第9章 重积分及其应用1．用二重积分表示下列立体的体积：(1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥；(2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体解答：(1) 222d ,{(,)|}DV x y D x y x y R ==+≤；(2) 2222(2)d d ,{(,)|1}DV x y x y D x y x y =--=+≤⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1) Dσ，其中D 为222x y a +≤；(2) (Db σ⎰⎰，其中D 为222,0x y a b a +≤>>解答：(1) 32π3Da σ=；(2) 232(ππ3Db a b a σ=-⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d DQ x y μσ=⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d Dp g x ρσ=⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1) 21()d DI x y σ=+⎰⎰与32()d DI x y σ=+⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域；(2) 1ln(1)d DI x y σ=++⎰⎰与222ln(1)d DI x y σ=++⎰⎰，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1；(3) 21sin ()d DI x y σ=+⎰⎰与22()d DI x y σ=+⎰⎰，其中D 是任一平面有界闭区域；(4) 1e d xy DI σ=⎰⎰与22e d xy DI σ=⎰⎰，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1；解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2；(2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1<I 2； (4) 在区域D 内部，0xy <，故2xy xy e e >，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4)DI D x y x y x y σ==≤≤≤≤++⎰⎰；(2) 2222π3πsin()d ,(,)44DI x y D x y x y σ⎧⎫=+=≤+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰；(3) 221d ,{(,)|||||1}100cos cos DI D x y x y x yσ==+≤++⎰⎰； (4) 22221e d ,(,)4xy DI D x y x y σ+⎧⎫==+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰解答：(1) 由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111ln16ln(4)ln 4x y ≤≤++，而等号不恒成立，故816ln 2ln 2I <<；(2) 由于22π3π(,)44D x y x y ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭的面积为212π，在其中22sin()12x y ≤+≤，而等号不恒成立，故22π42I <<； (3) 由于{(,)|||||1}D x y x y =+≤的面积为2，在其中22111102100100cos cos x y ≤≤++，而等号不恒成立，故115150I <<； 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}D x y x y =+≤改为{(,)|||||10}D x y x y =+≤，则区域面积为200，结论为100251I << (4) 由于221(,)4D x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭的面积为14π，在其中12241sin()x y e ≤+≤，而等号不恒成立，故14ππe44I <<． 所属章节：第九章第一节 难度：二级7．设f (x ，y )是连续函数，试求极限：22221lim (,)d πr x y r f x y r σ+→+≤⎰⎰解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得222220011lim (,)lim (,)lim (,)(0,0)r r r x y r f x y d f f f r rσξησξηππ+++→→→+≤=⋅==⎰⎰． 所属章节：第九章第一节 难度：二级8．设f (x ，y )在有界闭区域D 上非负连续，证明：(1) 若f (x ，y )不恒为零，则(,)d 0Df x y σ>⎰⎰；(2) 若(,)d 0Df x y σ=⎰⎰，则f (x ，y )≡0解答：(1) 若f (x ，y )不恒为零，则存在00(,)x y D ∈，00(,)0f x y >，利用连续函数的保号性，存在00(,)x y 的一个邻域1D D ⊂，在其上恒有(,)0f x y >，于是1(,)d 0D f x y σ>⎰⎰，而1(,)d 0D D f x y σ-≥⎰⎰，所以 11(,)d (,)d (,)d 0DD D D f x y f x y f x y σσσ-=+>⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 假若f (x ，y )不恒为零，则由上题知(,)d 0Df x y σ>⎰⎰，矛盾，故f (x ，y )≡0．所属章节：第九章第一节 难度：二级9．计算下列二重积分：(1) πsin d ,(,)12,02Dx y D x y x y σ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰；(2) {}22(e )d ,(,)11,01x y Dxy D x y x y σ++=-≤≤≤≤⎰⎰；(3) {}2e d ,(,)01,01xy Dxy D x y x y σ=≤≤≤≤⎰⎰；(4) 22πsin()d ,(,)0,022Dx y xy D x y x y σ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰；(5) {}2222d ,(,)2,2Dx D x y x y x y x σ=+≥+≤⎰⎰解答：(1) 222113sin d sin 2Dx y dx x ydy xdx πσ===⎰⎰⎰⎰⎰； (2) 22111112222221111(1)(e)d ()(1)22x yx yx yxDe xy dx xy edy dx edy e e dx eσ+++----+=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3) 2211101d )(1)122xy xy x Dexye dx xyedy e dx σ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 2222222201sin()d sin()(cos 4)216Dx y xy dx x y xy dy x x x dx πππσ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(5) 11112Dxd dy xdx πσ--===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：一级10．