等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习一．选择题（共 2 小题）1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若 BC=5cm ， BD=3cm ，则点 D 到AB 的距离为（2．如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC 、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边 △ACD 和等边△BCE ，连接 AE 交CD 于 M ，连接 BD 交CE 于 N ．给出以下三个结论：① AE=BD② CN=CM③ MN ∥ AB其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共 1 小题）3．如图，在正三角形 ABC 中， D ，E ，F 分别是 BC ， AC ， AB 上的点， DE ⊥ AC ， EF ⊥ AB ， FD ⊥ BC ，则△ DEF 的面积与 △ABC 的面积之比等于 ___ ．E 、F 分别为 AB 、AC 上的点，且 ∠ EDF+ ∠EAF=180 °，求证 5．在△ ABC 中， ∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点 O ，过点 O 作DE ∥BC ，分别交 AB 、AC 于点D 、E ．请说明 DE=BD+EC ．B ．3cmC ．2cmD ．不能确定三．解答题（共 15 小题）6．＞已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥ AB ，DF ⊥ AC ，垂足分别为 E ，F ，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．7．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至 E ，使 CE=CD ．连接 DE ．（1）∠E 等于多少度？（2） △DBE 是什么三角形？为什么？9．如图， △ABC 中， AB=AC ，点 D 、E 分别在 AB 、AC 的延长线上，且 BD=CE ， DE 与BC 相交于点 F ．求证： DF=EF ．10．已知等腰直角三角形 ABC ，BC 是斜边．∠B 的角平分线交 AC 于D ，过 C 作CE 与BD 垂直且交 BD 延长线 于 E ，求证： BD=2CE ．∠A=30 °．求证： AB=4BD ．∠ACB=90 °， CD 是 AB 边上的高，11．（2012?牡丹江）如图① ，△ABC中．AB=AC ，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：如图① ，连接AP．∵PE⊥AB ，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP= AB ?PE，S△ACP= AC?PF，S△ABC= AB?CH．△ABP △ACP △ABC又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∵ AB=AC ，∴ PE+PF=CH ．（1）如图② ，P为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P在直线BC 上，且P到直线AC 的距离为PF，当PF=3 时，则AB 边上的高CH= __________ ．点P 到AB 边的距离PE= ___________ ．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点E在AB 上，点D在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE _______________________________________________ DB（填“> ”，“< ”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE __________ DB（填“>”，“<”或“=”）．理由如下：如图2，过点 E 作EF∥ BC，交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC ．若△ ABC 的边长为 1，AE=2 ，求 CD 13．已知：如图， AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF 于点 E ，点 D 在 AF 上， ED=EA ，点 P 在 CF 上，连接 PB 交 AF 于点 M ．若 ∠BAC=2 ∠ MPC ，请你判断 ∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．14．如图，已知 △ABC 是等边三角形，点 D 、E 分别在 BC 、AC 边上，且 AE=CD ，AD 与BE 相交于点 F ． （ 1）线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论．（2）求 ∠BFD 的度数．15．如图，在 △ABC 中， AB=BC ，∠ABC=90 °，F 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 上， BE=BF ，连接 AE 、EF 和 CF ，求证： AE=CF ．16．已知：如图，在 △OAB 中，∠AOB=90°，OA=OB ，在△EOF 中， ∠EOF=90 °， OE=OF ，连接 AE 、 BF ．问线 段 AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由．的长（请你直接写出结果）17．（2006?郴州）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC 引垂线，垂足分别为E，F，CG 是AB 边上的高．（1）DE，DF，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若 D 在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC 中，AB=AC ，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF ，若P点在BC 的延长线上，那么请你猜想PD 、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共 2 小题）1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm ，BD=3cm ，则点D到AB的距离为（）解答：解：∵∠ C=90°，AD平分∠ BAC 交BC于D∴D 到AB 的距离即为CD 长CD=5 ﹣3=2 故选C．2．如图，已知 C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE 交CD 于M，连接BD 交CE 于N．