几何证明选讲一、填空题1.(2016·天津高考文科·T13)同(2016·天津高考理科·T12)如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,BE=2AE=2,BD=ED ,则线段CE 的长为 .【解题指南】设圆心为O ,连接OD ,构造三角形,利用相似三角形对应边成比例求解. 【解析】设圆心为O ,连接OD ,AC ,可得△BOD ∽△BDE ,所以BD2=BO ·BE=3,所以BD=DE=因为△AEC ∽△DEB ,AE CEDE BE = ,即EC2=,所以答案二、解答题2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T22)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T22)选修4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (1)证明:直线AB 与☉O 相切.(2)点C ,D 在☉O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB ∥CD. 【解析】(1)设圆的半径为r ,作OK ⊥AB 于K , 因为OA=OB ,∠AOB=120°,所以OK⊥AB,∠A=30°,OK=OA·sin 30°=OA=r,2所以AB与☉O相切.(2)方法一:假设CD与AB不平行,CD与AB交于F,FK2=FC·FD.①因为A,B,C,D四点共圆,所以FC·FD=FA·FB=(FK-AK)(FK+BK).因为AK=BK,所以FC·FD=(FK-AK)(FK+AK)=FK2-AK2.②由①②可知矛盾,所以AB∥CD.方法二:因为A,B,C,D四点共圆,不妨设圆心为T,因为OA=OB,TA=TB,所以OT为AB的中垂线,又OC=OD,TC=TD,所以OT为CD的中垂线,所以AB∥CD.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T22)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T22)选修4-1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(1)证明:B,C,G,F四点共圆.(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.【解题指南】(1)要证明四点共圆,需要证明四边形对角互补,显然∠DCB=90°,只需证明∠GFB=90°.(2)把四边形BCGF分成两个直角三角形△BCG和△BFG,求这两个直角三角形的面积的和.【解析】(1)因为DF⊥CE,所以Rt△DEF∽Rt△CDF,所以∠GDF=∠DEF=∠BCF,DF CF=DE CD.因为DE=DG,CD=BC,所以DF CF=DG BC,所以△GDF∽△BCF,所以∠CFB=∠DFG,所以∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,所以∠GFB+∠GCB=180°.所以B,C,G,F四点共圆.(2)因为E为AD中点,AB=1,所以DG=CG=DE=12,所以在Rt△GFC中,GF=GC,连接GB,Rt△BCG≌Rt△BFG,所以S四边形BCGF=2S△BCG=2×12×1×12=12.4.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,☉O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.【解析】(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为=,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.因为∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.【解析】(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为AP BP,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在EC的垂直平分线上,又在FD的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.6.(2016·江苏高考T21)A.【选修4—1几何证明选讲】(本小题满分10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.【解题指南】根据直角三角形的性质证明∠EDC与∠ABD都等于∠C.【证明】由BD⊥AC可得∠BDC=90°,由E是BC中点可得DE=CE=错误！未找到引用源。

BC,则∠EDC=∠C,由∠BDC=90°可得∠DBC+∠C=90°,由∠ABC=90°可得∠ABD+∠DBC=90°,因此∠ABD=∠C,又∠EDC=∠C,可得∠EDC=∠ABD.7.(2016·北京高考理科·T17)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=(1)求证:PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM//平面PCD?若存在,求AM的值;若不存在,说明理由.AP【解题指南】(1)已知PD⊥PA,再证明PD⊥AB即可.(2)建系,用向量法求.(3)方法一:直接从图中找出M 后再证明;方法二:利用坐标求M.【解析】(1)因为平面PAD ⊥平面ABCD ,交线为AD ,AB ⊂平面ABCD ,AB ⊥AD , 所以AB ⊥平面PAD.因为PD ⊂平面PAD ,所以AB ⊥PD. 又因为PA ⊥PD ,PA ∩AB=A ,PA ,AB ⊂平面PAB , 所以PD ⊥平面PAB. (2)取AD 中点O ,连接OP ,OC. 因为PA=PD ,所以OP ⊥AD.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,交线为AD ,OP ⊂平面PAD , 所以OP ⊥平面ABCD. 又因为AC=CD ,所以OC ⊥AD. 因为AB ⊥AD ,所以OC ∥AB 且OC=2AB.如图,分别以OC ,OA ,OP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.P (0,0,1),B (1,1,0),C (2,0,0),D (0,-1,0).PB =(1,1,-1),PC =(2,0,-1),PD =(0,-1,-1). 设平面PCD 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则n PC 2x z 0,n PD y z 0,⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=--=⎩令x=1得,n=(1,-2,2).PB n 122PB,PB ncos n -⋅<≥==所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为.(3)方法一:过B 作BE ∥AD ,交OC 于H ,交CD 于E.因为OC ∥AB 且OC=2AB ,所以OH ∥AB ,OH=AB ,BH=AO. 所以H 为OC 的中点.所以EH ∥OD ,EH=21OD. 所以BE=43AD 且BE ∥AD. 在PD ,PA 上分别取点F ,M ,使得PF=43PD ,PM=43PA , 则FM ∥AD ,FM=43AD. 所以FM ∥BE ,FM=BE.所以四边形BEFM 为平行四边形.所以BM ∥EF. 又因为BM ⊄平面PCD ,EF ⊂平面PCD ,所以BM ∥平面PCD. 因此,在棱PA 上存在点M ,使得BM ∥平面PCD ,且AM AP=41.方法二:假设存在M 点使得BM ∥面PCD ,设AMAP=λ,M (0,y',z'), 由(2)知A (0,1,0),P (0,0,1),AP =(0,-1,1),B (1,1,0),AM =(0,y'-1,z'), 有AM =λAP ⇒M (0,1-λ,λ), 所以BM =(-1,-λ,λ).因为BM ∥面PCD ,n 为面PCD 的法向量,所以BM ·n=0,即-1+2λ+2λ=0. 所以λ=41.综上,存在M 点,即当AM AP =41时,M 点即为所求.。