小结：直线与曲线的交点、相交弦问 题的解题思路： 相交 方程组有解 关于或的 一元二次方程有实数根 韦达定 理（ △ ≥0 ） 中点坐标、弦长等
谢谢！
Байду номын сангаас
直线与曲线的位置关系
康大学校：刘伙南
教学目标： 1、让学生掌握直线与曲线的位置关系： 相交，相切，相离。 2、让学生掌握处理：直线与曲线的交点 个数问题、中点弦问题、弦长问题、对称 问题等。 3、培养学生的解题能力，分析问题的能 力。
2 例1、 问是否存在过点 P （ 1 ， 1 ）直线 L ，它 y 2 1 相交于A、B两点，且 与双曲线 x 2 P恰好为线段AB的中点。
例4、 过椭圆X2/a2+Y2/b2=1右焦点F的动直线交 椭圆于A、B两点，A、B、F在右准线上的投影分 别为C、D、E，线段AD、BC、EF必相交于线段 EF的中点。
点评：先证明AD与EF的交点是EF的中点， 再证BC与EF的交点恰好也是EF的中点。
例5、已知L1、L2是过点P（- 2 ，0）的两条 互相垂直的直线，且L1、L2与双曲线Y2-X2=1 各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2。（1） 求L1的斜率K1的取值范围； （2）若 求A L 、 B 2的方程。 5 A2 B2 11 1 L
y 1上的两点，点 例2、 设A、B是双曲线 x 2 N（1，2）是线段AB的中点。（1）求直线AB的
2
2
方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相 交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？
分析：问题1，与上面解法一样。但此题有解K=1，AB方程 为Y=X+1，且解得A（-1，0），B（3，4）。问题 2：若四 点共圆，则CD为直径，A、B两点到CD的中点的长分析：问 题1，与上面解法一样。但此题有解K=1，AB方程为Y=X+1， 且解得A（-1，0），B（3，4）。问题为CD的一半，由AB 垂直CD得CD方程为Y=-（X-1）+2；利用弦长公式和中点坐 标公式得CD=4√10，CD的中点坐标N为（-3，6）， AN=BN=2√10，故共圆。
例3、 过抛物线Y2=2PX（P>0）的焦点F的直线 交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上， 且BC//X轴，求证：直线AC经过原点O。
点评：1、为了减少参数、简化运算，设抛物线上的点A 为（ yA2 /2p ,yA ）2、问题的本质结构为：过y2=2px(p > 0) 的焦点F的动直线交抛物线于A、B两点，E、D分别是A、 B在准线上的投影，线段AD、BE必相交于原点。
例1、 分析一：先假设L存在，从而将问题转化为求L的方程 ←—求直线的斜率K← 找关于K的方程← P为AB的中点← 韦达定 理←直线与二次曲线的位置关系 解：先假设L存在，并设L的方程为y=k（x-1）+1 由{ y=k（x-1）+1 x2-y2/2=1 ===＞（2-k2）x2+2k（k-1）x-﹙k2-2k+3）=0，方 程两根为 X1、X2是 A 、 B 两点的横坐标，于是X1+X2=2，由韦达定理 得：K=2，代入上面方程得2X2-4X+3=0，此方程无解，故L不存在。 分析二：相关点法，设A（X1，Y1）、B（X2，Y2）代入双曲线方程 后相减，利用平方差和中点坐标得斜率K=2，再代入检验，同样不 存在。解法略。
点评：1、处理二次曲线的中点弦问题的方法： A、将直线（参数）方程代入二次曲线方程并整理，利用 韦达定理得到弦的中点坐标的关系，建立方程求解；B、 设出弦的两个端点坐标，利用点在二次曲线上建立方程组， 两式求差得到弦的中点与弦所在直线斜率的关系，建立方 程求解。注意：采用这两种方法的前提条件是直线与方程 必须有两个交点。 2 、处理“存在性问题”和一般方法是：假设存在，求解 并判断（有解且满足题意则有解，无解则不存在）。
点评：本题目是一道常规解析几何题，但有运动 的观点、联系转化的思想，其基本方法是通过讨 论方程来研究曲线的性质，用到二次方程的判别 式、韦达定理等，既能考查综合运算能力，又能 考查思维素质的深刻度。学生在解题时常见的错 误有如下几种：
1、对于第一问，只考虑L1的斜率K1不考虑L2的斜 率这是不合理的，因为L1与双曲线相交不能保证L2 与双曲线相交。 2、对方程（k12-1）x2+2√2k12x+2k12-1=0不考虑二 次项的系数非0，只求判别式大于0，不正确的。 3、还有看不出方程（k12-1）x2+2√2k12x+2k12-1=0 应有两个不相同的实根，只知判别式△ ≥0或k121≠ 0且△ ≥0，这是一个很容易疏忽的细节。