7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
首先，根据定理 7.1.1，C 在 T T 取得极值的必 要条件为 p1 p2 r (7.1.1) C (T ) 2 0 T 2 由(7.1.1)式可解得（舍去负值） ： 2 p1 (7.1.2) T p2 r 而且 T 是函数 C(T)在定义域{T | T>0}内的唯一驻点.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
改用梯度和黑塞矩阵的术语来叙述： 定义 7.1.1 设 f(x,y)在点(a,b)处存在一阶偏导数 则 f f x , f y 称为 f(x,y)在点(a,b)处的梯度. fx 和 f y ， 定义 7.1.2 设函数 f(x,y)在定义域内存在连续 二阶偏导数，(a,b)是定义域的内点，则由 f(x,y)在(a,b) f xx f xy 处的二阶偏导数构成的二阶对称方阵H f f yy xy 称为 f(x,y)在点(a,b)处的黑塞矩阵（H 又记作 2 f ）.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.3 设 n 元函数 f(X) ( X ( x1 , x2 , , xn ) ) 在所考虑的定义域内存在一阶偏导数， 则 f(X)的梯度 为
f f x1 , f x2 ,

, f xn

其中
f xk f xk (k 1, 2,
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存（inventory）模型用来确定企业为了保证生 产经营正常进行而必需的库存水平. 库存模型需要回答两个问题：订多少货？什么时 候订货？库存模型回答这些问题的依据，是要使一个 时段内的库存总费用最小. 库存总费用通常由以下费用构成： 库存总费用 = 购买费用 + 固定费用 + 存货费用 + 缺货损失
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
通过考察库存总费用的构成，我们不难发现： （1）增加每次的订货量，在一个时段内会减少 订货次数，从而减少固定费用，还有可能享受价格优 惠，使总购买费用下降，但是会增加库存量，从而增 加存货费用. 库存模型要在这些费用之间进行平衡. （2）库存过剩，会造成资金占用，并且要支付 额外的存货费用，但是库存不足会引致缺货损失的惩 罚费用. 库存模型要在存货费用和缺货损失之间进行 平衡.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
在建立库存模型的时候，要在模型简化和模型精 确性两方面进行平衡，并且要注意灵敏度分析和强健 性分析. 下面介绍确定性静态库存模型和经济订货批量 （economic-order-quantity，EOQ）公式.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.3（必要条件） 设 f(x,y)在定义域内存 在连续一阶偏导数， (a,b)是定义域的内点. 如果 f(x,y) 在点(a,b)处取得极值，则在点(a,b)处有 f x f y 0 . 定理 7.1.4（充分条件） 设函数 f(x,y)在定义域 内存在连续二阶偏导数，点(a,b)是定义域的内点. （i） 如果 f(x,y)在点(a,b)处有 f x f y 0 ，f xx 0 且
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
相应的，每单位时间的总费用的最小值为 (7.1.4) C p0 r 2 p1 p2r 注 7.1.3 因为假设每件货物的价格 p0 是与订货 量 Q 无关的常数， 所以在以上模型的叙述当中可以省 略 p0 和购买费用；但是如果 p0 与订货量 Q 有关，例
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
1. 一元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.1（必要条件） 设函数 f(x)在点 x=a 处可导. 如果 f(x)在 x=a 处取得极值，则 f (a) 0 . 定理 7.1.2（充分条件） 设函数 f(x)在点 x=a 处具有二阶导数. 如果 f (a) 0 且 f (a) 0 ，则 f(x) 在 x=a 处取得极小值；如果 f (a) 0 且 f (a) 0 ，则 f(x)在 x=a 处取得极小值. 注 7.1.1 如果函数 f(x)满足定理 7.1.2 的前提条 件，并且 f(x)在点 x=a 处有 f (a) f (a) 0 ，则需要 另想办法判断 f(x)在 x=a 处的局部性质.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
