1
0 0
R Rk
k
1
M
h
Gh
▪ Mh是Hermite矩阵。Gh是Hermite几何矢量。
*
曲线和曲面
三次Hermite样条
▪ 三次Hermite样条曲线的方程为：
p(t)TM hG h
t[0,1]
2 2 1 1
TMh t3
t2
t 13 0
3 0
2 1 1 0
1
0
0
0
*
曲线和曲面
2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段 在交点处的一阶和二阶导数的比值都是常量。
*
曲线和曲面
7.1.4 样条描述
n次样条参数多项式曲线的方程：
xy((tt))abnnttnn
a2t2a1t1a0 b2t2b1t1b0
z(t)cntn c2t2c1t1c0
t[0,1]
*
曲线和曲面
x(t)
p(t) y(t) tn
*
曲线和曲面
三次Hermite样条
H(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-0.2
H0(t)
H1(t)
*
曲线和曲面
7.1.2 插值和逼近样条
▪ 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲 面的形状称为样条。
▪ 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成 的曲线，在每段的边界处满足特定的连 续条件。
▪ 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来 描述。
*
曲线和曲面
▪ 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲
线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。P(1)Pk1 Nhomakorabea1
1
1
1C
P'(0)
P'(1)
RRkk1
0 3
0 2
1 1
0 0
*
曲线和曲面
a 0 0 0 1 1 Pk
C
b
1
1
1
1
Pk
1
c
d
0
3
0 2
1 1
0
0
R Rk
k
1
2 2 1 1 Pk
3
0
1
3 0 0
2 1 0
1
Pk
p(0)Pk, p(1)Pk1 p(0)Rk, p(1)Rk1
*
曲线和曲面
ax ay az
a
p(t)[t3
t2
t 1]d b cxxx
by cy dy
d b czzz[t3
t2
t 1]bTC c d
a
p'(t)[3t2 2t 1 0]b[3t2 2t 1 0]C c d
P(0) Pk 0 0 0 1
z(t)
t
an bn cn
1
aa10
b1 b0
c1 c0
TCTMS G t[0,1]
基矩阵： Ms
几何约束条件： G
基函数(blenging function)，或称混合函数。
*
曲线和曲面
7.2 三次样条
给定n+1个点，可得到n个分段三次多项式曲线：
yx((tt)) aayxtt33 bbxytt22 ccxyttddxy z(t)azt3bzt2cztdz
特点： 只适用于型值点分布比较均匀的场合 不能“局部控制”
*
曲线和曲面
7.2.2 三次Hermite样条
定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为p(t)， t∈[0，1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则满足 下 列 条 件 的 三 次 参 数 曲 线 为 三 次 Hermite 样 条 曲 线：
*
曲线和曲面
7.1 曲线曲面基础
7.1.1 曲线曲面的表示 7.1.2 插值和逼近样条 7.1.3 连续性条件 7.1.4 样条的描述
*
曲线和曲面
7.1.1 曲线曲面的表示
曲线和曲面的表示分为：
非参数形式(y=kx+b，f(x，y)) 参数形式 pp(t) t [0,1] p(t)=(x, y, z)=(x(t), y(t), z(t)) t∈[0，1]
三次Hermite样条
▪ 通常将TMh称为Hermite基函数（或称混合 函数，调和函数）： H 0 (t) 2t 3 3t 2 1 H 1(t) 2t 3 3t 2 H 2 (t) t3 2t 2 t H 3 (t) t3 t 2
p ( t ) P k H 0 ( t ) P k 1 H 1 ( t ) R k H 2 ( t ) R k 1 H 3 ( t )
[0t ,1]
在此，介绍两种三次样条：
▪ 自然三次样条 ▪ 三次Hermite样条
*
曲线和曲面
7.2.1 自然三次样条(Spline)
定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构造一 条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公 共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性， 即自然三次样条具有C2连续性。
*
参数连续性
曲线和曲面
(a) 0阶连续性
(b) 1阶连续性
(c) 2阶连续性
图8.3 曲线段的参数连续性
*
几何连续性
曲线和曲面
▪ 0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连 续性的定义相同，满足：
pi(ti1)p(i1)(t(i1)0)
1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在 相邻段的交点处的比值为常量
*
曲线和曲面
7.1.3 连续性条件
如何保证各曲线段在结合处的连续性？ 假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pipi(t) [it0 ,ti1 ]t
曲线段相连包括两种意义上的连续性： ➢ 参数连续性 ➢ 几何连续性
*
参数连续性
曲线和曲面
▪ 0阶参数连续性：记作C0连续性，是指曲线的几何位置连 接，即
pi(ti1)p(i1)(t(i1)0)
1阶参数连续性：记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段 的方程在相交点处有相同的一阶导数：
pi(ti1)p(i1)(t(i1)0) 且pi(ti1)p(i1)(t(i1)0)
2阶参数连续性：记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程
在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。
曲线和曲面
第七章 曲线和曲面
▪ 引言 ▪ 7.1曲线曲面基础知识 ▪ 7.2三次样条 ▪ 7.3几种典型的曲线曲面介绍
*
引言
曲线和曲面
▪ 问题的提出：
由离散点来近似地决定曲线和曲面，
即通过测量或实验得到一系列有序点列， 根据这些点列构造出一条光滑曲线。
初等几何平面：平面、圆柱面、球面
自由变化的曲线和曲面：飞机、汽车的外形
图 8-1 曲 线 的 拟 合
*
曲线和曲面
▪ 曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线
曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列。
图8-2 曲线的逼近
*
曲线和曲面
插值与逼近
▪ 求给定型值点之间曲线上的 点称为曲线的插值。
▪ 将连接有一定次序控制点的 直线序列称为控制多边形或 特征多边形。
图8.2 曲线的逼近