dsin x sin x
lnsixnC
-
目录 上页 下页 返回 结束
例5.
求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a )
1
(
1
1
)
( x a )( x a ) 2a xa xa
∴ 原式 =
1 2a
xdxaxdxa
1 2a
d(x a) xa
d(xxaa)
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
5
3
-
目录 上页 下页 返回 结束
例9.
求
dx
1 ex
.
解法1
d x
1 ex
(11exe)xex dx
dx
d(1 ex 1 ex
)
xln1(ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx d(11eexx)
f (u)du
-
目录 上页 下页 返回 结束
一、第一类换元法
定理1. 设f (u)有原函数 , u(x)可导 , 则有换元
公式
f[(x) ](x)dx f (u)du u(x) 即 f[(x) ](x)dxf((x)d)(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
-
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求 (a x b )m d x(m 1 ).
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
x2a2
a2 C
x2 a2
-
目录 上页 下页 返回 结束
例12 . 求 co4sxdx.
解: co4xs(c2ox)s2(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
-
目录 上页 下页 返回 结束
基本思路
设 F (u)f(u),u(x)可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)dx
f[(x) ](x)dxF[(x)]CF(u)Cu(x)
f(u)duu(x)
第一类换元法
f[(x) ](x)dx 第二类换元法
5 )f(co sx)sinxdx f (coxs) dcosx
-
目录 上页 下页 返回 结束
6 )f(tx ) a sn 2 e x d x c f (tanx)dtanx
7)f(x e)exdx f (ex) d e x
8)
f(lnx)1dx x
f (lnx) dln x
例6.
求
dx . x(12lnx)
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
12d1(1 22 llnxnx)
1ln12lnxC 2
-
目录 上页 下页 返回 结束
例7. 求
e3
x
dx.
x
Байду номын сангаас
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 xC 3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
2 1ln1sinx C
2 1sinx
-
目录 上页 下页 返回 结束
解法 2 secxdx sesxc(e x stc x e a x ctan xn )dx se2cxsexctaxndx
sexctaxn
d(sescxx e ttc aa nxx)n
同样可证
ln se x c tax nC
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
co4xsdx1 4(2 3 2 c2 o x 1 2 s c4 o x )d x s
14
3 2
dx co2xsd2(x)8 1co 4 xd s (4 x)
3 8
x
14sin2x312sin4x C
-
目录 上页 下页 返回 结束
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
-
目录 上页 下页 返回 结束
常用的几种配元形式:
1
1)f(axb)dxa
f
(axb)
d(axb)
2) f(xn)xn1dx1 f (xn) d x n n
万 能
凑
3) f(xn)1dx1 xn
f (xn)
1 xn
dxn
幂 法
4 )f(sinx)co sxdx f (sinx)dsinx
arcsixnC a
d(
x a
)
1
(
x a
)2
想到 du arcu sC in 1u2
f[(x) ](x)dxf((x)d )(x) (直接配元)
-
目录 上页 下页 返回 结束
例4. 求 tanxdx.
解:
tanxdx
sin xdx cos x
dcosx cosx
lncoxsC
类似
coxtdx? cossinxxdx
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
1 (axb)m1C a(m1)
注意换回原变量
注: 当 m1时
d ax
x
b
1lnaxbC a
-
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx
1
((
xx aa
)) 2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
1arctaxn)(C
a
a
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
-
目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求 dx (a0). a2x2
解:
dx
dx
a2 x2
a
1
(
x a
)2
例13. 求 si2n xco 23sxdx.
解: si2x n co 23 xs[1 2(s4 ixn si2n x)2 ] 1 4 s2 4 ix n 1 4 2 s4 i x s n 2 i x n 1 4 s2 2 ix n 8 1(1co8xs)si2n 2xco 2xs8 1(1co4xs)
ln1 (ex)C
l1 n e ( x ) ln x ([ x e 1 e )] 两法结果一样
-
目录 上页 下页 返回 结束
例10. 求 secxdx.
解法1
secxdx
cosx cos2 x
dx
1dssiinn2xx
1 2
1s1inx1s1inxdsinx
1ln1sinx ln 1 sx in C
cscxdx ln cs x co x C t 或 cscxdx ln tanx C (P199 例18 )
2
-
目录 上页 下页 返回 结束
例11.
求
(x2
x3
a2
3
)2
dx .
解:
原式 =
1 2
x2 dx2 (x2 a2)32
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)