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰化为两种次序不同的二次积分：(1) D 由曲线y =ln x ，直线x =2及x 轴所围成； (2) D 由抛物线y =x 2与直线2x +y =3所围成； (3) D 由y =0及y =sin x (0≤x ≤π)所围成； (4) D 由曲线y =x 3，y =x 所围成；(5) D 由直线y =0，y =1，y =x ，y =x –2所围成 解答：本题图略，建议画出 (1) 2ln ln 2210(,)(,)y x edx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰；(2) 231321931(,)(,)(,)yxxdx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰⎰；(3) sin 1arcsin 000arcsin (,)(,)xyydx f x y dy dy f x y dx ππ-=⎰⎰⎰⎰；(4) 3301111(,)(,)(,)(,)x xyxxydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx --+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D 由曲线y =x 3，y =x 所围成”改为“D 由曲线3,1,1y x y x ===-所围成”，则答案为原参考答案3111111d (,)d d (,)d xx f x y y y f x y x ---=⎰⎰⎰；(5) 1213112122d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d x y x yx f x y y x f x y y x f x y y y f x y x +-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级11．计算下列二重积分： (1) 22d Dx y σ⎰⎰，D 由曲线x =2，y =x ，xy =1所围成； (2) cos()d d Dx x y x y +⎰⎰，D 由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域；(3) Dσ⎰⎰，D由抛物线y =y =x 2围成；(4) d d Dxy x y ⎰⎰，D 由抛物线y 2=x 与直线y =x –2所围成；(5) sin d Dx y σ⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰，D 由直线y =x ，y =2和曲线x =y 3所围成解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 0003cos()cos()(sin 2sin )2xDx x y dxdy dx x x y dy x x x x dx ππ+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 2711440026()355xDdx x x dx σ==-=⎰⎰⎰⎰； (4) 22222411145(44)28y y Dxydxdy dy xydx y y y y dx +--==++-=⎰⎰⎰⎰⎰； (5) 3222113cos1sin1sin 4sin()sin()(cos1cos )2y y Dx x d dy dx y y y dy y y σ+-==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：二级12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f (x ，y )在积分区域上连续)：(1) 10d (,)d yy f x y x ⎰；(2) 212201d (,)d d (,)d x xx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰；(3) 2122d (,)d yyy f x y x --⎰⎰；(4) 2d (,)d x f x y y ⎰；(5) 11d (,)d x x f x y y -⎰(6) 1320d (,)d y y f x y x -⎰解答：本题图略，建议画出 (1) 21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰；(2) 120(,)y dy f x y dx -⎰；(3) 1 4 21(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰；(4)11 1 20 01 1 0(,)(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ++⎰⎰⎰⎰⎰；(5) 01110(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +-+⎰⎰⎰；(6) 2313201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级13．计算下列二次积分：(1) 1/311d yy x ⎰⎰；(2) 23211d e d y x x y --⎰⎰；(3) ππ220sin d d yxy x x⎰⎰； (4) 2220d 2sin()d xx y xy y ⎰⎰；(5) π120arcsin d cos yy x ⎰⎰；(6) 24212ππd d d d 22xx x x y x y y y+⎰⎰解答：(1) 1/1111000016x y dy dx x ===⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 222322124110001(1)2y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e +-----===-⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 22220000sin sin sin 1x yx x dy dx dx dy xdx x xππππ===⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 222222202sin()2sin()[22cos()]4sin 4yxdx y xy dy dy y xy dx y y y dy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(5) 1sin 2220arcsin 0cos cos sin cos xydy dx x πππ==⎰⎰⎰⎰⎰3222011(1cos )1)33x π=-+=；(6) 22422231211284sincos2222xy yxxxdx dy dx dy dy dx y ydy