第六章 万有引力与航天 第五节 宇 宙 航 行“嫦娥三号”卫星是嫦娥绕月探月工程计划中嫦娥系列的第三颗人造绕月探月卫星．“嫦娥三号”要携带探测器在月球着陆，实现月面巡视、月夜生存等重大突破，开展月表地形地貌与地质构造、矿物组成和化学成分等探测活动．根据中国探月工程三步走的规划，中国将在2013年前后进行首次月球软着陆探测和自动巡视勘察．1．了解人造地球卫星的最初构想．2．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度的表达式． 3．掌握人造地球卫星的线速度、角速度、周期和半径的关系．4．能运用万有引力定律及匀速圆周运动的规律解决卫星运动的有关问题． 一、人造卫星1．牛顿对人造卫星原理的描绘．设想在高山上有一门大炮，水平发射炮弹，初速度越大，水平射程就越大．可以想象，当初速度足够大时，这颗炮弹将不会落到地面，将和月球一样成为地球的一颗人造地球卫星．2．人造卫星绕地球运行的动力学原因．人造卫星在绕地球运行时，只受到地球对它的万有引力作用，人造卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供．3．人造卫星的运动可近似地看做匀速圆周运动，其向心力就是地球对它的吸引力． G Mm r 2＝mv 2r ＝mω2r ＝m 4π2Tr ． 由此得出卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径r 的关系：v 由此可见，卫星的轨道半径确定后，其线速度、角速度和周期也唯一确定，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度及角速度，而且对于不同轨道，轨道半径越小，卫星线速度和角速度越大，周期越小．二、宇宙速度1．物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫做第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度．2．近地卫星的轨道半径为：r ＝R ，万有引力提供向心力，则有GMm R ＝m v2R．从而第一宇宙速度为：v ＝7.9km/s. 3．第二宇宙速度的大小为11.2_km/s ．如果在地面附近发射飞行器，发射速度7.9 km/s<v<11.2 km/s ；则它绕地面运行的轨迹是椭圆．4．第三宇宙速度的大小为16.7_km/s ，即若在地面附近发射一个物体，使物体能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，则必须使它的速度等于或大于第三宇宙速度．卫星的变轨一、如何变轨人造地球卫星在发射的过程中，需要把开始的椭圆轨道调整为圆轨道，在卫星的回收过程中，需要把圆轨道调整为椭圆轨道．如何才能实现圆与椭圆的互相转变？人造地球卫星运行轨道的改变是通过它自带的推进器来实现的．如图所示为一人造地球卫星从椭圆轨道的远地点进入圆形轨道的示意图．椭圆是人造地球卫星正在运行的轨道，大圆是以地心为圆心，以远地点A 到地心距离r 2为半径的圆．当卫星在椭圆上运动到A 点和在大圆上运动到A 点时，离地心的距离相同，万有引力F ＝GMmr 22大小相同，由F ＝ma 知，加速度的大小相同．若人造地球卫星沿椭圆轨道运行，在A 点时对应曲率半径为r 1，则向心加速度a 1＝v 21r 1；若沿大圆轨道运行时，在A 点的向心加速度a 2＝v 22r 2，因为a 1＝a 2，即v 21r 1＝v 22r 2，又r 1<r 2，所以v 1<v 2.由于这个原因，人造地球卫星要从椭圆轨道进入大圆轨道，只要在到达远地点A 时，用推进器向后喷气使其加速，当速度达到沿大圆运动时的速度v 2时，它就不再沿椭圆运行而沿大圆做圆周运动了．地球同步卫星就是利用这种原理进入同步轨道并保持在这条轨道上运行的．若人造卫星原来在大圆上运行，则当它经过远地点A 时，利用推进器向前喷气使自己的速度减小到沿椭圆运行的速度v 1时，它就从大圆轨道上到了椭圆轨道上．二、变轨问题的两点技巧1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G Mm r 2＝m v2r，得v ＝GMr，由此可见轨道半径r 越大，线速度v 越小．当由于某原因速度v 突然改变时，若速度v 突然减小，则F>m v 2r ，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v 突然增大，则F<m v2r ，卫星将做离心运动，轨道变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动．2．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同． 三、典例剖析(多选)发射地球同步卫星，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( ) A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度点拨：卫星的加速度a＝G Mr2，只与卫星到地心的距离r有关，与卫星的轨道无关．卫星在不同轨道上的角速度ω、线速度v的大小关系可根据F万＝F向得出．解析：本题主要考查人造地球卫星的运动，尤其是考查了同步卫星的发射过程，对考生理解物理模型有很高的要求．由G Mmr2＝mv2r得，v＝GMr.因为r3>r1，所以v3<v1.由GMmr2＝mω2r得，ω＝GMr3.因为r3>r1，所以ω3<ω1.卫星在轨道1上经Q点时的加速度为地球引力产生的加速度，而在轨道2上经过Q点时，也只有地球引力产生加速度，故应相等．同理，卫星在轨道2上经P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度．答案：BD1．(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是(CD)A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2.B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度C．第二宇宙速度是地面附近使物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度2．我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则(B) A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大3．(多选)下列关于地球同步卫星的说法正确的是(BD)A．它的周期与地球自转同步，但高度和速度可以选择，高度增大，速度减小B．它的周期、高度、速度都是一定的C．我们国家发射的同步通讯卫星定点在北京上空D．我国发射的同步通讯卫星也定点在赤道上空一、选择题1．宇宙飞船在半径为r1的轨道上运行，变轨后的半径为r2，r1＞r2，宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，则变轨后宇宙飞船的(D)A．