文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲 行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。

定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

定义3 行列式—称nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=称为n 阶行列式，规定n nn nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑-=τ。

定义4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如na a a0000021称为对角行列式，n n a a a a a a 212100000=。

2、上（下）三角行列式—称nnn n a a a a a a 00022211211及nnn n a a a a a a212221110为上（下）三角行列式，nn nnnn a a a a a a a a a221122211211000=，nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=。

3、||||B A BO O A ⋅=，||||B A BO C A ⋅=，||||B A BCO A ⋅=。

4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(---=n nn n nn a a a a a a a a a V称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j i n nn n nn a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==1112112121)(111),,,(。

【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。

三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即TD D =。

2、对调两行（或列）行列式改变符号。

3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。

推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。

推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。

推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。

4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即nnn n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a21211121121211121121221111211+=+++。

5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即nnn n jn j j jnin j i j i n nnn n jn j j ini i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a212122111121121212111211+++=，其中k 为任意常数。

【例题1】设321,,,,γγγβα为4维列向量,且4|,,,|||321==γγγαA ，21|,3,,|||321==γγγβB ，求||B A +。

【例题2】用行列式性质1~5计算842321123-。

【例题3】计算行列式2164729541732152-----=D 。

【例题4】计算nn a a a a D ++++=1111111111111111321 ，其中)1(0n i a i ≤≤≠。

（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=， ),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=。

7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。

【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算842321123-。

【例题2】设2164729541732152-----=D ，求（1）24232221M M M M +++；（2）3231M M +。

四、行列式的应用—克莱姆法则对方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （II ） 其中)(II 称为非齐方程组，)(I 称为)(II 对应的齐次方程组或)(II 的导出方程组。

令nn n n nnn nn n nnn n n n b a a b a ab a a D a a b a a b a a b D a a a a a a a a a D2122221112112222211211212222111211,,,===，其中D称为系数行列式，我们有定理1 )(I 只有零解的充分必要条件是0≠D ；)(I 有非零解（或者)(I 有无穷多个解）的充分必要条件是0=D 。

定理2 )(II 有唯一解的充分必要条件是0≠D ，且),,2,1(n i DD x ii ==；当0=D 时，)(II 要么无解，要么有无穷多个解。

第二讲 矩阵一 、基本概念及其运算 （一）基本概念1、矩阵—形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。

（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。

（2）对n m ij a A ⨯=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。

（3）称⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11 E 为单位矩阵。

（4）对称矩阵—设n n ij a A ⨯=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。

（5）转置矩阵—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A212221212111，称TA为矩阵A 的转置矩阵。

2、同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、伴随矩阵—设n n ij a A ⨯=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*nn n nn n A A A A A A A A A A 212221212111，称为矩阵A 的伴随矩阵。

（二）矩阵的三则运算1、矩阵加减法—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±±±±±±±±=mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A221122222221211112121111。

2、数与矩阵的乘法—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA212222111211。

3、矩阵与矩阵的乘法：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ns n n s s b b b b b b b b b B212222111211，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ms m m n s c c cc c cc c c C 212222111211，其中∑==n k kj ik ij b a c 1（s j m i ,,2,1;,,2,1 ==）。

【注解】（1）O B O A ≠≠,推不出O AB ≠。

（2）BA AB ≠。

（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。

若BA AB =，则)2)((2322B A B A B AB A --=+-，再如)2)(3(62E A E A E A A +-=--。

（4）方程组的三种形式 形式一：基本形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ）与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********（II ） （I ）（II ）分别称为齐次与非齐线性方程组。

记,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x X a a a a a a a a a A则方程组（I ）、（II ）可改写为 形式二：方程组的矩阵形式0=AX ， （I ） b AX =， （II ）令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m n mn n n m m b b b x x X a a a a a a 11121221111,,,,,ααα，则有形式三：方程组的向量形式O x x x n n =+++ααα 2211 （I ） O x x x n n =+++ααα 2211 （II ） 二、矩阵的两大核心问题—矩阵的逆矩阵与矩阵的秩【背景】初中数学问题：对一元一次方程)0(≠=a b ax ，其解有如下几种情况 （1）当0≠a 时，b ax =两边乘以a 1得abx =。