[推荐]2020年苏教版高中数学必修三(全册)精品教学案汇总第1章算法初步1．2013年全运会在沈阳举行, 运动员A报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程．提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛． 问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的．问题3：假若你家住南京, 想去沈阳观看A 的决赛, 你如何设计你的旅程？提示：首先预约定票, 然后选择合适的交通工具到沈阳, 按时到场, 检票入场, 进入比赛场地, 观看比赛．2．给出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ②问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x ,③把③代入②得x －(2－x )＝1, 即x ＝32.④把④代入③得y ＝12.得到方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题2：利用消元法求解此方程组． 提示：①＋②得x ＝32.③将③代入①得y ＝12, 得方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题3：从问题1、2可以看出, 解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一．1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题, 其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 从而组成一个步骤序列, 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法, 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．2．算法是机械的, 有时要进行大量重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”, 其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个, 可能有不同的算法．[例1]下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的②算法必须在有限步操作后停止③算法的每一步操作必须是明确的, 不能存在歧义④算法执行后一定能产生确定的结果其中, 不正确的有________．[思路点拨]利用算法特征对各个表述逐一判断, 然后解答．[精解详析]由算法的不唯一性, 知①不正确；由算法的有穷性, 知②正确；由算法的确定性, 知③和④正确．[答案]①[一点通]1．针对这个类型的问题, 正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．1．下列语句表达中是算法的有________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京, 再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝12ah 计算底为1, 高为2的三角形的面积③12x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3, －5)两点连线的方程, 可先求MN 的斜率, 再利用点斜式方程求得 解析：算法是解决问题的步骤与过程, 这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．答案：①②④2．计算下列各式中的S 值, 能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)解析：算法的设计要求步骤是可行的, 并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．答案：①③[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0, 求l 1, l 2, y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．[思路点拨] 先求出l 1, l 2的交点坐标, 再求l 1, l 2与y 轴的交点的纵坐标, 即得到三角形的底；最后求三角形的高, 根据面积公式求面积．[精解详析] 第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1, l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12, 从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3, 得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ；第七步 输出结果． [一点通]设计一个具体问题的算法, 通常按以下步骤： (1)认真分析问题, 找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．3．写出求两底半径分别为1和4, 高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步 取r 1＝1, r 2＝4, h ＝4； 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2；第三步 计算S 1＝πr 21, S 2＝πr 22；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧； 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .4．已知球的表面积为16π, 求球的体积．写出解决该问题的两个算法． 解：算法1： 第一步 S ＝16π； 第二步 计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)； 第三步 计算V ＝43πR 3；第四步 输出运算结果V . 算法2：第一步 S ＝16π； 第二步 计算V ＝43π(S 4π)3； 第三步 输出运算结果V .[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费, 计算方法是：3人或3人以下的住房, 每月收取5元；超过3人的住户, 每超出1人加收1.2元．设计一个算法, 根据输入的人数, 计算应收取的卫生费．[精解详析] 设某户有x 人, 根据题意, 应收取的卫生费y 是x 的分段函数, 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)算法如下：第一步 输入人数x ；(6分)第二步 如果x ≤3, 则y ＝5, 如果x >3, 则y ＝1.2x ＋1.4； (10分) 第三步 输出应收卫生费y .(12分)[一点通]对于此类算法设计应用问题, 应当首先建立过程模型, 根据模型, 完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．5．如下算法： 第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立, 则y ＝2x , 否则执行第三步； 第三步 y ＝log 2(－x )； 第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4, 则输入的x 的值为________． 解析：算法执行的功能是给定x ,求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4. ∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知直角三角形的两条直角边分别为a , b , 设计一个求该三角形周长的算法． 解：算法如下：第一步 计算斜边c ＝a 2＋b 2； 第二步 计算周长l ＝a ＋b ＋c ； 第三步 输出l .1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．在具体设计算法时, 要明确以下要求：(1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括, 它要借助一般问题的解决方法, 又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把问题的解法划分为若干个可执行的步骤, 有些步骤是重复执行的, 但最终却必须在有限个步骤之内完成．(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述．(3)要使算法尽量简单, 步骤尽量少．课下能力提升(一)一、填空题1．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步__________________________________________________________________； 第二步__________________________________________________________________． 答案：第一步 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3； 第二步 在方程两边同时除以2, 得x ＝－32.2．已知一个学生的语文成绩为89, 数学成绩为96, 外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步 令A ＝89, B ＝96, C ＝99； 第二步 计算总分S ＝________； 第三步 计算平均分M ＝________； 第四步 输出S 和M .