yyyπππππππ++==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：二级14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x 或y 的奇偶性，计算下列二重积分： (1) 222||d ,:Dxy D x y R σ+≤⎰⎰；(2) 2322(tan 4)d d ,:4Dx x y x y D x y +++≤⎰⎰；(3) 2222(1)arcsind ,:()Dyx x D x R y R Rσ++-+≤⎰⎰； (4) (||||)d d ,:||||1Dx y x y D x y ++≤⎰⎰解答：(1) 设2221:,0,0D x y R x y +≤≥≥，则14320||4||4sin cos 2RDD R xy d xy d d r dr πσσθθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2) 23(tan 4)416DDx x y dxdy dxdy π++==⎰⎰⎰⎰；(3) 由于积分区域关于x 对称，被积函数是关于y 的奇函数，故2(1)arcsind 0Dyx x Rσ++=⎰⎰； (4) 设1:1,0,0D x y x y +≤≥≥，则11104(||||)2||883xDDD x y dxdy x dxdy xdxdy dx xdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：二级15．利用极坐标化二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰为二次积分，其中积分区域D 为：(1) 22:,(0)D x y ax a +≤>；(2) 22:14D x y ≤+≤； (3) :01,01D x y x ≤≤≤≤-； (4) 22:2()D x y x y +≤+ (5) 22:24D x x y ≤+≤ 解答：(1) πcos 2π02d (cos ,sin )d a f r r r r θθθθ-⎰⎰；(2) 2π21d (cos ,sin )d f r r r r θθθ⎰⎰；(3) π12cos sin 00d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+⎰⎰；(4) 3π2(cos sin )4π04d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+-⎰⎰；(5) π3π2222ππ2cos 022d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d f r r r r f r r r r θθθθθθθ-+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级16．利用极坐标计算下列二重积分：(1) 22d ,:Dx y D x y Rx +≤；(2) 22222222()d d ,:()()Dx y x y D x y a x y ++≤-⎰⎰；(3) 22arctand d ,:14,0,Dyx y D x y y y x x≤+≤≥≤⎰⎰； (4) 2222d d ,:2,2Dx x y D x y x y x +≥+≤⎰⎰；(5) arctan22,:14,y xDD x y x y σ≤+≤≤≤(6) 22()d d Dx y x y +⎰⎰，D ：第一象限中由圆22222,4x y y x y y +=+=及直线,x y ==所围成．解答：(1) cos 33322022114d (1sin )()333R Dx y d R d R ππθππθθθπ--==-=-⎰⎰⎰；(2) 223424440()4cos 28Dx y dxdy d dr ad a πππθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 224013arctan d d 64Dy x y d rdr x ππθθ==⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 2444448cos (cos )32Dxdxdy d r dr d ππθπππθθθθθ--==-=⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第9大题第（5）小题相同．(5) arctan 233414yx Dd e dr e e πππθπσθ==-⎰⎰；(6) 4sin 2234332sin 6615()d d 60sin (28Dx y x y d r dr d ππθππθθθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：二级17．设r ，θ为极坐标，在下列积分中交换积分次序： (1) πcos 2π02d (,)d (0)a f r r a θθθ->⎰⎰；(2) π20d (,)d (0)f r r a θθ>⎰⎰；(3) 0d (,)d (02π)a f r r a θθθ<<⎰⎰；(4) π4cos 00d (,)d (0)a f r r a θθθ>⎰⎰；解答：(1) arccosarccosd (,)d r aa ra r f r θθ-⎰⎰；(2) 2222πarcsin 210arcsin 2d (,)d r aa r ar f r θθ⎰⎰；(3) 0d (,)d aa rr f r θθ⎰⎰；(4) ππ4400arccosd (,)d d (,)d aa rr f r r f r θθθθ+⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：一级18．计算下列二次积分：(1) 22100d d xy x y +⎰；(2) 0d d yyy x x；(3) 2d x y ⎰；(4) 1223/201d )d x x x y y --+⎰．解答：(1) 22211221(1)24x y r e e dx dy d e rdr d πππθθ+--===⎰⎰⎰⎰；(2) 21242000011264yy dy dx d rdr d x ππθθθθπ===⎰⎰⎰；(3) 22cos 232200816cos 39dx d r dr d ππθθθθ===⎰⎰⎰⎰；(4) 11223/2222110sin cos )(sin cos 1)22xdx x y dy d r dr d ππθθπθθθθ---++==+-=-⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：二级19．计算下列二重积分：(1) 22max(,)e d d ,:{(,)|01,01}xy Dx y D x y x y ≤≤≤≤⎰⎰；(2) 2222|4|d d ,:{(,)|9}Dx y x y D x y x y +-+≤⎰⎰；(3) ππ|cos()|d d ,:{(,)|0,0}22Dx y x y D x y x y +≤≤≤≤⎰⎰；(4) d ,:{(,)|11,02}Dx y D x y x y -≤≤≤≤．