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高中立体几何证明垂直的练习
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。

（3） 利用勾股定理。

（4） 利用三角形全等或三角行相似。

(5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。

(1) 通过“平移”,根据若a // b ,且b ⊥ 平面
,则a ⊥ 平面
1
1.
在四棱锥 P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB⊥平面 PBC ，AB∥CD，AB= DC ，
2
E 为PD 中点.求证：AE⊥平面 PDC. D
分析：取 PC 的中点 F ，易证 AE//BF ，易证 A
B F⊥平面 PDC
B
C
P
P
2.如图，四棱锥P－ABCD 的底面是正方形，P A⊥底面ABCD，∠
PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．
求证：平面PCE⊥平面PCD；F
分析：取PC 的中点G，易证EG//AF，又易证A F⊥平面 PDC
于是E G⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCD E A D
B C
（第 2 题图）
3、如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面PAD , AB / /CD , PD =AD ,
E 是PB 的中点，
F 是CD 上的点，且DF =1
AB , PH 为∆PAD 中AD 边上的高。

2
（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2）若PH = 1，AD =2，FC =1 求三棱锥E -BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .
分析：要证EF ⊥平面PAB ，只要把FE 平移
到DG，也即是取AP 的中点G，易证EF//GD,
易证D G⊥平面 PAB
（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质
5、在三棱锥P -ABC 中，PC ⊥AC ．
（Ⅰ）求证：PC ⊥AB ；AC =BC = 2 ，∠ACB = 90 ，AP =BP =AB ，
P
（Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小；
A B
C
6、如图，在三棱锥P -ABC 中，⊿ PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º
证明：AB⊥PC
因为∆PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC = 90︒,
所以Rt∆PBC ≅Rt∆PAC ,可得AC =BC 。

如图，取AB 中点D ，连结PD , CD ,
则PD ⊥AB , CD ⊥AB ,
所以AB ⊥平面PDC ,
所以AB ⊥PC 。

（3）利用勾股定理
7、如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 1 的正方形， PA ⊥ CD , PA = 1, PD = 2. 求证: PA ⊥ 平面 ABCD ；
P
_
D
_
B
_ _C
8、如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AB // CD ， AB ⊥ AD ，且 AB = AD = 1
CD = 1．
2
现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ，然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折，使平面
ADEF 与平面 ABCD 垂直， M 为 ED 的中点，如图 2． （1） 求证： AM ∥平面 BEC ；
（2） 求证： BC ⊥ 平面 BDE ；
E
E
M
C
F
C
A
B
9、如图，四面体 ABCD 中，O 、E 分别是 BD 、BC 的中点，
CA = CB = CD = BD = 2, A B = AD = 2.
A
_
A
M D
（1）求证：AO ⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；
（1）证明：连结OC
BO =DO, AB =AD,∴AO ⊥BD.
BO =DO, B C =CD,∴CO ⊥BD.
在∆AOC 中，由已知可得AO =1, C O = 3.
而AC = 2,
∴AO2+CO2=AC 2 , ∴∠AOC = 90o, 即AO ⊥OC.
BD OC =O, ∴AO ⊥平面BCD
, BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，10、如图，四棱锥S -ABCD 中，AB ⊥BC
AB =BC = 2, C D =SD =1．
（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ;
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．
解法一：
（I）取AB 中点E，连结DE，则四边形BCDE 为矩
SE ⊥AB, SE = 3.
形，DE=CB=2，连结SE，则
又SD=1，故ED2=SE2+SD2，
所以∠DSE 为直角。

AB ⊥DE, AB ⊥SE, DE SE =E ，
由
得AB ⊥平面SDE，所以AB ⊥SD 。

SD 与两条相交直线AB、SE 都垂直。

所以SD ⊥平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似
11.正方体ABCD—A1B1C1D1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.
分析：法一：取AB 的中点E，连A1E,OE,易证△AB M≌A1AE,
于是A M⊥A1E,又∵O E⊥平面 ABB1A1∴OE⊥AM,
∴AM⊥平面 OEA1D1∴AM⊥D1O
法二：连OM,易证△D1D O∽OBM,于是 D1O⊥OM
12. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，
D 为CC1中点. 求证：AB1⊥平面A1BD；
分析：取BC 的中点E，连AE,B1E,易证△DC B≌△EBB1，
从而B D⊥EB1
13、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
过点B 作B1C 的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C 于点F，
求证：A1C⊥平面BDE；
.
C O 2
（5）利用直径所对的圆周角是直角
14、如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面 ABC . （1） 求证：平面 PAC ⊥平面 PBC ； （2） 若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互
相垂直的各对平面.
P
A
B
15、如图，在圆锥 PO 中，已知 PO = ，⊙O 的直径 AB = 2 ,C 是狐 AB 的中点，
D 为
AC 的中点．证明：平面 POD ⊥ 平面 PAC ;
P
M
16、 如图， 在四棱锥 P - ABCD 中， 底面 ABCD 是矩形， PA ⊥ 平面 ABCD ．以 BD 的中点O 为球心、 BD 为直径的球面
交PD 于点M ．
求证：平面ABM ⊥平面PCD ；
．
证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.
因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
“”
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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。