二次函数的实际应用基础达标训练1. (2017芜湖繁昌县模拟)某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n －24，则企业停产的月份为( )A. 2月和12月B. 2月至12月C. 1月D. 1月、2月和12月2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米第2题图3 某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中月利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W＝－x2＋16x －48，则该景点一年中处于关闭状态有( )个月.A. 5B. 6C. 7D. 84. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示)，对应的两条抛物线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm ，则右轮廓DFE 所在抛物线的解析式为( )第4题图A. y ＝14(x ＋3)2B. y ＝14(x －3)2 C. y ＝－14(x ＋3)2 D. y ＝－14(x －3)2 5. 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h (m)与足球被踢出后经过的时间t (s)之间具有函数关系h ＝at 2＋19.6t .已知足球被踢出后经过4 s 落地，则足球距地面的最大高度是________．6. (12分)经市场调查，某种商品在第x 天的售价与销量的相关信息如下表，已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y 元．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？(3)该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案. 时间x (天) 1≤x <40 40≤x ≤80售价(元/件)x＋5090每天销量(件)180－2x7. (12分)(2017阜阳颍州区三模)如图，抛物线表示的是某企业年利润y(万元)与新招员工数x(人)的函数关系，当新招员工200人时，企业的年利润到最大值900万元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)为了响应国家号召，增加更多的就业机会，又要保证企业的年利润为800万元，那么企业应新招员工多少人？(3)该企业原有员工400人，那么应招新员工多少人(x>0)时才能使人均创造的年利润与原来的相同，此时的总利润是多少万元？第7题图8. (12分)如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上．若AB ＝6米，AD＝4米，设AM的长为x米，矩形AMPQ的面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值．第8题图9. (12分)如图，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒．(1)若折叠后长方体底面正方形的面积为1250 cm2，求长方体包装盒的高；(2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x(cm)，长方体的侧面积为S(cm2)，求S与x的函数关系式，并求x为何值时，S的值最大．第9题图10. (12分)(2017荆门)我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查．其中实体商店的日销售量y1(百件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如下表所示；网上商店的日销售量y2(百件)与时间t(t为整数，单位：天)的关系如下图所示．时间t(天)0510********日销售量y1025*********(百件)(1)请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件)，求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y 达到最大，并求出此时的最大值．第10题图11. (12分)(2017亳州利辛县一模)某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y(万元)与销售时间x(月)之间满足二次函数关系式y＝a(x－h)2＋k，二次函数y＝a(x－h)2＋k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为－16、20.(1)试确定函数关系式y＝a(x－h)2＋k;(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；(3)在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？第11题图12. (12分)(2017宿州埇桥区二模)某大学生利用业余时间参与了一家网店经营，销售一种成本为30元/件的文化衫，根据以往的销售经验，他整理出这种文化衫的售价y1(元/件)，销量y2(件)与第x(1≤x＜90)天的函数图象如图所示[销售利润＝(售价－成本)×销量] .(1)求y1与y2的函数表达式；(2)求每天的销售利润w与x的函数关系表达式；(3)销售这种文化衫的第多少天，每天销售利润最大，最大利润是多少？