解答：(1) 222211max(,)1xyxy x y De dxdy dx e dy dy e dx e =+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 222322220221|4|(4)(4)2Dx y dxdy d r rdr d r rdr ππθθπ+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3) 222202|cos()|cos()cos()2xxDx y dxdy dx x y dy dx x y dy ππππππ--+=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 11152223x xDdx dx π=+=+⎰⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第二节 难度：三级20．选择适当坐标计算下列各题： (1) 22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由双曲线xy =1与直线y =x ，x =2围成；(2) Dσ，其中22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥； (3) 22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是直线y =x ，y =x +a ，y =a ，y =3a (a >0)围成；(4) d d Dxy x y ⎰⎰，其中2222{(,)|0,1,2}D x y y x y x y x =≥+≥+≤．解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第11大题第（1）小题重复．(2) 2220(2)28DDx d d y ππππσσθ-===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 3222220()()14a xx aDx y dxdy dy x y dx a ++=+=⎰⎰⎰⎰；(4) 2cos 353301019sin cos (4cos sin sin cos )416Dxydxdy d r dr d ππθθθθθθθθθ==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：二级21．用适当的变量变换，计算下列二重积分：(1) 22sin(94)d d Dx y x y +⎰⎰，中D 是椭圆形闭区域22941x y +≤位于第一象限内的部分；(2) 22d d Dx y x y ⎰⎰，D 是由双曲线xy =1，xy =2与直线x =y ，x =4y 所围成的在第一象限内的闭区域；(3) 2222()d d Dx y x y a b +⎰⎰，D 是椭圆形闭区域22221x y a b +≤；(4) e d d x y Dx y +⎰⎰，D 是闭区域|x |+|y |≤1；(5) 32()cos ()d d Dx y x y x y +-⎰⎰，其中D 是以(π，0)，(3π，2π)，(2π，3π)，(0，π)为顶点的平行四边形； 参考答案：(1)π(1cos1)24-(提示：作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==)； (2) 7ln 23(提示：作变换,yxy u v x ==)；(3) 1π2ab (提示：作变换cos ,sin x ar y br θθ==)；(4) 1e e --(提示：作变换,x y u x y v +=-=)； (5) 78π5(提示：作变换,x y u x y v +=-=)解答：(1) 作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==，则16J r =，1222201sin(94)d d sin (1cos1)624Dx y x y d r rdr ππθ+=⋅=-⎰⎰⎰⎰； (2) 作变换,y xy u v x ==，则12J v=，2122211417d d ln 223Dx y x y du u dv v ==⎰⎰⎰⎰； (3) 作变换cos ,sin x ar y br θθ==，则J abr =，2221322001()d d 2Dx y x y d abr dr ab a b πθπ+==⎰⎰⎰⎰； (4) 作变换,x y u x y v +=-=，则12J =， 111111ed d 2x yuDx y du e dv e e +---==-⎰⎰⎰⎰； (5) 作变换,x y u x y v +=-=，则12J =52323251()cos ()d d cos 392Dx y x y x y du u v dv πππππ+-=⋅=⎰⎰⎰⎰． （原参考答案有误？） 所属章节：第九章第二节 难度：三级22．利用二重积分求下列平面区域的面积： (1) D 由曲线e ,e x x y y -==及x =1围成； (2) D 由曲线y =x +1，y 2= –x –1围成； (3) D 由双纽线22222()4()x y x y +=-围成； (4) {(cos ,sin )|24sin }D r r r θθθ=≤≤； (5) 1{(cos ,sin )|1cos }2D r r r θθθ=≤≤+； (6) D 由曲线2223()2(0)x y ax a +=>围成；(7) D 由曲线y =x 3，y =4x 3，x =y 3，x =4y 3所围成的第一象限部分参考答案：(1) 1e e 2-+-；(2) 16；(3) 4；(4) 4π3+；(5) 5π6+(6) 25π8a ；(7) 18解答：(1) 1110()2xx e x x eDA dxdy dx dy e e dx e e ---===-=+-⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 201021111()6y y DA dxdy dy dx y y dx -----===--=⎰⎰⎰⎰⎰； (3) 双纽线22222()4()x y x y +=-用极坐标表示24cos2r θ=，44048cos24DA dxdy d d ππθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰4π3+； (5) 221cos 331252(4cos cos2)2DA dxdy d rdr d ππθθθθθ+===++=⎰⎰⎰⎰⎰5π68+； (6) 曲线2223()2(0)x y ax a +=>用极坐标表示32cos r a θ=，32cos 2622024cos a DA dxdy d rdr ad ππθθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰25π8a ； (7)4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰18？所属章节：第九章第二节 难度：二级23．利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积：(1) Ω为第一象限中由圆柱面y 2+z 2=4与平面x =2y ，x =0，z =0所围成；（注：象限应为卦限？） (2) Ω由平面y =0，z =0，y =x 及6x +2y +3z =6围成；(3) 22{(,,)|1x y z x y z Ω=+≤≤； (4) 222{(,,)|1,11x y z x y z z Ω=+≤+-≤≤；参考答案：(1)163；(2) 14；(3) 7π6；(4) 8π3解答：(1) 2221623DV dy ====⎰⎰⎰； (2) 21(22)34DV x y dxdy =--=⎰⎰；(3) 2122207[(1()](1)6DV x y dxdy d r rdr ππθ=-+=+=⎰⎰⎰⎰；(4) 220822423xyD V d rdr πππθπ=⋅-=-=⎰所属章节：第九章第二节 难度：二级24．