平狄克《微观经济学》（第7版）
第7章附录 生产与成本理论——一种数学的处理方法
课后练习题详解
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1．在下列生产函数中，哪些显示出规模报酬递增、不变和递减？
（1）()2F K L K L =，
（2）()105F K L K L =+，
（3）()()0.5
F K L KL =，
解：考查规模报酬时，可由()F aK aL ，与()aF K L ，之间的关系进行判断，其中常数1a >。

当()()F aK aL aF K L >，，，表明是规模报酬递增；
当()()F aK aL aF K L =，，，表明是规模报酬不变；
当()()F aK aL aF K L <，，，表明是规模报酬递减。

（1）()2F K L K L =，
()()()()()2
323F aK aL aK aL a K L a F K L aF K L ===>，，， 所以这个生产函数是规模报酬递增的。

（2）()105F K L K L =+，
()()105F aK aL aK aL aF K L =+=，，
所以这个生产函数是规模报酬不变的。

（3）()()0.5F K L KL =，
()()()()0.50.5F aK aL aK aL a KL aF K L =⋅==，，
所以这个生产函数是规模报酬不变的。

2．某产品的生产函数由100q KL =给出。

若资本价格为120美元/天，而劳动者的工资为30美元/天。

生产1000单位产出的最小成本是多少？
解：根据已知条件，劳动的边际产品为100K ，资本的边际产品为100L 。

边际技术替代率为/K L 。

令边际技术替代率等于工资率与资本租金率的比：/30/120K L =或4L K =。

然后在生产函数中消去L ，解出能够生产1000个单位的K ：10001004K K =⨯。

所以， 1.58 6.32K L ≈≈，，总成本等于30120379.2TC L K =+≈（美元）。

3．假定某生产函数由()2F K L KL =，给出，资本价格为10美元，劳动力价格为15美元，什么是生产既定产出的成本最小化的资本和劳动的组合？
解：根据已知条件，资本价格为10r =，劳动价格为15w =，则成本函数1015C K L =+。

构造拉格朗日函数()()201015F K L K L KL Q λλ=+--，，，成本最小化的一阶条件为：
()2 /100F K L K L λλ∂∂=-=，， ①
() /1520F K L L KL λλ∂∂=-=，， ②
联立①、②可得/3/4K L =。

此时成本最小，即生产既定产出的成本最小化的资本和劳动的组合为资本/劳动＝3/4。

4．假定波丽公司生产的轻型大衣的生产过程由下列生产函数给出：
()0.2
0.81040q K L =- 这里q 是大衣的生产数量，K 是电脑自动化缝纫机器工作的小时数，L 是劳动小时的数量。

除了资本和劳动之外，生产每件大衣还需10美元的原材料。

（1）将成本最小化，推导出对K 和L 的成本最小化需求（作为产出q 、工资率w 和租金率r 的函数）。

再运用这些来推导出总成本函数（成本作为q 、r 、w 的函数，并且常量为10美元的原材料成本）。

（2）这个生产过程需要技术工人，他们每小时的工资为32美元。

机器的租金为每小时64美元。

作为q 函数的总成本为多少？这个技术呈现出了规模递减、不变或递增了吗？
（3）波丽公司打算每周生产2000件大衣。

上面给定了生产要素的价格，要雇用多少劳动力（以每周40小时计算）和多少机器（以每周40机器小时计算）？这一产出水平的边际和平均成本各为多少？
解：（1）已知()0.2
0.81040q K L =-，得：
()()0.80.22/40840/L K MP K L MP L K =-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 在最小成本点有：/ /L K MP MP w r =。

即()()0.80.22/40/840//K L L K w r --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦。

()/404/K L w r -=，40/4L Kr w -=，()()0.20.2
0.8104010 /4q K L K r w =-=
最小需求为：()()0.20.8/10/440/4/10K q r w L q r w ⎡⎤⎡⎤==+⎣⎦⎣⎦，。

总成本函数为：()()()0.20.8
0.80.21010/104/440TC q Kr Lw q q w r r w w ⎡⎤=++=+++⎣⎦。

（2）当6432r w ==，时，()()0.20.810220.532/101280TC q q =+⨯+⨯+。

总成本函数为：()12801091.84/10128019.184TC q q q =++⨯=+。

假定5060K L ==，，
()0.20.8110506040416.3q =⨯⨯-=
当100120K L ==，时，
()0.20.821010012040956.4q =⨯⨯-=
因为21/2q q >，所以该技术呈现规模递增。

（3）当2000q =时，()0.840/4/10155L q r w =+≈，即需要劳动力为：155/40 3.875=。

()0.223010/4q
K r w =≈，即需要机器为：230/40＝5.75。

产出边际成本为：19.184美元/件；
平均成本为：()128019.184/19.824q q +=美元/件。

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