第12题图教材改编题1. (沪科九上P57A组复习题第8题改编)如图是窗子的形状，它是由矩形上面加一个半圆构成，第1题图已知窗框的用料是6m，要使窗子能透过最多的光线，则AB的长为________m.2. (人教九上P50探究第2题改编)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．当销售单价是________元时，才能在半月内获得最大利润．答案基础达标训练1. D 【解析】由题意知，利润y 和月份n 之间的函数关系式为y ＝－n 2＋14n －24，∴y ＝－(n －2)(n －12)，当n ＝1时，y ＜0，当n ＝2时，y ＝0，当n ＝12时，y ＝0，故停产的月份是1月、2月、12月. 故选D.2. D 【解析】∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，最大高度为4米．3. A 【解析】由W ＝－x 2＋16x －48，令W ＝0，则x 2－16x ＋48＝0，解得x ＝12或4，∴不等式－x 2＋16x －48＞0的解为4＜x ＜12，∴该景点一年中处于关闭状态有5个月．4. B 【解析】∵高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，而点B ，D 关于y 轴对称，∴D 点坐标为(1，1)，∵AB ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，∴点A ，点B 关于直线CH 对称，∴左边抛物线的顶点C 的坐标为(－3，0)，∴右边抛物线的顶点F 的坐标为(3，0)，设右边抛物线的解析式为y ＝a (x －3)2，把D (1，1)代入得1＝a ×(1－3)2，解得a ＝14，故右边抛物线的解析式为y ＝14(x －3)2. 5. 19.6 m 【解析】对于二次函数h ＝at 2＋19.6t ，点(0，0)和(4，0)在其图象上，∴16a ＋19.6×4＝0，解得a ＝－4.9，∴抛物线的解析式为h ＝－4.9t 2＋19.6t ，∴当t ＝2时，h 取最大值，其最大值为－4.9×22＋19.6×2＝19.6 m.6. 解：(1)当1≤x ＜40时，y ＝(180－2x )(x ＋50－30)＝－2x 2＋140x ＋3600；当40≤x ≤80时，y ＝(180－2x )(90－30)＝－120x ＋10800.综上可得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋140x ＋10800（1≤x ＜40）－120x ＋10800（40≤x ≤80）； (2)当1≤x ＜40时，二次函数y ＝2x 2＋140x ＋3600开口向下，且二次函数对称轴为x ＝－1402x （－2）＝35， ∴当x ＝35时，y 最大＝－2×352＋140×35＋3600＝6050；当40≤x ≤80时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝40时，y 最大＝6000.综上所述，该商品第35天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；(3)共有41天日销售利润不低于4800元．【解法提示】当1≤x ＜40时，y ＝－2x 2＋140x ＋3600≥4800， 解得10≤x ≤60，因此利润不低于4800元的天数是10≤x ＜40，共30天； 当40≤x ≤80时，y ＝－120x ＋10800≥4800，解得x ≤50，因此利润不低于4800元的天数是40≤x ≤50，共11天，∴该商品在销售过程中，共41天日销售利润不低于4800元．7. 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝a(x－200)2＋900，将(0，500)代入，得a(0－200)2＋900＝500，解得a＝－1100，∴y＝－1100(x－200)2＋900；(2)由题意得－1100(x－200)2＋900＝800，解得x1＝100，x2＝300，∴为增加更多的就业机会，该企业应招新员工300人；(3)由题意得－1100（x－200）2＋900x＋400＝500400，整理得x2－275x＝0，解得x1＝0(舍)，x2＝275，经检验x＝275是原分式方程的解，∴当x＝275时，y＝－1100(x－200)2＋900＝843.75(万元)．答：应招新员工275人时才能使人均创造的年利润与原来的相同，此时的总利润是843.75万元．8. 解：(1)∵四边形AMPQ是矩形，∴PQ＝AM＝x.∵PQ ∥AB ，∴△PQD ∽△BAD ，∴DQ DA ＝PQ BA， ∵AB ＝6，AD ＝4，∴DQ ＝23x ， ∴AQ ＝4－23x ， ∴S ＝AQ ·AM ＝(4－23x )x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)； (2)S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6. ∵－23<0， ∴S 有最大值，∴当x ＝3时，S 有最大值为6.答：当AM 的长为3米时，矩形AMPQ 的面积最大，最大面积为6平方米．9. 解：(1)设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为xcm ，由题意得(60－2x 2×2)2＝1250. 解得x 1＝52，x 2＝552(舍去)，答：长方体包装盒的高为5 2 cm ； 【一题多解】如解图，由已知得底面正方形的边长为1250＝25 2 cm ，第9题解图∴AN ＝252×22＝25， ∴PN ＝60－25×2＝10，∴PQ ＝10×22＝5 2 cm. 答：长方体包装盒的高为5 2 cm.