线速度变小 B．角速度变小C．周期变大 D．向心加速度变大2．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动的周期之比T A∶T B＝1∶8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为(C)A．r A∶r B＝4∶1v A∶v B＝1∶2B．r A∶r B＝4∶1v A∶v B＝2∶1C．r A∶r B＝1∶4v A∶v B＝2∶1D．r A∶r B＝1∶4v A∶v B＝1∶23．人造卫星以地心为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是(BD)A．半径越大，速度越小，周期越小B．半径越大，速度越小，周期越大C．所有卫星的速度均是相同的，与半径无关D．所有卫星的角速度可能相同，与半径有关4．在地球(看做质量均匀分布的球体)上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是(A) A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同C．它们的向心加速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同5．如图所示，在同一轨道平面上，绕地球做圆周运动的卫星A、B和C，某时刻恰好在同一直线上，当卫星B运转一周时，下列说法正确的有(B)A．因为各卫星的角速度ωA＝ωB＝ωC，所以各卫星仍在原位置上B．因为各卫星运转周期T A<T B<T C，所以卫星A超前于卫星B，卫星C滞后于卫星BC ．因为各卫星运转频率f A >f B >f C ，所以卫星A 滞后于卫星B ，卫星C 超前于卫星BD ．因为各卫星的线速度v A <v B <v C ，所以卫星A 超前于卫星B ，卫星C 滞后于卫星B 6．人造卫星在太空绕地球运行的过程中，若天线偶然折断，天线将(A ) A ．继续和卫星一起沿轨道运动 B ．做平抛运动，落向地球C ．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动，远离地球D ．做自由落体运动，落向地球7．人造地球卫星由于受到大气的阻力，其轨道半径逐渐减小，其相应的线速度和周期的变化情况是(D )A ．线速度减小，周期增大B ．线速度减小，周期减小C ．线速度增大，周期增大D ．线速度增大，周期减小8．“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r ，运行速率为v ，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空(C )A ．r 、v 都将略为减小B ．r 、v 都将保持不变C ．r 将略为减小，v 将略为增大D ．r 将略为增大，v 将略为减小9．已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G ，有关同步卫星，下列表述正确的是(BD )A ．卫星距地面的高度为 3GMT 24π2B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C ．卫星运行时受到的向心力大小为G MmR2D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析：对同步卫星由万有引力提供向心力得G Mm （R ＋h ）2＝m(R ＋h)4π2T 2，所以h ＝3GMT 24π2－R ，故A 错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，B 正确；同步卫星运动的向心力由万有引力提供，应为F ＝GMm （R ＋h ）2，C 错误；同步卫星的向心加速度为a 同＝GM（R ＋h ）2，地球表面的重力加速度a 表＝GMR2，知a 表>a 同，D 正确．二、非选择题10．月球的质量约为地球质量的1/81，半径约为地球半径的1/4，地球上第一宇宙速度约为7.9 km/s ，则月球上第一宇宙速度约为多少？解析：对绕地球表面做匀速圆周运动的卫星有GM 地m R 2地＝mv2R 地得v ＝GM 地R 地. 对绕月球表面做匀速圆周运动的卫星有 GM 月m R 2月＝mv ′2R 月得v′＝GM 月R 月. 由以上两式代入数据解得 v ′＝1.76 km/s. 答案：1.76 km/s11．如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．(1)求卫星B 的运行周期；(2)如卫星B 的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？解析：由题目情景知，r A >r B ，所以ωA <ωB .(1)地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，故对卫星B 有 G Mm （R ＋h ）2＝4π2T 2B (R ＋h)， GMmR2＝mg ， 联立以上两式得 T B ＝2π（R ＋h ）3gR2. (2)由题意得(ωB －ω0)t ＝2π， 又因为ωB ＝2πT B＝gR2（R ＋h ）3，所以解得t ＝2πgR2（R ＋h ）3－ω0. 答案：(1)2π（R ＋h ）3gR2(2)2πgR2（R ＋h ）3－ω012．人们认为某些白矮星(密度较大的行星)每秒大约自转一周(万有引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，地球半径R 约为6.4×103km)．(1)为使其表面上的物体能够被吸引住而不致由于快速转动被“甩”掉，它的密度至少为多少？(2)假设某白矮星密度约为此值，且其半径等于地球半径，则它的第一宇宙速度约为多少？解析：(1)由于白矮星表面的物体随着它自转做圆周运动的角速度相同，而赤道上的物体圆周运动的半径最大，所需的向心力最大，最容易被甩掉，只要保证赤道上的物体不被甩掉，其他物体就不会被甩掉．假设赤道上的物体刚好不被甩掉，则白矮星对物体的万有引力恰好提供物体随白矮星转动的向心力．设白矮星质量为M ，半径为r ，赤道上物体的质量为m ，则有G Mm r 2＝m 4π2T2r.白矮星的质量为M ＝4π3r 3GT2，白矮星的密度为ρ＝M V ＝GT 243πr 3＝3πGT2＝3×3.146.67×10－11×1kg/m 3≈1.41×1011kg/m 3. 即要使物体不被甩掉，白矮星的密度至少为1.41×1011kg/m 3.(2)白矮星的第一宇宙速度，就是物体在万有引力作用下沿白矮星表面绕它做匀速圆周运动的速度，则G Mm r 2＝m v2r，白矮星的第一宇宙速度为v ＝GM r＝G ρ·43πr3r＝43πG ρr 2＝ 43×3.14×6.67×10－11×1.41×1011×6.42×1012≈ 4.02×107(m/s)． 答案：(1)1.41×1011kg/m 3(2)4.02×107 m/s。