2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题56：探索规律型问题(数字类）一、选择题1. （2012江苏扬州3分）大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若m 3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m 的值是【 】A ．43B ．44C ．45D ．46 【答案】C 。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】分析规律，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解：∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19， …∴m 3分裂后的第一个数是m(m －1)＋1，共有m 个奇数。
∵45×(45－1)＋1＝1981，46×(46－1)＋1＝2071， ∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数， ∴m＝45。
故选C 。
2. （2012江苏盐城3分）已知整数1234,,,,a a a a ⋅⋅⋅满足下列条件：10a =,21|1|a a =-+,32|2|a a =-+,43|3|a a =-+,…,依次类推，则2012a 的值为【 】A ．1005-B ．1006-C ．1007-D ．2012-【答案】B 。
【考点】分类归纳（数字的变化类）【分析】根据条件求出前几个数的值，寻找规律，分n 是奇数和偶数讨论：：∵10a =， 21|1|=1a a =-+-，32|2||12|=1a a =-+=--+-，43|3|=|13|=2a a =-+--+-， 54|4|=|24|=2a a =-+--+-，65|5|=|25|=3a a =-+--+-， 76|6|=|36|=3a a =-+--+-，87|7|=|37|=4a a =-+--+-，…，∴当n 是奇数时，1=2n n a --，n 是偶数时，=2n n a -。
∴20122012==10062a --。
故选B 。
3. （2012四川自贡3分）一质点P 从距原点1个单位的M 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM 的中点M 3处，第二次从M 3跳到OM 3的中点M 2处，第三次从点M 2跳到OM 2的中点M 1处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为【 】A ．n12B ．n 112-C ．n 11()2+D ．n12【答案】D 。
【考点】分类归纳（图形的变化类），数轴。
【分析】∵OM=1，∴第一次跳动到OM 的中点M 3处时，OM 3=12OM=12。
同理第二次从M 3点跳动到M 2处，即在离原点的（12）2处，同理跳动n 次后，即跳到了离原点的n12处。
故选D 。
4. （2012山东滨州3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为【 】 A ．52012﹣1 B ．52013﹣1 C ．2013514- D ．2012514-【答案】C 。
【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法。
【分析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，∴5S﹣S=52013﹣1，∴S=2013514-。
故选C 。
5. （2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【 】．A．32 B．126 C．135 D．144【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。
【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。
∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。
∴最大数为24，最小数为8。
∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。
和为144。
故选D。
6. （2012广西南宁3分）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有【】A．7队B．6队C．5队D．4队【答案】C。
【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x－1）场球，第二个球队和其他球队打（x－2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x－1）= x(x1)2-场球，根据计划安排10场比赛即可列出方程：x(x1)102-=，∴x2－x－20=0，解得x=5或x=-4（不合题意，舍去）。
故选C。
二、填空题1. （2012重庆市4分）甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或（4﹣k）张，乙每次取6张或（6﹣k）张（k是常数，0＜k＜4）．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有 ▲ 张． 【答案】108。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
2. （2012广东肇庆3分）观察下列一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 ▲ ． 【答案】2k 2k+1。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律：分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，∴第k 个数分子是2k ，分母是2k+1。
∴这一组数的第k 个数是2k 2k+1。
3. （2012浙江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a ，b 的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b= ▲ （用a ，b 的一个代数式表示）． 【答案】2a+2b a b⨯。
【考点】分类归纳（数字的变化类），新定义。
【分析】寻找规律：∵21+22723+24122133443=12634⨯⨯⨯-⨯-⊕=⊕==-⊕-=-⊕-=-⨯-⨯-（）（），（）（）（）（）（）（），()25+2343553=1553⨯⨯--⊕=⊕-=-⨯-（）（）（），···∴2a+2b a b a b⊕=⨯。
4. （2012江苏泰州3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x ，23x ，35x ， ▲ ，59x，…．【答案】47x 。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】寻找规律，代数式的系数为1，3，5，7，9，···，是奇数排列；代数式字母x 的指数为1，2，3，4，5，···，是自然数排列。
所以在横线上的代数式是47x 。
5. （2012江苏盐城3分）一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元,随着影响的扩大,第n （n ≥2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%,则当该月所募集到的资金首次突破10万元时,相应的n 的值为 ▲ . (参考数据:51.22.5≈,61.2 3.0≈,71.2 3.6≈) 【答案】13。
【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法【分析】第一个月募集到资金1万元，则由题意第二个月募集到资金（1+20%）万元，第三个月募集到资金（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金（1+20%）n-1万元，由题意得：（1+20%）n－1＞10，即1.2 n－1＞10.∵1.25×1.26≈7.5＜10，1.25×1.27≈10.8＞10，∴n－1=5+7=12，解得，n=13。
6. （2012福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是▲ ．【答案】900。
【考点】分类归纳（数字变化类）。
【分析】寻找规律：上面是1，2 ，3，4，…，；左下是1，4=22，9=32，16=42，…，；右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方：（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，…∴a=（36－6）2=900。
7. （2012湖北恩施4分）观察数表根据表中数的排列规律，则B+D= ▲ ．【答案】23。
【分析】∵仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最上而的一个数字，∴1+4+3=B，1+7+D+10+1=34。
∴B=8，D=15。
∴B+D=8+15=23。
8. （2012湖北黄石3分）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出12398991005050+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令123989910=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++①S0S=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++②1009998321①＋②：有2(1100)100S=+⨯解得：S5050=请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，357(218+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=，则n=▲ .n)16【答案】12。
【考点】分类归纳（数学的变化类），有理数的混合运算，解一元二次方程。
【分析】根据题目提供的信息，找出规律，列出方程求解即可：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，整理得，n2＋2n－168=0，解得n1=12，n2=－14（舍去）。
∴n=12。
9. （2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：表中n的值等于▲ ．【答案】30。
【分析】寻找规律：第1届相应的举办年份=1896＋4×（1－1）=1892＋4×1=1896年； 第2届相应的举办年份=1896＋4×（2－1）=1892＋4×2=1900年； 第3届相应的举办年份=1896＋4×（3－1）=1892＋4×3=1904年； …第n 届相应的举办年份=1896＋4×（n －1）=1892＋4n 年。
∴由1892+4n=2012解得n=30。
10. （2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ▲ ． 【答案】21。