(2)由题意得，S ＝4×2×60－2x 2×x ＝－4x 2＋1202x. ∵a ＝－4<0，∴当x ＝－12022×（－4）＝15 2 时，S 有最大值． 10. 解：(1)根据观察可设y 1＝at 2＋bt ＋c ，将(0，0)，(5，25)，(10，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝025a ＋5b ＝25100a ＋10b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝6c ＝0，∴y 1与t 的函数关系式为y 1＝－15t 2＋6t (0≤t ≤30为整数)； (2)①当0≤t ≤10时，设y 2＝kt .∵(10，40)在其图象上，∴k ＝4，∴y 2与t 的函数关系式为y 2＝4t(0≤t ≤10)；②当10＜t ≤30时，设y 2＝mt ＋n ，将(10，40)、(30，60)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧10m ＋n ＝4030m ＋n ＝60， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝30， ∴y 2与t 的函数关系式为y 2＝t ＋30.∴综上可得：y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4t （0≤t ≤10且为整数）t ＋30 （10＜t ≤30且为整数）； (3)依题意有y ＝y 1＋y 2，当0≤t ≤10时，y ＝－15t 2＋6t ＋4t ＝－15t 2＋10t ＝－15(t －25)2＋125，∴当t ＝10时，y max ＝80.当10＜t ≤30时，y ＝－15t 2＋6t ＋t ＋30 ＝－15t2＋7t ＋30 ＝－15(t －352)2＋3654. ∵t 为整数，∴当t ＝17或18时，y max ＝91.2，∴当t＝17或18时，y最大，且y max＝91.2(百件)．11. 解：(1)根据题意可设y＝a(x－4)2－16，当x＝10时，y＝20,∴a(10－4)2－16＝20，解得a＝1，所求函数关系式为y＝(x－4)2－16；(2)当x＝9时，y＝(9－4)2－16＝9，∴前9个月公司累计获得的利润为9万元，又由题意可知，当x＝10时，y＝20，而20－9＝11，∴10月份一个月内所获得的利润11万元；(3)设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s(万元)，则有s＝(n－4)2－16－[(n－1－4)2－16]＝2n－9，∵s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，而n的最大值为12，∴当n＝12时，s＝15，∴第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．12. 解：(1)当1≤x<50时，设y1＝kx＋b，将(1，41)、(50，90)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4150k ＋b ＝90， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝40， ∴y 1＝x ＋40，当50≤x <90时，y 1＝90，故y 1与x 的函数关系式为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋40（1≤x<50）90（50≤x<90）； 设y 2与x 的函数关系式为y 2＝mx ＋n (1≤x <90)，将(50，100)、(90，20)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧50m ＋n ＝10090m ＋n ＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝200， 故y 2与x 的函数关系式为y 2＝－2x ＋200(1≤x <90)；(2)由(1)知，当1≤x <50时，w ＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)＝－2x 2＋180x ＋2000；当50≤x <90时，w ＝(90－30)(－2x ＋200)＝－120x ＋12000；综上所述，w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x<50）－120x ＋12000（50≤x<90）； (3)当1≤x <50时，∵w ＝－2x 2＋180x ＋2000＝－2(x －45)2＋6050，∴当x ＝45时，w 取得最大值，最大值为6050元；当50≤x <90时，w ＝－120x ＋12000，∵－120<0，w 随x 的增大而减小，∴当x ＝50时，w 取得最大值，最大值为6000元；综上，当x ＝45时，w 取得最大值6050元．答：销售这种文化衫的第45天，每天销售利润最大，最大利润是6050元．教材改编题1. 128＋π【解析】∵窗框的用料是6 m ，∴假设半圆半径为x ，AD ＝2x ，AB ＝6－πx －4x 2，∴窗子的面积为S ＝2x ·6－πx －4x 2＋12πx 2＝(－π2－4)x 2＋6x ，∴当x ＝68＋π时，此时面积最大，∴AD ＝128＋π，AB ＝128＋π. 2. 35 【解析】根据题意设销售单价提高x 元时，半月内获得利润为y 元，根据题意可得y ＝(30＋x －20)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000＝－20(x －5)2＋4500，即当x ＝5元时，半月获得利润最大，最大利润为4500元，此时销售单价为30＋5＝35元．。