5
第一、二章习题课
四、质点运动学两类基本问题
1、由质点的运动方程可以求得质点在任一
时刻的位矢、速度和加速度；
2、已知质点的加速度以及初始速度和初始位
置, 可求质点速度及其运动方程．
r(t) 求导 v(t) 求导 a(t)
积分
积分
6
以直线运动为例
第一、二章习题课
1) a a(t)
dv a(t)
t
vx v0x 0 ax (t )dt
t
x x0 0 vx (t )dt 9
2）在自然坐标下
第一、二章习题课
在前述关系式中，将 a 、 x 用其 a 、s 替换
即可，如
dv dt

a
(t)
v
t

dv
v0
0 a (t )dt
t
v v0 0 a (t )dt
t
s s0
v(t )dt
0
10
第一、二章习题课
五、牛顿定律的应用举例
隔离物体 受力分析 建立坐标 列方程 解方程 结果讨论
两类常见问题
已知力求运动方程 已知运动方程求力
rF
aa
r F
11
讨论题
第一、二章习题课
1、一质点做抛体运动（忽略空气阻力），如图所示
主要内容回顾 第一、二章习题课
一、质点运动的矢量描述
位矢和位移
r 运动方程：r r(t) O
位移：
r

r2

r1

r (t2
)

r (t1)
P
Γ
r(t)
速度和速r率 v t
v

lim
r(t

t )

r(t)

lim
r

dr
t 0
t

v
dv
t
a(t )dt
dt
v0
0
t
v v0
a(t )dt
0
dx
x
t
v(t) dx v(t)dt
dt
x0
0
t
x x0
v(t )dt
0
7
2) a a(v)
第一、二章习题课
dv
v dv
t
a(v)
dt
dt
v0 a(v) 0
v dv
t t0 v0 a(v)
三、相对运动
伽利略变换
第一、二章习题课
vr
vr
r0

u

a a'a0

A,B,C三个质点 相互间有相对运动
vAC vAB
vvAAB

vBC vB
力学的相对性原理 动力学定律在一切惯性系
中都有相同的数学形式。这个结论进一步推广为：
对于力学规律来说，一切惯性系都是等价的。
t0 t dt
v s v lim s ds
t
t0 t dt
1
加a速 度v

v(t2 )

v (t1 )
t
t2 t1
第一、二章习题课
a(t) lim v dv d 2r t0 t dt dt2
直角坐标系中的位置矢量、速度和加速度
的直线运动的叠加（矢量加法）。
——运动的独立性原理或运动叠加原理
2
第一、二章习题课
自然坐标系中的速度和加速度
v

v

ds

dt
a

a

an

dv
dt

v2

n

a

a
an
圆周运动中的切向加速度和法向加速度
a dv v2 n
dt R
3
二、圆周运动的角量描述 t A 角位置 t t B 角位移
t
4tdt
v 2t 2
0
0
v dx 2t 2 dx 2t 2dt
dt
x dx
10
t 2t 2dt
0
x 2 t 3 10 3
15
第一、二章习题课
2水、平路路灯面离上地以面匀高速度度为vH0，步一行个。身如高图为所h示的。人求，当在人灯与下
灯的水平距离为x时，他的头顶在地面上的影子移动
在最高点an值最大，v=v0cos0最小。
因此在起点和终点曲率半径的值一定最大， 在最高 点值最小。
最大值 v2 v02
an g cos 0
13
第一、二章习题课
2. dv 0的运动是什么运动？
dt d v 0的运动是什么运动？ dt
dv a 0 dt
dv dt a 0
请回答下列问题： 质点在运动过程中
y v0
(1) dv 是否变化？ dt
O 0
x
(2) dv 是否变化？
dt
（3）法向加速度是否变化？
（4）轨道何处曲率半径最大？其数值是多少？ 12
法向加速度
an

v2
g cos v2an第一、二章习题课
y v0
O 0
x
在轨道起点和终点 最大，an值最小，v=v0值最大。
36.90
22
19
第一、二章习题课
精品课件！
20
第一、二章习题课
精品课件！
21
vA vA
第一、二章习题课
vB
v2

v
2 A

32 42 5m / s
v

vB tg vA 3 36.90
v4


vA
vA
v
vB
vA 6m / s v vB 5m / s

r
v
a


dxri
yj

dx
i

zk
dy

dt
dv

dt
dv x
i

dt
dv y
dt dt dt
j
j


dz dt
dvz dt
k
k


vxi vy j vzk
axi ay j azk
任意曲线运动都可以视为沿x,y,z轴的三个各自独立
解： v 2 m dv
dt
t
v dv
dt
m0
v v0 2
v dx
1
dt 1 v0 t m
得：
x
t
dx
dt
0
0 1 v0 t m
x m ln( 1 v0t )

m
18
第一、二章习题课
4.在湖面上以3m/s的速度向东行驶的A船上看到B船以
角速度
v第2 一、B二v1章习题课
R s A


O
X
lim d t0 t dt
角加速度



lim
t0 t

d
dt

d 2
dt 2
v
ds dt

R d dt

R

a

dv dt

R
d dt

R
an

v2 R

R2
4
3.
r

at2i bt2 j
是什么运动
是变速直线运动
14
典型例题
第一、二章习题课
1、一质点沿x轴运动，其加速度为a=4t(SI制),当t=0时， 物体静止于x=10m处。试求质点的速度，位置与时间 的关系式。
解： a dv 4t dv 4tdt dt
v dv
的速度的大小。
y
H Ox
解：建立如图坐标，t时刻头顶
影子的坐标为X
v0
h
dx
x
v0 dt
dX
X
v dt
16
H Hh Xx
X Hx H h
dX Hv0 dt H h
第一、二章习题课
y
v0
H
Ox h
x
X

v

H H
h v0
17
第一、二章习题课
3. 一质点从坐标原点出发沿x轴作直线运动，初速度为v0 ，它受到一阻力-av2作用,试求:v = v (t ), x = x (t )
4m/s的速率从北面驶近A船。
(1)在湖岸上看，B船的速度如何？
(2)如果A船的速度变为6m/s(方向不变)，在A船上看B
船的速度又为多少？
解：(1)设B船岸的上速的度人为看v到BA船A的船速看度到为B船v的A 速度为 v

vA
vA
由伽利略速度变换，可有

v
vB
v vB vA
3) a a(x)
dv a(x) dv v a(x)
dt
dx
v
t
vdv a(x)dx
v0
0
8
对一般曲线运动
第一、二章习题课
1）在直角坐标下
在前述关系式中，将 a 、v 用其分量 ax 、vx
替换即可，如
dvx
dt