到 时 , 点 M ( x , y ) 从 L 的起点 A 沿 L 运动到终点
( t ), ( t ) 在以 及 为端点的闭区间上具有
2 2 续导数 , 且 ( t ) ( t ) 0 , 则曲线积分
L P ( x , y ) dx
Q ( x , y ) dy 存在 ,
W
i 1
n i 1
n
i
近似值
i
[ P (
, i ) x i Q ( i , i ) y i ].
取极限 W lim [ P ( i , i ) x i Q ( i , i ) y i ]. 0
i 1
n
精确值
数学分析电子教案
例1 计算

xydx , 其中 L 为抛物线
L
y x 上从
2
B(1,1)
A ( 1 , 1 )到 B ( 1 ,1 )的一段弧 .
解 ( 1 ) 化为对 x 的定积分， y x .
y x
2

xydx
L

xydx
AO

xydx
OB


0
x(
1 3 2
x ) dx

数学分析电子教案
(4) 两类曲线积分之间的联系：
设有向平面曲线弧为 x (t) L： , y (t)
为 , ,
L 上点 ( x , y ) 处的切线向量的方向角
则 Pdx Qdy ( P cos Q cos ) ds
L L
其中cos
数学分析电子教案
且 P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy
L



{ P [ ( t ), ( t )] ( t ) Q [ ( t ), ( t )] ( t )} dt
特殊情形
(1 ) L : y y ( x ) x 起点为 a ，终点为 b .
数学分析电子教案
( 3 ) 推广 x (t ) : y ( t ), z (t ) t 起点 , 终点 .


Pdx Qdy Rdz

{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )
Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
i 1
数学分析电子教案 5.性质
( 1 ) 如果把 L 分成 L 1 和 L 2 , 则

L
Pdx Qdy

L1
Pdx Qdy

L2
Pdx Qdy .
( 2 ) 设 L 是有向曲线弧 有向曲线弧 , 则
, L 是与 L 方向相反的

L
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy
数学分析电子教案
§2 第二型曲线积分
一、问题的提出 二、对坐标的曲线积分的概念 三、对坐标的曲线积分的计算
数学分析电子教案
一、问题的提出
L : A B,
y
yi
B
M i M n 1
实例: 变力沿曲线所作的功
L
M i 1 x i
M2 M1
A F ( x , y) P ( x , y)i Q ( x , y) j o
数学分析电子教案
P ( i , i ) x i的极限存在
i1
n
, 则称此极限为函 L 上对坐标 , 记作 x 的曲线
数 P ( x , y ) 在有向曲线弧
积分 ( 或称第二类曲线积分）
n
L P ( x , y ) dx
类似地定义
其中P ( x , y ),
lim
P ( i , i ) x i . 0
L P ( x , y )dx L Q( x , y )dy

L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy F ds.
L
其中 F P i Q j ,
ds dx i dy j .
数学分析电子教案
4.推广
空间有向曲线弧
n

原式
y x
2

1
( 2 x x x 2 x ) dx
2 2 1 3
0
4 x dx 1 .
0
A(1,0)
数学分析电子教案
(2) 化为对
2
y 的积分 .
x y
2
B(1,1)
L : x y , y 从 0 变到 1 ,
原式

1
( 2 y y 2 y y ) dy
L
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
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三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在曲线弧 L 上有定义且连
续 , L 的参数方程为 x ( t ), 当参数 t 单调地由 变 y ( t ), B, 一阶连
i 1

Pdx Qdy Rdz .


P ( x , y , z )dx lim P ( i , i , i )xi .
0
n
Q( x , y , z )dy lim Q( i , i , i )yi . 0
i 1 n
R( x , y , z )dz lim R( i , i , i )zi . 0
2 4
0 1
A(1,0)
4
5 y dx 1 .
0
( 3 ) 原式

OA
2 xydx x dy
2
B(1,1)


AB
2 xydx x dy
2
A(1,0)
数学分析电子教案
在 OA 上 , y 0 , x 从 0 变到 1 ,

2 xydx x dy
2
OA

1
( 2 x 0 x 0 ) dx
i1
n

L
Q( x , y )dy lim Q( i , i )yi .
0
i 1
Q( x , y )叫做被积函数 , L叫积分弧段.
数学分析电子教案 2.存在条件： 当 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在光滑曲线弧
上连续时 , 第二类曲线积分存在 . L
3.组合形式
1

1
A(1,1)
x
x dx
0
2 x dx
0
4 5
.
数学分析电子教案
( 2 ) 化为对 y 的定积分，
x y ,
2
y 从 1到 1 .
B(1,1)
y x
2
L xydx

AB
xydx


1 1
y y ( y ) dy
2 2
A(1,1)
2
1 1
y dy
2
B(1,1)
0
0.
在 AB 上 ,
x 1 , y 从 0 变到 1 ,
2
A(1,0)
AB 2 xydx
x dy
0 ( 2 y 0 1 ) dy
1
1.
原式 0 1 1 .
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果相同.
数学分析电子教案
数学分析电子教案
二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设 L 为 xoy 面内从点 A 到点 B 的一条有
向光滑曲线弧 , 函数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 L 上有界 . 用 L 上的点 M 1 ( x 1 , y 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ), , M n 1 ( x n 1 , y n 1 ) 把 L 分成 n 个有向小弧段 M i 1 M i ( i 1,2 , , n; M 0 A , M n B ). 设 x i x i x i 1 , y i y i y i 1 , 点 ( i , i )为 M i 1 M i 上任意取定的点 长度的最大值 0时 , . 如果当各小弧段
则

Pdx Qdy
L

b
{ P [ x , y ( x )] Q [ x , y ( x )] y ( x )} dx .
y 起点为 c ，终点为 d .
a
(2) L : x x( y )
则
L Pdx
Qdy
c { P [ x ( y ),
d
y ] x ( y ) Q [ x ( y ), y ]} dy .
2
t a cos
2
2
t a sin t cos t a b cos
2 2
2
t dt

=
1 2
a
2
1 b
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例 5 求力 F y , x , x
x a cos t
，
y z
作用下ⅰ）质点由 A
z bt
可用向量表示
其中 A { P , Q , R }，

A t ds

A dr

A t ds ,