第十章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。
在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。
§10.1 向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论1⨯n 向量之间的动态交互作用。
假设一个p 阶向量自回归模型可以表示为)(p VAR ：t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=--- (10.1) 其中p 1ΦΦ ,是n n ⨯阶系数矩阵，t ε是白噪声向量，满足：⎩⎨⎧≠=Ω=t s t s E ,0,)(t s εε 其中Ω是n n ⨯阶正定矩阵。
可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为：tp t n p n p t p p t p t n n t t t n n t t t y y y y y y y y y c y 1,)(1,2)(12,1)(112,)2(12,2)2(122,1)2(111,)1(11,2)1(121,1)1(1111εφφφφφφφφφ++++++++++++++=--------- (10.2)由此可见，在)(p VAR 模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p 阶自回归的形式。
此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。
利用滞后算子形式，可以将)(p VAR 模型表示成为：t t p 21εc ΦΦΦ+=----y L L L I p n ][2 (10.3) 其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：p p ij ij ij ij ij L L L L )(2)2()1()(φφφδ----= Φ其中j i ij ==,1δ，j i ij ≠=,0δ定义10.1 如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。
此时下述变量与初始时间t 无关：)(t E y 和)(j t t E -'y y命题10.1 如果一个向量过程满足)(p VAR 模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有：(1) 该过程的均值向量可以表示成为：c ΦΦΦI μp 211][-----= n (10.4)(2) )(p VAR 模型可以表示成为中心化形式：12()()()()t t t t p t ----=-+-++-+12p y μΦy μΦy μΦy με (10.5)§10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR (p )模型表示成为VAR (1) 的形式。
为此，我们定义更高阶的向量为：1(,,,)np ⨯'=t t-1t-p+1ξy -μy -μy -μ)0,,0,(1'=⨯ t np V ε⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦΦΦΦ=⨯0000000000001321n n n p np np I I I F利用上述表示，可以将VAR (p )模型表示成为紧凑形式为：1t t t -=+ξF ξv (10.6) 此时向量误差的协方差矩阵为：,(),t s t s E t s =⎧'=⎨≠⎩Q v v 0 此处协方差矩阵为：np np ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Ω000000000Q 0000000000对方程(10.6)进行叠代，可以得到：21121s s t s t s t s t s t t -+++-+-+=+++++ξv Fv F v F v F ξ显然，当向量过程是平稳过程时，任何给定的误差过程的影响一定要随着时间消失，这时矩阵F 的所有特征根都要落在单位圆内。
类似的命题有：命题10.2 矩阵F 的特征根满足下列方程：12||0p p p n λλλ------=12p I ΦΦΦ (10.7)与此对应，VAR (p )模型是向量协方差平稳过程的条件是下述方程的特征根全部落在单位圆外：2||0p n z z z ----=12p I ΦΦΦ对向量协方差平稳过程而言，我们也可以类似地定义和讨论它的协方差性质。
例如，时间间隔为j 的协方差矩阵为：[()()]j t t j E -'=Γy -μy -μ (10.8) 但是需要注意的是，此时不满足等式：j j -=ΓΓ，正确的对应关系为：j j -'=ΓΓ针对协方差平稳的VAR (p )模型，假设：11011102120()[(),(),,()]t t p p p p p E E --+----⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥''''==⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎢⎥'⎢⎥=⎢⎥⎢⎥''⎢⎥⎣⎦t t t t-1t-p+1t y -μy -μΣξξy -μy -μy -μy -μΓΓΓΓΓΓΓΓΓ (10.9)进一步可以得到：11()[()()]()[]t t t t t t t t t tE E E E --''=++'''=+ξξF ξv F ξv F ξξF v v 因此有：'=+ΣF ΣF Q (10.10) 上述公式建立了向量协方差之间的关系。
