《线性代数一》2010年下半年补考模拟题答案一、填空题（每小题3分，共18分）1. 用行列式性质计算：xy x y y x y x x yxy+++= .解：考察知识点：行列式性质，包括最常见的初等变换（初等行变换3种，哪3种？对行列式变化有何影响？）(1)(2)2()2()2()1112()x y x y x y x y x y y x y x y x y x x y y x y x x yx yx yxyx yxy+++++=+=+++++(3)22331112()02()2()()2()0x x yx y x x y x y x y x xy y x y y xyx-=+-=+=+-+-=-+----其中：（1）将第二、三行加到第一行； （2）提出第一行的公因子；（3）将第一行依次乘以-y,-(x+y),分别加到第三行和第四行。

注意：行列式的性质非常重要，一定要熟练掌握，灵活应用。

2. 排列123456789的逆序数为 0 .解：一定要理解记住逆序数的定义。

按顺序来，从第一个元素到最后一个元素，都拿它与后面的元素进行比较，结果进行累计。

第一个元素为1，后面的元素均比它大，故有0个逆序； 第二个元素为2，后面的元素都比它大，同样有0个逆序； 依此类推。

得出每个元素，与其后面的元素进行比较，都没有逆序出现，故逆序数为 0+0+……+0=03. 已知向量()1234,2,1,(0,1,6),(8,9,10)ααα===-，则122322()Tααααα-+= 。

解：考察向量的四则运算()()()1223282()4,2,12(0,1,6)((0,1,6)9)(0,1,6)104,0,11(51)(0,1,6)4,0,11(0,51,306)(4,51,317)T ααααα⎛⎫⎪-+=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭=-+-=--=-- 4. 设011510310A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 则=AB ；21n A += 。

（其中n 为自然数）。

解：考察矩阵间的乘积运算和幂运算。

直接根据定义计算即可31015AB ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，在求幂方时，由于指数是抽象的，所以必须找出规律，因为21001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2=I 为单位矩阵，则由单位矩阵性质知对,P ∀矩阵则PI P =342,A A A A I ⇒===……..所以，得出规律当幂指数为偶数时，则结果其实就是单位矩阵，当为奇数时，结果就是A 本身，故210110n A +⎛⎫= ⎪⎝⎭.5. 设n 阶矩阵A 非奇异(2)n ≥，*A 是A 的伴随矩阵，则**()A = 。

解：*1**1112()()11()*()nn A A A A A A A A A A A A A A-----=⇒===若这样看起来比较复杂，则可以令*1A A A B -==则有：***11112()()11()*()nn A B B B A A A A A A A A A A-----=====结果其实是一样的，只是看起来容易理解一点。

6. 设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组b Ax =的解，s s k k k ηηη+++ 2211 也是b Ax =的解，则s k k k ,,,21 应满足的关系为12s k k k +++= 。

解：由题目条件得有,1,2,...,i A b i s η==，要使得s s k k k ηηη+++ 2211也是解，则应该有：1122()s s A k k k b ηηη+++=，而我们知，1122112212()...()s s s s s A k k k k A k A k A k k k b b ηηηηηη+++=+++=+++=因此，要求12s k k k +++=1二、选择题（每小题3分，共27分）1.203210k k k k +≠++的充分必要条件是（C ）。

A 、1k ≠ B 、6k ≠- C 、61k k ≠-≠且 D 、61k k ≠-≠或 解：直接计算得2(210)(2)(3)(6)(1)3210k k k k k k k k k k +=+-++=+-++0≠61k k ⇔≠-≠且，选C2．设,,A B A B +以及11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则111()A B ---+等于（C ） A 、11A B --+ B 、A B + C 、1()A A B B -+ D 、1()A B -+解：考察矩阵的逆运算。

A 的逆必须满足11*AA A A I --==，11()A A --=。

选项A 中，1111112()()()A B A B A B ------++=+不会恒等于I ；选项B 中 11111111()()2A B A B AA BA AB BB I BA AB --------++=+++=++，不恒等于I ；同理运算D ，不是答案；选项C 中，设1()A A B B -+的逆为P ，要证P 即为11A B --+，1111(())()()A A B B P I A B BP A BP A B A ----+=⇒+=⇒=+11111111()P B A B A B AA B BA B A --------⇒=+=+=+111(())()A A B B A B I ---⇒++=，即111()A B ---+为1()A A B B -+，选C3. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC I =，其中I 是n 阶单位矩阵，则必有（D ）。

A 、ACB I = B 、CBA I = C 、 BAC I = D 、 BCA I =解：同样考察矩阵，包括逆矩阵、矩阵乘积等运算。

由于ABC I =，一般我们有11PP P P I --==，因此题目我们可以得出有以下两种结果：()()()()AB C C AB IA BC BC A I====将与之四个选项对比，明显选D 。