设f (x )在[0，1]上连续，D 由点(0，0)、(1，0)、(0，1)为顶点的三角形区域，证明：1()d ()d Df x y uf u u σ+=⎰⎰⎰解答：将二重积分化为二次积分，再用积分变换u =x +y ，然后交换积分顺序111111()d ()()()()d xu xDf x y dx f x y dy dx f u du du f u dx uf u u σ-+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级25．设f (x )连续，证明：221()d d (x y f x y x y f u u +≤+=⎰⎰解答：作变量变换11(),()22x u v y u v =-=+，则12J =，22221211()()()(22x y u v f x y dxdy f u dudv f u dv f u +≤+≤+===⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：三级26．设f (x )在[a ，b ]上连续，证明：()22()d ()()d bbaaf x xb a f x x ≤-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则2(())()()()()bbbb b aaaaaf x dx f x dx f x dx f x dx f y dy =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰()()Df x f y dxdy =⎰⎰2222()()11()()222DD Df x f y dxdy f x dxdy f y dxdy +≤=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰222()()()()bbbaaaDf x dxdy dx f x dy b a f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级27．设f (x )在[a ，b ]上连续，f (x )>0，证明：21()d d ()()bb a af x x x b a f x ≥-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则11()()()()()()bbb b aaa a D f x f x dx dx f x dx dy dxdy f x f y f y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，11()()()()()()b bb b a aa a Df y f x dx dx f y dy dx dxdy f x f x f x ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以211()()()()()()2()()bbaaD Df x f x f x dx dx dxdy dxdy b a f x f y f y =+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：三级28．在曲线族y =c (1–x 2)(c>0)中试选一条曲线，使这条曲线和它在(–1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积最小 解答：曲线在(1，0)处的法线为1122y x c c=-，由对称性知所围图形面积为 21(1)1102241232c x x c cA dx dy c c --==+⎰⎰，令0dAdc=，得唯一驻点4c =（负值舍去）又由于该实际问题的最小值存在，故当4c =所属章节：第九章第二节 难度：三级29．设f (x )是连续函数，区域D 由y =x 3，y =1，x = –1围成，计算二重积分22[1()]d d Dx yf x y x y ++⎰⎰ 解答：将D 分成两块，记为{}{}3312(,)1,(,),10D x y x y D x y x y x x =≤≤≤=≤≤--≤≤，则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得12222222[1()][1()][1()]DD D x yf x y dxdy x yf x y dxdy x yf x y dxdy ++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 321225x D xdxdy dx xdy --===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级30．设f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，试证：111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则111()()()()()()()()DDI f x g x dx f x dx g x dx f x g x dxdy f x g y dxdy =-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[()()]Df xg x g y dxdy =-⎰⎰，类似地有()[()()]DI f y g y g x dxdy =-⎰⎰，两式相加，并利用条件f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，就有2[()()][()()]0DI f x f y g x g y dxdy =--≥⎰⎰，所以0I ≥，即111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级31．设f (x )在[0，1]上连续，并设10()d f x x A =⎰，求110d ()()d xx f x f y y ⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则11110()()()()()()y xxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1110001[()()()()]2x x dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰112001()()()()2Df x f y dxdy f x dx f y dy A ==⋅=⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级32．至少利用三种不同的积分次序计算三重积分2()d x yz v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω=[0，2]×[–3，0]×[–1，1]解答：212222220313()()2616x yz dv dx dy x yz dz dx x dy x dx Ω---+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，类似0212231()()16x yz dv dy dx x yz dz Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1022213()()16x yz dv dz dy x yz dx Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第三节 难度：一级33．