给出以下三个结论：① AE=BD ② CN=CM ③ MN ∥ AB 其中正确结论的个数是（）A．0 B． 1 C． 2 D．3分析：由△ACD 和△ BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得① 正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC= ∠NDC ，又由∠ACD= ∠ MCN=60 °，利用ASA ，可证得△ ACM ≌△ DCN ，即可得②正确；又可证得△CMN 是等边三角形，即可证得③ 正确．解答：解：∵△ ACD 和△BCE 是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD ，故① 正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD= ∠ MCN=60 °，∵AC=DC ，∴△ ACM ≌△ DCN （ASA ），∴CM=CN ，故② 正确；又∠MCN=180°﹣∠MCA ﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN 是等边三角形，∴ ∠ NMC= ∠ACD=60 °，∴ MN ∥ AB ，故③ 正确．故选D．二．填空题（共 1 小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC 的分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF 是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1 ：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．B ．3cmC ．2cm D．不能确定解： ∵△ABC 是正三角形， ∴∠B=∠C=∠A=60°，∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠AFE=∠CED= ∠ BDF=90 °，∴∠ BFD= ∠ CDE= ∠AEF=30 °， ∴∠ DFE= ∠ FED= ∠EDF=60 °， ，∴△DEF 是正三角形， ∴BD ：DF=1 ： ① ，BD ： AB=1 ：3② ，△DEF ∽△ABC三．解答题（共 15 小题）过D 作 DM ⊥ AB ，于 M ，DN ⊥AC 于N ，根据角平分线性质求出 DN=DM ，根据四边形的内角和定理和平角定义求 出∠ AED= ∠CFD ，根据全等三角形的判定 AAS 推出△ EMD ≌ △ FND 即可．证明：过 D 作 DM ⊥AB ，于 M ，DN ⊥AC 于 N ，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360 °﹣ 180°=180°，∵∠ AFD+ ∠ NFD=180 °， ∴∠ MED= ∠NFD ， 在△ EMD 和△ FND 中，∴△EMD ≌△FND ，∴ DE=DF ．O ，过点 O 作 DE ∥ BC ，分别交 AB 、AC 于点 D 、E ．请说明 DE=BD+EC ．解答： ∴△ DEF 的面积与 △ ABC 的面积之比等于 1：3．4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为 AB 、AC 上的点，且∠ EDF+ ∠ EAF=180 °，求证 DE=DF分析： 解答： 即∠ EMD= ∠ FND=90 °，∵AD 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴ DM=DN 角平分线性质） ∠DME= ∠DNF=90 °，∴DF ：AB=1 ： ①÷② ， ∠ ACB 的平分线相交于点分析：根据OB 和OC分别平分∠ABC 和∠ ACB ，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO ，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC 中，OB和OC分别平分∠ABC 和∠ACB，∴∠ DBO= ∠ OBC ，∠ ECO= ∠OCB ，∵DE ∥ BC，∴ ∠DOB= ∠ OBC= ∠ DBO ，∠EOC= ∠OCB= ∠ECO，∴DB=DO ，OE=EC，∵DE=DO+OE ，∴DE=BD+EC ．6．＞已知：如图，D是△ABC 的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．分析：用（HL ）证明△ EBD ≌△ FCD ，从而得出∠ EBD= ∠ FCD ，即可证明△ABC是等腰解答：△ABC 是等腰三角形．证明：连接AD ，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF ，∵D 是△ABC 的BC 边上的中点，∴BD=DC ，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD= ∠FCD，∴△ABC 是等腰三角形．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．1）∠E等于多少度？（2）△DBE 是什么三角形？为什么？分析：（1）由题意可推出∠ACB=60 °，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E 的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD 不但为AC 边上的高，也是∠ABC 的角平分线，即得：∠DBC=30 °，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△ DBE 是等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60 °，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB= ∠E+∠CDE，∴，（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴，∵∠ E=30°，∴ ∠DBC= ∠ E，∴△ DBE 是等腰三角形．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90 °，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ．分析：由△ABC 中，∠ACB=90 °，∠ A=30 °可以推出AB=2BC ，同理可得BC=2BD ，则结论即可证明．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC ，∠B=60°．又∵ CD ⊥ AB ，∴ ∠ DCB=30 °，∴ BC=2BD ．∴ AB=2BC=4BD ．9．如图，△ ABC中，AB=AC ，点D、E分别在AB 、AC的延长线上，且BD=CE ，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．