数学建模(6离散概率模型).pptx(2/3)
例3 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
散点图
总平方和：
回归平方和：
散点图
残差平方和：
最小二乘法
a=0.7194 ,b=-16.0730
可信程度? 进行检验
F=180.9531, p=0.0000
r2=0.9282
案例的MATLAB求解代码：
应用matlab工具箱中解决回归问题：
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
p(1)=1; q(1)=0; for n=1:15 p(n+1)=0.6*p(n)+0.3*q(n); q(n+1)=0.4*p(n)+0.7*q(n); end format short g p, q n=1:16; plot(n,p,'c-') hold on plot(n,q,'m--') legend('奥兰多-','坦帕--') xlabel('x') ylabel('y')
宇宙火箭通讯系统（并联运行）
两个独立部件的可靠性分别是R1(t)=0.95,R2(t)=0.96, 则系统可靠性是： Rs(t)= R1(t)+R2(t)-R1(t)*R2(t)=0.998 或 Rs(t)=1-0.05*0.04=0.998(多个部件并联用此方法最佳) 注意：整个并联系统的可靠性大于任何单个部件的可靠性，其中任何一个
汽车出租例题的迭代解
5.模型解释
如果最初两个分店总共有n辆车，那么14个时段后大约57%的车将在坦帕， 43%的车将在奥兰多，于是，若开始每个城市有100辆车，则稳定状态下114 辆车将在坦帕，86辆车将在奥兰多（只需要大约5天就可达到这种状态）。
数学建模(6离散概率模型).pptx(1/3)
例2 健康与疾病
;
0 05
3、残差分析： 画出残差及其置信区间： rcoplot（r，rint）
从残差图可以看出，除第 残差图应该有什么特点？ 二个数据外，其余数据的残差 离零点均较近，且残差的置信 区间均包含零点，这说明回归 模型 y=-16.073+0.7194x能较好 的符合原始数据，而第二个数 据可视为异常点.
n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
串联系统是所有部件全都可使用时才运转正常的系统。
R1(t)=0.9 R2(t)=0.95 R3(t)=0.96
串联系统
并联系统是只要有一个部件可使用就运转正常的系统。
R1(t)=0.95 MW（微波） 无线电发送 R2(t)=0.96 FM（调频） 无线电发送
并联系统
宇宙火箭推进系统（有3节串联助推火箭）
3个部件的可靠性分别是R1(t)=0.90,R2(t)=0.95,R3(t)=0.96, 则系统可靠性是它们的乘积： Rs(t)=R1(t)*R2(t)*R3(t)=0.8208 注意：整个串联系统的可靠性小于任何单个部件的可靠性，因为每个部件的 可靠性小于1。各单元之间的失效时间随机变量互为独立时，如果有某一单元 发生故障，则引起系统失效的系统。
奥兰多 0.6 坦帕 0.3
0.4
0.6
奥兰多P
坦帕q
0.3 汽车租赁例中奥兰多和坦帕的马尔可夫链
4.模型求解
n 0 1 2 奥兰多 1 0.6 0.48 0.444 0.4332 0.42996 0.428988 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 坦帕 0 0.4 0.52 0.556 0.5668 0.57004 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012
单元都能单独支撑整个系统的运行。
串并联组合系统
RMW(t) R1(t) RFM(t)
子系统1通讯
§6-3 线性回归
R3(t) 由一个或一组非随机变量来估计或预测另一 个随机变量时建立的线性模型所做的统计分析， 称为线性回归分析。 回归分析需解决三个问题： 1、确定参数， 2、显著性检验， 3、预测和控制。
状态与状态转移
0.8
0.2
0.3
1
0.7
2
Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关 状态转移具 有无后效性
状态与状态转移
0.8
0.2
0.3
1
0.7
2
§6-2 部件和系统可靠性建模
给定a(0), 预测 a(n), n=1,2…

n
0 1 0 0 1
1 0.8 0.2 0.7 0.3
2 0.78 0.22 0.77 0.33
6 离散概率模型
§6-1 离散系统的概率模型 §6-2 部件和系统可靠性建模 主讲人：何旭彪 §6-3 线性回归
1
2
§6-1 离散系统的概率模型
我们学会利用比例和确定比例系数的方法建立模型， 如果比例系数是随机的，怎么办？ 马尔可夫链：是在任何给定时刻具有同样多个状态或结果的一 个过程。马氏链模型描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型。
对每个状态从当前状态向下一个状态的转移概率之和为1。
例1：汽车租赁
1.识别问题
下一状态
2.模型假设
假设最初全部汽车都在奥兰多。
奥兰多
当前状态
坦帕 0.4 0.7
3.模型建立
定义如下变量： pn=第n时段末在奥兰多可供出租的汽车的百分比 qn=第n时段末在坦帕可供出租的汽车的百分比 构造概率模型：
0.7
人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制 订保险金和理赔金的数额 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特 定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率 为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率
[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 回归系数
回归系数的区间估计 残差 显著性水平 （缺省时为 ） 置信区间
用于检验回归模型的统计量， 有三个数值：相关系数r2、 F值、与F对应的概率p
x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]; X=[ones(16,1)x]; Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]; [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) b, bint,stats
预测与控制
应用回归方程，给出 x0，可算出 但与实测值y0 有偏差。 刻画了误差引起的总的变动情况 残差平方和：S如何研究偏差？ 残=
令
称为剩余标准差 为什么是 n-2而不是n？
统计量：
对于给定的置信水平α，y0取值在
当n比较大时，y0 取值在 在 的概率为 68%，在 的概率为 99%。 想一想，为什么？
R2(t)
子系统2推进
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可控宇宙火箭推进点火系统
检查每个子系统，子系统1（通讯系统）是并联的，可靠 性为0.998，子系统2（推进系统）是串联的，可靠性为0.8208。 这两个子系统是串联的，所以整个系统的可靠性是两个子系统 可靠性的乘积： Rs(t)=R1(t)*R2(t)=0.998*0.8208=0.8192
的概率为α。
的概率为 95%
如果要求控制y值，适合 解方程组：
怎么办？ 即可
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1-p q
马氏链 (Markov Chain) 的概念：
•一个事件有许多结果，系统在每个时期所处的 状态是随机的； •从一时期到下时期的状态按一定概率转移；
p
状态1
1-q
状态2
•下时期状态只取决于本时期状态和转移概率， 即已知现在，将来与过去无关（无后效性）。
马氏链 (Markov Chain)是时间、状态均为离散的随机转移过程，
3 0.778 0.222
…
设投保 时健康 设投保 时疾病
∞

a1(n) a2(n) a1(n) a2(n)
… 7/9 … 2/9 7/9 2/9

0.777 … 0.333 …
一个部件或系统的可靠性是在指定的时间内没有失 效的概率。 记f(t)为一个零件、部件或系统在时间t内的失效率， 即f(t)是一个概率分布，设F(t)是相应于f(t)的累积 分布函数，定义一个零件、部件或系统的可靠性为 R(t)=1-F(t)这样，在任何时间t的可靠性等于1减去 时间t的累积失效率。 系统是由若干部件（子系统、元器件）相互有机地 组合起来，可以完成某种工作任务的具有一定输入、 输出特性的整体。