将三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰化为累次积分(三次积分)，其中积分区域Ω分别是：(1) 2222:,0x y z R z Ω++≤≥；(2) Ω由x 2+y 2=4，z =0，z =x +y +10所围成； (3) 22222:2,x y z z x y Ω++≤≥+(4) Ω：由双曲抛物面z =xy 及平面x +y –1=0，z =0所围成的闭区域解答：(1)d (,,)d RR x y f x y z z -⎰；(2)21020d (,,)d x y x y f x y z z ++-⎰⎰；(3)2211d (,,)d x y x y f x y z z -+⎰；(4) 110d d (,,)d xxy x y f x y z z -⎰⎰⎰双曲抛物面所属章节：第九章第三节 难度：二级34．计算下列三重积分：(1) d y v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是在平面z =x +2y 下放，xOy 平面上由y =x 2、y =0及x =1围成的平面区域上方的立体；(2) e d x y z v Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是在平面x +y +z =1与三个坐标面围成；(3) sin()d d d x y z x y z Ω+⎰⎰⎰，其中π{(,,)|0}2x y z x z y Ω=≤≤≤≤- (4) d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是第一象限中由曲面y 2+z 2=9与平面x =0、y =3x 和z =0所围成的空间立体； (5) 222d d d 1xyz x y z x y zΩ+++⎰⎰⎰，其中222{(,,)|0,0,1}x y z x z x y z Ω=≥≥++≤； (6) d d d x x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由抛物面x =4y 2+4z 2与平面x =4围成参考答案：(1) 528；(2) e 12-；(3) π142-；(4) 278；(5) 0；(6) 16π3解答：(1)528； (2) e12-；(3) π142-；(4) 278；(5) 0； (6)16π3所属章节：第九章第三节 难度：二级35．用截面法(先算二重积分后算单积分)解下列三重积分问题：(1) 计算三重积分sin d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面z =和平面z =π围成；(2) 设Ω是由单叶双曲面x 2+y 2–z 2=R 2和平面z =0，z =H 围成，试求其体积；(3) 已知物体Ω的底面是xOy 平面上的区域222{(,)|}D x y x y R =+≤，当垂直于x 轴的平面与Ω相交时，截得的都是正三角形，物体的体密度函数为(,,)1xx y z Rρ=+，试求其质量； (4) 试求立体2222(,,)1x y x y z z a b Ω⎧⎫=+≤≤⎨⎬⎩⎭的形心坐标参考答案：(1) π2–4π；(2) 231ππ3R H H +；3；(4) 20,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭解答：(1) 230sin d sin sin 4zD z v zdz dxdy z z dz ππΩπππ==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；与原参考答案不同(2) 2223001()3zH H D V dv dz dxdy R z dz R H H πππΩ===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 223(,,)(1)(1))xRR R R D x x m x y z dv dx dydz R x dx R R ρ--Ω==+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 由对称性，0x y ==，110012zD V dv dz dxdy abzdz ab ππΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1120011123zD z zdv zdz dxdy abz dz V V V πΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即所求形心坐标为20,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．所属章节：第九章第三节 难度：二级36．利用柱面坐标计算下列三重积分：(1) 22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中22{(,,)|4,12}x y z x y z Ω=+≤-≤≤；(2) 32()d d d x xy x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω由柱面x 2+(y –1)2=1及平面z =0，z =2所围成；(3) v Ω，其中22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--；(4) d d d y x y z Ω⎰⎰⎰，其中22{(,,)|14,02}x y z y z x z Ω=≤+≤≤≤+；(5) d xy v Ω⎰⎰⎰，其中Ω为z ≥0上平面y =0、y =z 及柱面x 2+z 2=1围成解答：(1) 2222222301()d 2324x y v d rdr r dz r dr πΩθππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 由于被积函数、积分区域关于x 为奇，故32()d d d 0x xy x y z Ω+=⎰⎰⎰；(3) 223932403242(9)5r v d rdr rdz r r dr πΩπθπ-==-=⎰⎰⎰⎰； (4) d d d 0y x y z Ω=⎰⎰⎰；(5) d 0xy v Ω=⎰⎰⎰所属章节：第九章第四节 难度：三级37．利用球面坐标计算下列三重积分：(1) v Ω⎰⎰⎰，其中2222:x y z a Ω++≤；(2) 2222()e d xy z x v Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是第一象限中球面2221x y z ++=与球面2224x y z ++=之间的部分； 卦限？