分析：过 D 点作DG∥ AE 交BC 于G 点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG ，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过 D 点作DG∥AE 交BC 于G 点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC ，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE ，∴ DG=CE ，在△DFG 和△EFC 中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC 可得FC=BD ，所以BD=2CE ．证明：如图，分别延长CE，BA 交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE 平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵ BE=BE ，∴△BFE≌△BCE（ASA ）．∴FE=CE ．∴CF=2CE．∵AB=AC ，∠BAC=90 °，∠ABD+ ∠ADB=90 °，∠ ADB= ∠ EDC ，∴∠ ABD+ ∠EDC=90 °．又∵ ∠DEC=90 °，∠EDC+ ∠ ECD=90 °，∴ ∠ FCA= ∠ DBC= ∠ABD ．解答：11．（2012?牡丹江）如图① ，△ABC 中．AB=AC ，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图① ，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP= AB ?PE，S△ACP= AC?PF，S△ABC= AB ?CH ．△ABP= AB ?PE，S△ACP= AC?PF，S△ABC= AB?CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴ AB ?PE+ AC ?PF= AB ?CH ．∵AB=AC ，∴PE+PF=CH．（1）如图② ，P为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠ A=30 °，△ABC 的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP ，S△ ACP，S△ABC ，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC 即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH ，再由△ABC 的面积为49，求出CH=7，由于CH>PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC 上一点，运用结论PE+PF=CH ；② P为BC 延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图② ，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP= AB?PE，S△ACP= AC?PF，S△ABC= AB ?CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴ AB?PE= AC ?PF+ AB ?CH，又∵ AB=AC ，∴PE=PF+CH；△△△（2）∵在△ACH 中，∠A=30 °，∴ AC=2CH ．∵S△ABC= AB ?CH ，AB=AC ，∴ ×2CH?CH=49 ，∴CH=7 ．△ABC分两种情况：① P 为底边BC 上一点，如图① ．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；② P为BC延长线上的点时，如图② ．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点 E 在AB 上，点 D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“>”，“<”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB的大小关系是：AE = DB（填“>”，“<”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E在直线AB 上，点 D 在直线BC上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写长线上时，求出CD=1 ．解：（1）故答案为：= ．（2）过E作EF∥BC 交AC 于F，∵等边三角形ABC，∴∠ABC= ∠ ACB= ∠ A=60 °，AB=AC=BC ，∴∠AEF=∠ABC=60 °，∠ AFE= ∠ACB=60 °，即∠AEF= ∠ AFE= ∠ A=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴ AE=EF=AF ，∵∠ABC=∠ACB= ∠AFE=60 °，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC ，∴ ∠ D=∠ECD ，∴∠ BED= ∠ECF，在△DEB 和△ECF 中，∴△ DEB ≌△ ECF，∴ BD=EF=AE ，即AE=BD ，故答案为：=．3）解：CD=1 或3，分析：（ 1 ）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出（2）过E作EF∥BC 交AC 于F，求出等边三角形（3）当 D 在CB 的延长线上，E 在AB 的延长线式时，由（∠ D= ∠ ECB=30 °，求出∠ DEB=30 °，求出BD=BE 即可；AEF ，证△DEB 和△ECF全等，求出BD=EF 即可；2）求出CD=3 ，当 E 在BA 的延长线上， D 在BC 的解答：② 如图 2，作 AM ⊥BC 于M ，过 E 作EN ⊥BC 于N ， 则 AM ∥EM ，13．已知：如图，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF 于点 E ，点D 在AF 上，ED=EA ，点P 在CF 上，连接PB 交AF 于点M ．若∠BAC=2 ∠MPC ， 请你判断 ∠F 与 ∠MCD 的数量关系，并说明理由．= ，∴ == ，∴ =∵AM ∥EN ，∴△AMB ∽△ENB ，∴ 理由是：分为两种情况： 过A 作 AM ⊥BC 于M ， ∵△ ABC 是等边三角形，① 如图 1过 E 作 EN ⊥ BC 于 N ，∴ AB=BC=AC=1 ，则 AM ∥EM ，∵AM ⊥BC ， ∴BM=CM= BC= ，∵ DE=CE ， EN ⊥ BC ， ∴ CD=2CN ， ∵△ ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC=1 ，BC=∵AM ⊥BC ， ∴BM=CM= ∵AM ∥EN ， ∴ =，=， ∵ DE=CE ，EN ⊥BC ， ∴MN=1 ， ∴CN=1 ﹣ ∴ CD=2CN ，∴CD=2CN=1分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD ，推出∠CDA= ∠ CAD= ∠CPM ，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA= ∠ CMD ，在△DCM 和△PMF 中根据三角形的内角和定理求出即可．