（1）购买费用指要库存的货物的单价乘以订货 量，有时候订货量超过某个数量，价格可以更低，这 也是订多少货要考虑的因素之一； （2）固定费用指每次订货所要支付的固定费用， 与订货量无关； （3）存货费用指维持库存所需要的费用，包括 资金利息、存储费、维护费和管理费； （4）缺货损失指在缺货的情况下产生的惩罚费 用，包括收入的可能损失、对客户失信引致的损失.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的订货方式需要根据问题的实际意义 来设计，有些库存系统是周期盘点的，如每周或每月 订一次货，另外一些库存系统则是连续盘点的，当库 存量下降到某个水平（称为订货点） ，就发出新订单.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的复杂性取决于需求率（单位时间内对 货物的需求量） ，在实际情况中，库存模型的需求模 式可以分为三类： （1） 确定性的， 静态 （需求率是与时间无关的常数） ； （2） 确定性的， 动态 （需求率是时间的确定性函数） ； （3）随机性的（需求率是时间的随机变量）. 在以上三类模式中，从建立库存模型的角度来 看，第（1）类最简单，第（3）类最复杂；但是在实 际情况下，第（1）类最少发生，第（3）类最普遍.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
然后，根据定理 7.1.2，因为对任意的 T>0，都有 C(T ) 2 p1 T 3 0 ，所以 T 是函数 C(T)的极小值点. 既然函数 C(T)在定义域内只有 T 一个驻点，所以 C 在 T T 取得最小值. 于是，不允许缺货的确定性静态库存模型的最优 订货策略是：最优订货周期为 T ，而最优订货量为 2 p1r (7.1.3) Q rT ，即 Q p2 (7.1.2)和(7.1.3)式就是 EOQ 公式.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
不允许缺货时的模型假设（见图 7.1） ： （1） p0 、 p1 、 p2 和 r 都是正的常数； （2）T 和 Q 都是正的连续量； （3）在库存量下降到 0 时立即订货，并即时补货，订货量为 Q=rT.
不允许缺货的确定性静态库存模型的库存模式 订货时刻
,n)
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.4 设 n 元函数 f(X)在所考虑的定义域 内存在连续二阶偏导数，则 f(X)的黑塞矩阵记作
f x1x1 f x1x2 H fx x 1n f x1x2 f x2 x 2 f x2 xn f x1xn f x2xn f xn xn
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
注 7.1.2 设函数 f(x,y)满足定理 7.1.4 的前提条 件，并且在点(a,b)处有 f x f y 0 .
2 如果在点(a,b)处有 f xx f yy f xy 0 ，则点(a,b)称为
f(x,y)的鞍点， 即在以点(a,b)为中心的每一个开圆盘内 既存在点(x,y)使得 f(x,y)> f(a,b)，又存在点(x,y)使得 f(x,y)< f(a,b)； 2 如果在点(a,b)处有 f xx f yy f xy 0 ，则需要另想办 法判断 f(x,y)在点(a,b)处的局部性质.
2 f xx f yy f xy 0 ，则 f(x,y)在点(a,b)处取得极小值；
（ii） 如果 f(x,y)在点(a,b)处有 f x f y 0 ，f xx 0 且
2 f xx f yy f xy 0 ，则 f(x,y)在点(a,b)处取得极大值.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
在定理 7.1.3 当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极值的 必要条件可以改写为“f 0 ” ； 在定理 7.1.4 当中， f(x,y)在点(a,b)处取得极小 （大） 值的充分条件可以改写为 “ f 0 且 2 f 正 （负） 定” . 从一元函数 f(x)推广到二元函数 f(x,y)， 要用 f(x,y) 的梯度向量代替 f(x)的一阶导数， 用 f(x,y)的黑塞矩阵 及其正（负）定性质代替 f(x)的二阶导数及其正（负） 号. 事实上，这一规律可以推广到多元函数.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
r ~ 需求率（件/时间单位） ； ； p0 ~ 每件货物的价格（货币单位/件） ； p1 ~ 每次订货的固定费用（货币单位）
p2 ~ 每单位时间每件货物的存货费用（货币单位
/(件∙时间单位)） ； C ~ 每单位时间的总费用； C ~ 不允许缺货时，每单位时间总费用的最小值.
X 0 处取得极值，则 f(X)在点 X 0 处有 f ( X 0 ) 0 . 定理 7.1.6 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 续二阶偏导数， 点 X 0 是定义域的内点. 如果 f(X)在点 X 0 处有 f ( X 0 ) 0 且 2 f ( X0 ) 正（负）定，则 f(X) 在点 X 0 处取得极小（大）值.