(3) 2d y v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是单位球体在第五象限部分；(4) 222222sin(1)d 1x y z v x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是0z ≤≤(5) v Ω，其中Ω是锥面π6ϕ=上方与上半球面ρ=2所围立体 解答：(1) 22220sin 44(22)8aar r a v d d e r dr r e dr e a a ππΩθϕϕπππ===-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 222242()22201ed sin cos sin x y z r x v d d re r dr ππΩθϕϕθϕ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰161622200cos sin 416e e e e d d ππθθϕϕπ--==⎰⎰； (3) 1222222322000221d sin sin sin sin sin 530y v d d r r dr d d ππππππΩπθϕϕθϕθθϕϕ=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 222321222222000ln(1)d ln(1)sin cos 11z x y z r v d d r dr x y z r ππΩθϕϕϕ+++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220112(ln 2ln 2)sin cos 24d ππϕϕϕ=--⎰2(4ln 22ln 2)4π=--；(5) 223660sin 8sin 4(2v d d r dr d πππΩθϕϕπϕϕπ===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节 难度：三级38．将下列三次积分化为柱面坐标或球面坐标下的三次积分，再计算积分值，并画出积分区域图：(1) 222212223/21d ()d x y x yx y x y z ---++⎰⎰；(2) 2210d d x y y x z +⎰；(3) 330d x y z -⎰；(4) 32220d )d y x x y z z ++⎰；参考答案：(1)8π35；(2) 196；(3) 243π5；(4)1)π5 解答：本题图略 (1) 用柱面坐标，222222122121223/234618d ()d 4()35x y r x y rx y x y z d rdr r dz r r dr πθππ----++==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2) 用柱面坐标，2221122200011d d sin cos sin cos 4896rx y r y x z d rdr r dz d ππθθθθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用球面坐标，3234223000243243d sin cos sin 255x y z d d r dr d πππθϕϕϕπϕϕπ-===⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 用球面坐标，322242401)d )d sin 5y x x y z z d d dr ππθϕϕπ++==⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第四节 难度：三级39．选择适当坐标计算下列三重积分：(1) 2d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω由柱面x 2+y 2=8，椭圆锥面z =及平面z =0所围成；(2) ()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中{(,,)|11x y z z Ω=≤≤；(3) d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω由曲面22222222,()z x y x y x y =++=-及平面z =0所围成；(4) 2221d v x y z Ω⎫⎪++⎭⎰⎰⎰，其中Ω由曲面222222,33z x y z x y =+=+及平面z =1所围成；(5) 2d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球体2222x y z R ++≤与2222x y z Rz ++≤的公共部分解答：(1) 用柱面坐标，22202d 16(1sin )48z v d zdz d ππΩθθθπ==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 用柱面坐标，21101()d (sin cos )0x y v d rdr dz πΩθθθ+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用柱面坐标，2142041d 238r z v d zdz ππΩθ-==⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 用球面坐标，1224cos 222200611d []sin v d d r r dr x y z r ππϕπΩθϕϕ⎫=+⋅⎪++⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(ln 3ln 2)27π-=+-； (5) 用柱面坐标，两球面的公共部分在xOy 面上的投影222)23(R y x ≤+，在柱面坐标下积分区域可表示为2222 ,230 ,20 :ρρρπθ-≤≤--≤≤≤≤ΩR R z R R R ，所以2220R z dv d d dz πθρρΩ=⎰⎰⎰⎰5230322232248059])()[(312R d R R R R πρρρρπ=----=⎰．注：本题也可用截面法来计算，分上下两部分，222202d zzRRR D D z v dz z dxdy dz z dxdy Ω=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222202(2)()R RR z Rz z dz z R z dz ππ=-+-⎰⎰5551475940480480R R R πππ=+=． 所属章节：第九章第四节 难度：三级40．利用三重积分求所给立体Ω的体积：(1) Ω由柱面x =y 2和平面z =0及x +z =1围成的立体； (2) Ω由抛物面z =x 2+y 2和z =18–x 2–y 2围成的立体；(3) Ω为圆柱体r ≤a cos θ内被球心在原点、半径为a 的球所割下的部分 解答：(1) 1311122008(22)15xV dv dx dz x x dz -Ω===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （2）222318081r rV dv d rdr dz πθπ-Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰;（3）cos 3332200424(1sin )(34)39a V dv d rdr a d a ππθθθθπΩ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所属章节：第九章第四节 难度：二级41．设Ω是Oxyz 坐标系中体积为V =5的有界闭区域，Ω*为Ω在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z下的有界闭区域，试求Ω*的体积V *解答：在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z 下，448(,,)27420(,,)143u v w x y z ∂==∂，所以V *=20 V =100．