解答：解：∠F=∠ MCD ，理由是：∵AF 平分∠BAC ，BC⊥ AF ，∴∠ CAE= ∠ BAE ，∠ AEC= ∠ AEB=90 °，在△ ACE 和△ABE 中∵，∴△ACE≌△ABE （ASA ）∴ AB=AC ，∵∠ CAE= ∠ CDE ∴AM 是BC 的垂直平分线，∴ CM=BM ，CE=BE ，∴∠ CMA= ∠BMA，∵AE=ED ，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD= ∠CDA，∵∠ BAC=2 ∠ MPC ，又∵∠ BAC=2 ∠CAD，∴∠ MPC= ∠ CAD ，∴ ∠MPC= ∠ CDA ，∴∠ MPF= ∠CDM ，∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠ DCM+ ∠CMD+ ∠CDM=180 °，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD ，∴∠MCD=∠F．14．如图，已知△ABC 是等边三角形，点D、E 分别在BC、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F．（1）线段AD 与BE 有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠ BFD 的度数．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠ BAC= ∠ C=60°，AB=CA ，结合AE=CD ，可证明△ ABE ≌△ CAD ，从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA ．在△ ABE 和△CAD 中，∴ △ ABE ≌△CAD ∴AD=BE ．（2）解：∵ ∠ BFD= ∠ ABE+ ∠BAD ，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60 °．15．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ ABC=90 °，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF ，连接AE、EF 和CF，求证：AE=CF ．根据已知利用SAS 即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF ．证明：∵ ∠ABC=90 °，∴∠ABE= ∠CBF=90 °，分析：解答：又∵ AB=BC ，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16．已知：如图，在△OAB 中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE 与BF之间有再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE 的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO ≌△ BFO ；延长BF交AE 于D，交OA 于C，可证明∠BDA= ∠ AOB=90 °，则AE⊥BF．解：AE 与BF相等且垂直，理由：在△AEO 与△BFO 中，∵Rt△OAB 与Rt△ OEF 等腰直角三角形，∴AO=OB ，OE=OF ，∠ AOE=90 °﹣∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．延长BF 交AE 于D，交OA 于C，则∠ACD= ∠BCO，17．（2006?郴州）如图，在△ABC中，AB=AC ，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC 引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB 边上的高．（1）DE，DF，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若 D 在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC 的面积=三角形ABD 的面积+三角形ACD 的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC 的面积=三角形ABD 的面积﹣三角形ACD 的面积．解答：解：（1）DE+DF=CG ．证明：连接AD ，可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO ，OE=OF，解答：什么关系？请说明理由．分析：∴AE⊥BF．（2）当点 D 在BC 延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG ．理由：连接AD ，则S△ABD =S△ABC+S△ ACD，即AB ?DE= AB ?CG+ AC?DF ∵AB=AC ，∴DE=CG+DF ，即DE﹣DF=CG ．同理当 D 点在CB 的延长线上时，则有DE ﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC 中，AB=AC ，在底边BC 上有任意一点P，则P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF ，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．S△PAC= AC?PE，AB ? PD= AB ?CF+ AC ?PE，即可求证．解：我的猜想是：PD、PE、CF 之间的关系为PD=PE+CF ．理由如下：连接AP ，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB= AB?PD，S△PAC= AC?PE，S△CAB= AB ?CF，∵S△PAB ，△PAC ，△CAB ，又∵ AB=AC ，∴ S△PAC= AB ?PE，∴ AB ?PD= AB ?CF+ AB ?PE，即AB （PE+CF）= AB ?PD，∴ PD=PE+CF ．则S△ABC=S△ABD+S△ACD AB ?CG= AB ?DE+ AC ?DF，∵AB=AC ∴ CG=DE+DF ．猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF ．根据∵S解答：分析：?PD，S△PAC= AC?PE，S△CAB= AB ?CF，△△。