4. 已知,P Q 为n 阶正交矩阵，则下列为错误的是（A ） A 、1Q = B 、PQ 也为正交矩阵 C 、1TQ Q -= D 、1Q Q -=解：考察正交矩阵的性质，看教材P188：由性质1和正交矩阵行列式值有两种可能，1或-1，故A 错； 由性质3知PQ 也为正交矩阵，故B 正确；由性质2知1T Q Q -=，而我们知1T Q Q Q -==，因此C 项与D 项均正确，答案选A 。

5. 下列所指明的各向量组中,( B )中的向量组是线性无关的. A.向量组中含有零向量B.任何一个向量都不能被其余向量线性表出C.存在一个向量可以被其余向量线性表出D.向量组的向量个数大于向量的维数解： 考察线性相关和无关的性质。

首先，零向量与任何向量都是线性相关的，因此线性无关的向理组中不可能有零向量，A 错； 定理3.7，教材P132，向量组线性相关充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合，即至少有一个向量可以由其余向量线性表出（见P124定义3.5）,其逆否定题为：任何一个向量都不能被其余向量线性表出则是线性无关，B 正确； C 中是使得定理3.5线性相关成立的条件，故错误；D 中，向量组的维数即等于向量组的秩，即是其极大无关组所含向量的个数，若向量组的向量个数大于向量的维数，说明极大无关组不是向量组本身，而只是其子集，说明向量组线性相关，D 错误，选择B 。

6.下列叙述中，错误的有（ C ）A 、若向量αβ与正交，则对于任意实数,,a b a b αβ与也正交B 、若向量β与向量12αα，都正交，则β与12αα，的任一线性组合也正交C 、若向量αβ与正交，则αβ与中至少有一个零向量D 、若向量α与任意同维向量正交，则α是零向量解： 对于A ，因0T αβ=，则()()()0T T a b ab αβαβ==对于B ，因10T αβ=，20Tαβ=，则1122112212()000T T T T k k k k k k ααβαβαβ+=+=+= 对于C ，设(1,0),(0,1)T T αβ==,则0T αβ=，但是αβ与均为非零向量，C 错。

对于D ，设121(,,),(1,0,0)T T n x x x αε==…，，…，0,则110T x αε==，同理可证230n x x x ====…，故α是零向量。

选C 。

7. 设,A B 为n 阶矩阵，且,A B 相似，则以下错误的是（C ） A 、()()r A r B =； B 、A B =； C 、,A B 有相同的特征向量；D 、,A B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

解：考察相似的定义及相关性质，教材P117相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的秩，有相同的行列式值，但不一定有相同的特征向量，因此，明显选C 。

8. 若A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的导出组，则下列结论正确的是（D ）A 、若0Ax =仅有零解，则Ax b =有惟一解；B 、若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多个解；C 、若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =仅有零解；D 、若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =有非零解。

解：考察0Ax =与Ax b =之间的关系，请参看教材第三章第五节。

同时要注意到0,.Ax Ax b ==有解时未必有解因为Ax b =解的形式为：一个特解+ 0Ax =的基础解系，当然它也可以无解；若0Ax =仅有零解，等价于0Ax =只有唯一解，即基础解系就为零，因此Ax b =要么无解，要么解的形式：一个特解+0（即唯一解），因此A 错；若0Ax =有非零解，即基础解系不等于0，则Ax b =要么无解，要么解的形式：一个特解+ 0Ax =的非零基础解系，即有无穷多解，因此B 错；反过来，若Ax b =有无穷多个解，则解的形式必为：一个特解+ 0Ax =的非零基础解系，因此0Ax =有非零解，故C 错，选D 。

9. 设向量组()12341,1,3,1,(1,1,1,3),(5,2,8,9),(1,3,1,8)αααα==--=--=-，则其极大线性无关组为（C ）。

A 、1234,,,ααααB 、123,,αααC 、 124,,αααD 、 14,αα解:考察极大线性无关组的定义及求解， 设()1234TT T TA αααα=进行初等行变换(1)(2)(5)(3)(4)115111511151112302740274318102740000139804149000131151100115127027401220001000100000000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪−−→−−→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7010200010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中：（1）将第一行的(-1)倍加到第二行,第一行的(-3)倍加到第三行,第一行的（-1）倍加到第四行;（2）将第二行的(-1)倍加到第三行，第一行的（-2）倍加到第四行; （3）互换第三行和第四行； （4）将第二行除以2;（5）将第三行加到第一行；第三行的（-2）倍加到第二行；第二行加到第一行;由于矩阵的初等变换不改变其列向量的线性关系,故得该向量组有两个极大线性无关组，分别为124134,,,,αααααα或（实际上,上式只需化简到(2)后面的矩阵(记为B)即可.对矩阵B,通过观察可知.）因此，只有选项C 符合答案，故选C 。