解析：总分S 为三个成绩数之和, 平均数M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；第二步 当x >4时, 计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .当输入x ＝0时, 输出y ＝__________. 解析：由于x ＝0>4不成立, 故y ＝4－x ＝2. 答案：24．已知点P 0(x 0, y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0, 求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0, y 0； ②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； ③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A , B 和常数C ； ⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值．其正确的顺序为________． 解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.答案：①④②③⑤⑥5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18, 必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18, 则执行第三步, 否则返回第一步 二、解答题6．写出求a , b , c 中最小值的算法． 解：算法如下：第一步 比较a , b 的大小, 当a >b 时, 令“最小值”为b ；否则, 令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小, 当“最小值”大于c 时, 令“最小值”为c ；否则, “最小值”不变；第三步 “最小值”就是a , b , c 中的最小值, 输出“最小值”． 7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85， ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量, 如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 解：算法步骤如下：第一步 输入行李的重量ω； 第二步 如果ω≤50, 那么c ＝0.53ω； 如果ω>50, 那么c ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85； 第三步 输出运费c .8．下面给出一个问题的算法： 第一步 输入a ；第二步 若a ≥4, 则执行第三步, 否则执行第四步； 第三步 输出2a －1； 第四步 输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？ (2)当输入a 等于多少时, 输出的值最小？ 解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时, f (x )＝2x －1≥7,当x <4时, f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴当x ＝1时, f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时, 输出的值最小．第1章 算 法 初 步1．2013年全运会在沈阳举行, 运动员A 报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程． 提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛． 问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的．问题3：假若你家住南京, 想去沈阳观看A 的决赛, 你如何设计你的旅程？提示：首先预约定票, 然后选择合适的交通工具到沈阳, 按时到场, 检票入场, 进入比赛场地, 观看比赛．2．给出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ②问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x ,③把③代入②得x －(2－x )＝1, 即x ＝32.④把④代入③得y ＝12.得到方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题2：利用消元法求解此方程组．提示：①＋②得x ＝32.③将③代入①得y ＝12, 得方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题3：从问题1、2可以看出, 解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一．1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法． 2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题, 其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 从而组成一个步骤序列, 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法, 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．2．算法是机械的, 有时要进行大量重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”, 其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个, 可能有不同的算法．[例1]下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的②算法必须在有限步操作后停止③算法的每一步操作必须是明确的, 不能存在歧义④算法执行后一定能产生确定的结果其中, 不正确的有________．[思路点拨] 利用算法特征对各个表述逐一判断, 然后解答． [精解详析] 由算法的不唯一性, 知①不正确； 由算法的有穷性, 知②正确； 由算法的确定性, 知③和④正确． [答案] ① [一点通]1．针对这个类型的问题, 正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．1．下列语句表达中是算法的有________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京, 再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝12ah 计算底为1, 高为2的三角形的面积③12x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3, －5)两点连线的方程, 可先求MN 的斜率, 再利用点斜式方程求得 解析：算法是解决问题的步骤与过程, 这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．答案：①②④2．计算下列各式中的S 值, 能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)解析：算法的设计要求步骤是可行的, 并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．答案：①③[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0, 求l 1, l 2, y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．[思路点拨] 先求出l 1, l 2的交点坐标, 再求l 1, l 2与y 轴的交点的纵坐标, 即得到三角形的底；最后求三角形的高, 根据面积公式求面积．[精解详析] 第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1, l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12, 从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3, 得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ；第七步 输出结果． [一点通]设计一个具体问题的算法, 通常按以下步骤： (1)认真分析问题, 找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．3．写出求两底半径分别为1和4, 高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步 取r 1＝1, r 2＝4, h ＝4； 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2；第三步 计算S 1＝πr 21, S 2＝πr 22；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧； 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .4．已知球的表面积为16π, 求球的体积．写出解决该问题的两个算法． 解：算法1： 第一步 S ＝16π； 第二步 计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)； 第三步 计算V ＝43πR 3；第四步 输出运算结果V . 