§10.3 向量自回归模型的极大似然估计和假设检验显然，在协方差平稳过程中，向量自回归模型是比较容易进行估计和预测的，由于Sims (1980) 做出了具有影响性的研究，使得V AR 模型在进行经济系统的动态分析中变得十分流行。
下面我们主要介绍没有限制条件的V AR 模型的估计问题。
1. 向量自回归的条件似然函数假设1n ⨯维向量t Y 满足p 阶高斯—向量自回归模型：t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=--- (10.11) 其中p 1ΦΦ ,是n n ⨯阶系数矩阵，t ε是高斯噪声向量，满足：~(0,)N t εΩ上述模型估计类似于单变量AR 模型。
2. 似然比检验对于V AR 模型而言，检验模型的自回归阶数的假设检验可以很容易和方便地通过似然比检验进行，此时模型的原假设和备选假设为：0H ：0p p =；0H ：10p p p => (10.12) 此时的似然比统计量为：21001ˆˆ2(){log ||log ||}~()LR T s χ=-=Ω-Ω 这里的s 是原假设的限制参数个数，此时210()s n p p =-§10.4 二元变量的Granger 因果关系检验可以利用向量自回归模型处理的一个重要问题是判断一些变量在预期其他变量时是否有用。
这时我们需要描述二元变量之间的关系。
这种方法最早由Granger (1969) 提出，通过Sims (1972) 的应用使其流行起来。
1. 二元变量Granger 因果性的定义考虑两个单变量t x 和t y ，我们需要解决的问题是如何判断t y 是否有助于预测t x 。
如果t y 无助于预测t x ，我们则称t y 对t x 没有显著的Granger 因果影响(t y does not Granger-cause t x )。
我们可以更为正式地描述这样的关系：如果对所有的0s >，基于1(,,)t t x x - 预测t s x +的均方误差与使用1(,,)t t x x - 和1(,,)t t y y - 预测t s x +的均方误差是相同的，则称t y 没有对t x 产生Granger 因果影响。
如果我们仅仅考虑线性约束，则t y 没有对t x 产生Granger 因果影响的条件为：对所有0s >，有：111ˆˆ[(|,,)][(|,,;,,)]t s t t t s t t t t MSE E x x x MSE E x x x y y +-+--= (10.13) 上述表达式还有一个等价的说法，如果上式成立，则称t x 在时间序列的意义上相对于t y 是外生的。
这样的关系还有第三种称呼，如果上式成立，则称t y 对于未来的t x 不具有线性信息性。
最早Granger 提出如此定义的原因是，如果一个事件Y 是另外一个事件X 的原因的话，那么事件Y 应该先于事件X 发生。
虽然从哲学角度这样的关系可能是对的，但是在实践中如何检验这样的关系则是艰难的。
2. Granger 因果性的另一种解释在描述二元变量t x 和t y 的V AR 模型中，可以利用回归系数矩阵来说明t x 和t y 之间的Granger 因果关系。
命题10.3 如果在t x 和t y 的V AR 模型中，对所有j ，系数矩阵j Φ都是下三角矩阵，即：(1)(2)1211111(1)(1)(2)(2)12221222122()111()()22122000t t t t t t p t p t p p t p t x x x c y y y c x y φφφφφφεφεφφ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(10.14) 证明：根据整个系统的第一行可以知道，关于t x 的最优一阶段预测仅仅依赖自身的滞后值，而不依赖t y 的滞后值：(1)(2)()111111111111ˆ(|,,;,,)]p t t t t t t t t p E x x x y y c x x x φφφ+----+=++++进一步，可以得到：(1)(2)()21111111121,2p t t t t p t x c x x x φφφε++-++=+++++根据投影的叠代定律，以及数学归纳法，我们可以证明对任意超前0s >阶段的预测都仅仅依赖1(,,)t t x x - 。
Sims(1972)给出了Granger 因果关系的另外一种通俗的解释，可以归纳为下面的命题： 命题10.4 考虑t y 基于t x 的过去、现在和将来值的投影：01t j t j j t j t j j y c b x d x η∞∞-+===+++∑∑ (10.15)这里j b 和j d 均是母体投影系数，即满足：对所有t 和τ，()0t E x τη=则t y 没有对t x 产生Granger 因果影响的充分必要条件为：0j d =，1,2,j = (10.16) 这个命题说明，如果t y 没有对t x 产生Granger 因果影响，则未来的t x 值对解释当期的t y 没有任何帮助。
3. Granger 因果性的计量检验上面我们给出了三种Granger 因果关系的解释，任何一种解释都可以用来进行计量检验。