所属章节：第九章第四节 难度：二级42．计算三重积分222222d d x y z ab c x y z ++≤⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ===，则2sin J abc ρϕ=，22222222008d d sin 9x y z a b c x y z abc d d d abc ππθϕρϕρπ++≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节 难度：三级43．计算三重积分2222222()()()()d d d x a y b z c R I x y z x y z -+-+-≤=++⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ=+=+=+，则2sin J ρϕ=， 222220(2sin cos 2sin sin 2cos )sin RI d d a b c a b c d ππθϕρϕθρϕθρϕρϕρ=+++++⎰⎰⎰5322244()53R R a b c ππ=+++． 所属章节：第九章第四节 难度：三级44．计算平面6x +3y +2z =12在第一象限中的部分的面积 参考答案：14解答：平面方程3632z x y =--，:6312,0,0D x y x y +≤≥≥，投影面积4， 72dA d σ=， 7741422DA d σ==⨯=⎰⎰． 所属章节：第九章第五节难度：二级45．求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的曲面面积解答：由对称性，设z =22:,0D x y ax y +≤≥，则dA =，cos 220442(2)a DA d a πθθπ===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级46．计算旋转抛物面2z =x 2+y 2被柱面(x 2+y 2)2= x 2–y 2所截下部分的曲面面积解答：柱面投影曲线方程化为r =dA σθ==，442093DA d πππθθ-===-⎰． 所属章节：第九章第五节 难度：二级47．求双曲抛物面z =y 2–x 2夹在圆柱面x 2+y 2=1和x 2+y 2=4之间部分的曲面面积 解答：曲面方程22z y x =-，投影区域为圆环域22:14D x y ≤+≤，dA σθ==，2016DA d ππθθ===⎰⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级48．计算由球面22223(0)x y z a z ++=>和旋转抛物面222(0)x y az a +=>所围成立体的表面积参考答案：216π3a解答：上半曲面方程z =投影区域为圆环域222:2D x y a +≤，dA σθ==，22102(3DA d a πθθπ===⎰；类似，下半曲面面积，2220012)3DA d a πθθπ===⎰；所以所求总的曲面面积为21216π3A A a +=． 所属章节：第九章第五节 难度：二级49．求由圆柱面229x y +=、平面4y +3z =12和4y –3z =12所围成立体的表面积解答：该立体表面可分成两块来计算面积，一块为上下底，在两个平面上，由于对称，只计算上底面积1A ，另一块为侧面，面积记为2A ，整个立体的表面积122A A A =+． 先计算1A ，由于对应曲面方程为443z y =-，40,3z z x y ∂∂==-∂∂，xy D 为投影区域，53dA d σ==，所以15591533xyxyD D A dA d σππ===⋅=⎰⎰⎰⎰， 再计算2A，由于对应曲面方程之一为y =0,y y z x ∂∂==∂∂，xz D为投影区域，dA σ==，所以38232248xzD A dA dx π-===⎰⎰⎰⎰，于是，总面积为122304878A A A πππ=+=+=．所属章节：第九章第五节 难度：三级50．设两个圆柱半径相等，轴相互垂直，求它们所围立体的表面积解答：设两个圆柱面的方程为222222,x y R x z R +=+=，由对称性，只要计算出立体在第一卦限部分上面部分面积1A ，再乘以16即可，由于z dA ===，所以121016161616RD A A dx R ====⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级51．设平面薄片所占的闭区域D 是由直线x +y =2，y =x 和x 轴所围成，它的面密度ρ(x )=x 2+y 2，求该薄片的质量解答：122204(,)()3y yDm x y dxdy dy x y dx ρ-==+=⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第五节 难度：二级52．求占有下列区域D 的平面薄片的质量与重心(质心)：(1) D 是以(0，0)，(2，1)，(0，3)为顶点的三角形区域，ρ(x ，y )=x +y ； (2) D 是第一象限中由抛物线y =x 2与直线y =1围成的区域，ρ(x ，y )=xy ； (3) D 由心脏线r =1+sin θ所围成的区域，ρ(x ，y )=2； (4) 22{(,)|(1)1},(,)|1|D x y x y x y y y ρ=+-≤=+-解答：(1) 23102(,)()6xxDm x y dxdy dx x y dy ρ-==+=⎰⎰⎰⎰，23210211(,)3()46D x x dx x xy d x x x y dxdy m y ρ-===+⎰⎰⎰⎰，23210211(,)3()26D x x dx xy y d y y x y dxdy m y ρ-=+==⎰⎰⎰⎰， 即所求平面薄片的质量为6，质心坐标为33(,)42；(2) 211150011(,)()26xDm x y dxdy dx xydy x x dx ρ===-=⎰⎰⎰⎰⎰， 2111226004163((),)7x D dx x ydy x x x x y dxd m x x y d ρ=-===⎰⎰⎰⎰⎰， 211201(,63)4Dx dx y y x y dxd y m xy y d ρ===⎰⎰⎰⎰， 即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为16m =、43(,)74； (3) 1sin 22202(,)44(1sin )3Dm x y dxdy d rdr d ππθπρθθθπ+-===+=⎰⎰⎰⎰⎰，由对称性知，1(,)0Dx x x y dxdy m ρ==⎰⎰， 1sin 2242202485sin (3sin sin 1(,))396D d r d y y x y dxdy r m d ππθπθθθθθπρπ+-=+===⎰⎰⎰⎰⎰，即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为53π,(0,)6m =；(4) 将区域分为两个部分，记为221{(,)|(1)1,1}D x y x y y =+-≤≤，此处(,)1x y ρ=，222{(,)|(1)1,1}D x y x y y =+-≤≥，此处(,)21x y y ρ=-，故124(,)(21)3D D D m x y dxdy dxdy y dxdy ρπ==+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1(,)0Dx x x y dxdy m ρ==⎰⎰，。