算法2：第一步 S ＝16π； 第二步 计算V ＝43π(S 4π)3； 第三步 输出运算结果V .[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费, 计算方法是：3人或3人以下的住房, 每月收取5元；超过3人的住户, 每超出1人加收1.2元．设计一个算法, 根据输入的人数, 计算应收取的卫生费．[精解详析] 设某户有x 人, 根据题意, 应收取的卫生费y 是x 的分段函数, 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)算法如下：第一步 输入人数x ；(6分)第二步 如果x ≤3, 则y ＝5, 如果x >3, 则y ＝1.2x ＋1.4； (10分) 第三步 输出应收卫生费y .(12分)[一点通]对于此类算法设计应用问题, 应当首先建立过程模型, 根据模型, 完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．5．如下算法： 第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立, 则y ＝2x , 否则执行第三步； 第三步 y ＝log 2(－x )； 第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4, 则输入的x 的值为________． 解析：算法执行的功能是给定x ,求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4. ∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知直角三角形的两条直角边分别为a , b , 设计一个求该三角形周长的算法． 解：算法如下：第一步 计算斜边c ＝a 2＋b 2； 第二步 计算周长l ＝a ＋b ＋c ； 第三步 输出l .1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．在具体设计算法时, 要明确以下要求：(1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括, 它要借助一般问题的解决方法, 又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把问题的解法划分为若干个可执行的步骤, 有些步骤是重复执行的, 但最终却必须在有限个步骤之内完成．(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述．(3)要使算法尽量简单, 步骤尽量少．课下能力提升(一)一、填空题1．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步__________________________________________________________________； 第二步__________________________________________________________________． 答案：第一步 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3； 第二步 在方程两边同时除以2, 得x ＝－32.2．已知一个学生的语文成绩为89, 数学成绩为96, 外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步 令A ＝89, B ＝96, C ＝99； 第二步 计算总分S ＝________； 第三步 计算平均分M ＝________； 第四步 输出S 和M .解析：总分S 为三个成绩数之和, 平均数M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；第二步 当x >4时, 计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .当输入x ＝0时, 输出y ＝__________. 解析：由于x ＝0>4不成立, 故y ＝4－x ＝2. 答案：24．已知点P 0(x 0, y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0, 求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0, y 0； ②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； ③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A , B 和常数C ； ⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值．其正确的顺序为________． 解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.答案：①④②③⑤⑥5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18, 必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18, 则执行第三步, 否则返回第一步 二、解答题6．写出求a , b , c 中最小值的算法． 解：算法如下：第一步 比较a , b 的大小, 当a >b 时, 令“最小值”为b ；否则, 令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小, 当“最小值”大于c 时, 令“最小值”为c ；否则, “最小值”不变；第三步 “最小值”就是a , b , c 中的最小值, 输出“最小值”． 7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85， ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量, 如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 解：算法步骤如下：第一步 输入行李的重量ω； 第二步 如果ω≤50, 那么c ＝0.53ω； 如果ω>50, 那么c ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85； 第三步 输出运费c .8．下面给出一个问题的算法： 第一步 输入a ；第二步 若a ≥4, 则执行第三步, 否则执行第四步； 第三步 输出2a －1； 第四步 输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？ (2)当输入a 等于多少时, 输出的值最小？ 解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时, f (x )＝2x －1≥7,当x <4时, f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴当x ＝1时, f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时, 输出的值最小．第1章 算 法 初 步1．2013年全运会在沈阳举行, 运动员A 报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程． 提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛． 问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的．问题3：假若你家住南京, 想去沈阳观看A 的决赛, 你如何设计你的旅程？提示：首先预约定票, 然后选择合适的交通工具到沈阳, 按时到场, 检票入场, 进入比赛场地, 观看比赛．2．给出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ②问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x ,③把③代入②得x －(2－x )＝1, 即x ＝32.④把④代入③得y ＝12.得到方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题2：利用消元法求解此方程组．提示：①＋②得x ＝32.③将③代入①得y ＝12, 得方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题3：从问题1、2可以看出, 解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一．1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法． 2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题, 其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 从而组成一个步骤序列, 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法, 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．2．算法是机械的, 有时要进行大量重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”, 其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个, 可能有不同的算法．[例1]下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的②算法必须在有限步操作后停止③算法的每一步操作必须是明确的, 不能存在歧义④算法执行后一定能产生确定的结果其中, 不正确的有________．