满分8分。

已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f 。

（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值。

（2）若对任意],1[+∞∈x ，0)(φx f 恒成立，试求实数a 的取值范围。

[解]（1）[解]（2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

根据指令),(θr )180180,0(οοπ≤-≥θr ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r 。

（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。

（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。

[解]（1）[解]（2）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

在XOY 平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111ΛΛn n n b a P b a P b a P 对每个自然数n ，点n P 位于函数)100()10(2000ππa a y x =的图象上，且点n P ，点)0,(n 与点)0,1(+n 构成一个以n P 为顶点的等腰三角形 （1）求点n P 的纵坐标n P 的表达式；（2）若对每个自然数n ，以n b ，1+n b ，2+n b 为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；（3）设))((1N n b g c n n ∈=，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{}n c 前多少项的和最大？试说明理由。

[解]（1）[解]（2）[解]（3）22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知复数yi x z m mi z +=-=),0(10φ和，其中y x y x '',,,均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有z z w ⋅=0，||2||z w =。

（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x 、y 表示的关系式：（2）将（x 、y ）用为点P 的坐标，(x '、y ')作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q 。

已知点P 经该变换后得到的点Q 的坐标为)2,3(，试求点P 的坐标；（3）若直线kx y =上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k 的值。

[解]（1）[解]（2）[解]（3）2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照角答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后不解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定反面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．第17题至第22题中左端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数。

给分或扣分均以1分为单位。

解答一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。

1．4 2．)3,21( 3．（－4，0），（6，0） 4．2e5．1 6．9 7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 8．x9．－462 10．141 11．（0，5） 12．),17(172121N n n b b b b b b n n ∈=-πΛΛ二、（第13题至第16题）每一题正确的给4分。

题号 13 14 15 16 代号C A A D三、（第17题至第22题） 17．[解]设椭圆C 的方程为12222=+by a x …（2分） 由题意3=a ，22=c ，于是1=b 。

∴椭圆C 的方程为1922=+y x …（4分） 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x x y 得02736102=++x x 因为该二次方程的判别0φ∆，所以直线与椭圆有两个不同交点。

…（8分）设),(),,(2211y x B y x A则51821-=+x x ， 故线段AB 的中点坐标为)51,59(- …（12分）18．[解法一]如图建立空间直角坐标系， …（2分）由题意，有)0,2,0(A ，)0,0,2(C ，)0,1,1(E设D 点的坐标为),0,0(z )0(φz ，则{}0.1.1=BE ，{}z AD ,2,0-= …（6分）则2cos 422-=+⋅=⋅θz BE AD ，且BE AD 与所成的角的大小为1010arccos 。

∴10142cos 22=+=z θ， 得4=z ，故BD 的长度是4， …（10分）又BD BC AB V ABCD ⨯⨯=61，因此四面体ABCD 的体积是38， …（12分）[解法二]过A 引BE 的平行线，交CB 的延长线于F ，∠DAF是异面直线BE 与AD 所成的角。

∴∠DAF=1010arccos ， …（4分）∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，AF=2BE=22。

…（6分）又BF ，BA 分别是DF ，DA 的射影，且BF=BC=BA ，∴DF=DA …（8分）三角形ADF 是等腰三角形，AD=BDBC AB DAF AF ⨯⨯==∠⋅61V 20cos 12ABCD 故， …（10分）因此四面体ABCD 的体积是38…（12分）19．[解]（1）当21=a 时，221)(++=x x x f ，)(x f Θ在区间[+∞,1]上为增函数， …（3分）)(x f ∴在区间[+∞,1]上的最小值为27)1(=f …（6分）（2）[解法一]在区间的[+∞,1]上，02)(2φxa x x x f ++=的恒成立022φa x x ++⇔恒成立， …（8分） 设],1[,22+∞∈++=x a x x y ， 1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，a y +=3min ， …（12分） 于是当且仅当03min φa y +=时，函数0)(φx f 恒成立，故3-φa …（14分）（2）[解法二]],1[.2)(+∞∈++=x xa x x f ， 当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正， …（8分）当0πa 时，函数)(x f 递增，故当1=x 时，03)(min φa x f +=， …（12分）于是当且仅当03)(min φa x f +=时，函数0)(φx f 恒成立，故3-φa …（14分）20．[解]（1）24=r ，ο45=θ，得指令为)45,24(ο， …（4分）（2）设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球…（6分）则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有,)40()4(2|17|22-+-=-x x …（8分）即0161232=-+x x得7323=-=x x 或。