[思路点拨] 利用算法特征对各个表述逐一判断, 然后解答． [精解详析] 由算法的不唯一性, 知①不正确； 由算法的有穷性, 知②正确； 由算法的确定性, 知③和④正确． [答案] ① [一点通]1．针对这个类型的问题, 正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．1．下列语句表达中是算法的有________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京, 再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝12ah 计算底为1, 高为2的三角形的面积③12x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3, －5)两点连线的方程, 可先求MN 的斜率, 再利用点斜式方程求得 解析：算法是解决问题的步骤与过程, 这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．答案：①②④2．计算下列各式中的S 值, 能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)解析：算法的设计要求步骤是可行的, 并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．答案：①③[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0, 求l 1, l 2, y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．[思路点拨] 先求出l 1, l 2的交点坐标, 再求l 1, l 2与y 轴的交点的纵坐标, 即得到三角形的底；最后求三角形的高, 根据面积公式求面积．[精解详析] 第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1, l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12, 从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3, 得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ；第七步 输出结果． [一点通]设计一个具体问题的算法, 通常按以下步骤： (1)认真分析问题, 找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．3．写出求两底半径分别为1和4, 高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步 取r 1＝1, r 2＝4, h ＝4； 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2；第三步 计算S 1＝πr 21, S 2＝πr 22；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧； 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .4．已知球的表面积为16π, 求球的体积．写出解决该问题的两个算法． 解：算法1： 第一步 S ＝16π； 第二步 计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)； 第三步 计算V ＝43πR 3；第四步 输出运算结果V . 算法2：第一步 S ＝16π； 第二步 计算V ＝43π(S 4π)3； 第三步 输出运算结果V .[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费, 计算方法是：3人或3人以下的住房, 每月收取5元；超过3人的住户, 每超出1人加收1.2元．设计一个算法, 根据输入的人数, 计算应收取的卫生费．[精解详析] 设某户有x 人, 根据题意, 应收取的卫生费y 是x 的分段函数, 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)算法如下：第一步 输入人数x ；(6分)第二步 如果x ≤3, 则y ＝5, 如果x >3, 则y ＝1.2x ＋1.4； (10分) 第三步 输出应收卫生费y .(12分)[一点通]对于此类算法设计应用问题, 应当首先建立过程模型, 根据模型, 完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．5．如下算法： 第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立, 则y ＝2x , 否则执行第三步； 第三步 y ＝log 2(－x )； 第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4, 则输入的x 的值为________． 解析：算法执行的功能是给定x ,求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4. ∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知直角三角形的两条直角边分别为a , b , 设计一个求该三角形周长的算法． 解：算法如下：第一步 计算斜边c ＝a 2＋b 2； 第二步 计算周长l ＝a ＋b ＋c ； 第三步 输出l .1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．在具体设计算法时, 要明确以下要求：(1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括, 它要借助一般问题的解决方法, 又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把问题的解法划分为若干个可执行的步骤, 有些步骤是重复执行的, 但最终却必须在有限个步骤之内完成．(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述．(3)要使算法尽量简单, 步骤尽量少．课下能力提升(一)一、填空题1．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步__________________________________________________________________； 第二步__________________________________________________________________． 答案：第一步 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3； 第二步 在方程两边同时除以2, 得x ＝－32.2．已知一个学生的语文成绩为89, 数学成绩为96, 外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步 令A ＝89, B ＝96, C ＝99； 第二步 计算总分S ＝________； 第三步 计算平均分M ＝________； 第四步 输出S 和M .解析：总分S 为三个成绩数之和, 平均数M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；第二步 当x >4时, 计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .当输入x ＝0时, 输出y ＝__________. 解析：由于x ＝0>4不成立, 故y ＝4－x ＝2. 答案：24．已知点P 0(x 0, y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0, 求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0, y 0； ②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； ③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A , B 和常数C ； ⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值．其正确的顺序为________． 解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.答案：①④②③⑤⑥5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18, 必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18, 则执行第三步, 否则返回第一步 二、解答题6．写出求a , b , c 中最小值的算法． 解：算法如下：第一步 比较a , b 的大小, 当a >b 时, 令“最小值”为b ；否则, 令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小, 当“最小值”大于c 时, 令“最小值”为c ；否则, “最小值”不变；第三步 “最小值”就是a , b , c 中的最小值, 输出“最小值”． 7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85， ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量, 如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 解：算法步骤如下：。