▲为避免积分运算，我们作变换： z x x
这样得到了标准正态分布。
s
▲这种变换，实际上达到两个目的：（1）移轴，使对称轴变成 纵轴；（2）标准差变成1，使“体形”标准化。
于是，不用积分，只需查表便可求出某部分的面积（概率）。
§4 正态分布
一、正态分布曲线
二、正态分布表的使用
三、应用举例 90
80
八、标准分 (2)
▲引入Z分概念： Z = x x
s
如小赵同学的数学Z1 =1 ，语文Z2 =2 。 ▲意义：数学成绩比团体平均分高出1个标准
差，语文成绩比团体平均分高出2个标准差。
八、标准分 (3)
▲Z分克服了原始分含义不明确，不可比，不可 加等局限性。它以考生的平均成绩 为参考点， 以考生之间差异s 为分数单位，排除了题目难 度及题目难度分布的影响，确定了其在团体中 的具体位置。
教育统计讲座
§1 统计和教育统计 §2 统计图表 §3 常用的统计量 §4 正态分布 §5 显著性检验
绍兴文理学院 董百志 2002.03.28.
§4 正态分布
一、正态分布曲线
二、正态分布表的使用
三、应用举例 90
80
70
60
50
东部
40
西部
30
北部
20
10
0 第一季度
第三季度
4
一、正态分布曲线(1)
4
一、正态分布曲线(4)
▲ 观察它的频数分布直方图，当n无穷大时，变 成曲线图——正态分布图。
▲ Galton板：用乒乓做小球，在一块板上钉上钉 子，让小球从一个口子落
下，球多了就形成了正态分布。点： 两头低，中间高，呈钟型； 两边对称，对称轴为 x=
曲线与数轴所围部分面积为1，即总概率为1； 落在某区间上的概率等于相应区间上的面积。
教育统计讲座
§1 统计和教育统计 §2 统计图表 §3 常用的统计量 §4 正态分布 §5 显著性检验
§5显著性检验(统计假设检验)
统计学 基 础
§1 统计和教育统计 §2 统计图表 §3 常用的统计量 §4 正态分布 §5 显著性检验
§3 常用的统计量
一、中位数 二、众数 三、算术平均数 四、方差与标准差 五、变异系数 六、相关系数 七、概率 八、标准分
八、标准分 (1)
如何衡量两个成绩的高低？ 小赵同学 数学95分 语文80分 那门课好？ 加上条件：数学 x1 85 , 语文 x2 70 , 那门课好 ? 再加上条件：数学 s1 10 , 语文s2 5 问该同学究竟是数学好还是语文好？ 原始分是有弊端的。
区间[z1,z2]上曲线与横 轴所夹的面积 Ф(z2)- Ф(z1) ； 对称轴两边面积均为0.5。
4
二、正态分布表的使用(3)
两个重要的数据： 在[-1.96,1.96]之间的概率（面积）为95%。 在[-2.58,2.58]之间的概率（面积）为99%。
落到[-1.96,1.96]以外的可能性为5%，称1.96是α=0.05的临界值。 落到[-2.58,2.58]以外的可能性更小，仅为1%，称2.58是α=0.01 的临界值。
4
一、正态分布曲线(2)
▲连续掷硬币三次，试验次数n =3时，所有得可能性 23 =8（种）
结果 频数 概率
三正 1 1/8
二正一反 3
3/8
一正二反 3
3/8
三反 1
1/8
Σ=1
4
一、正态分布曲线(3)
▲设想试验次数更多，如连续投硬币十次，n =10时，所有 可能性 1024（种）
▲规律：两边对称——全正与全负概率一致，九正一反与一 正九反的概率一致，且概率之和 ∑ =1.
▲要研究正态分布，先介绍条件很苛刻的二项 分布，所谓二项分布是满足：
（1）一次试验只有两种可能；（2）试验之间 互不影响即互相独立；
（3）每次试验成功的概率相等都为 p，失败的 概率也相等，都为1- p =q。
▲袋中10个球，3红7白，每次摸一个，摸后放 回，这就是二项分布的例子。 更特殊，p =q 如掷硬币模型。
x
4
一、正态分布曲线(6)
▲ 正态分布曲线的函数表达式：y
N
(xx)2
e 2s2
▲
s 2
当 x = x 时，
取到最大值（高峰）
峰的高低与标准差s有关:s愈大，曲线愈“胖”；s愈小， 曲线愈“瘦”。
4
一、正态分布曲线(7)
欲求落在某区间（分数段）上的概率，要用到高等数学中积分 的知识。
x>a时面积 f (x)dx a
▲以标准分统计成绩在一些高校使用比较普遍。
八、标准分 (4)
▲为避免出现负值，出现小数，可经过线性变换 得到T分，如托福（TOFEL）考试 T =500+70Z （500分为平均分）。 如某人托福原始分79分,团体平均分63分,标准 差8分。 T 500 70 79 63 640分. 8
70
60
50
东部
40
西部
30
北部
20
10
0 第一季度
第三季度
4
二、正态分布表的使用 (1)
▲前提：在教育研究中，许多现象如学习成绩，身高， 品德等一般都呈正态分布。
【例】某次测验 =65 s =10 问65分到85分的概率是 多少？
4
二、正态分布表的使用(2)
▲ 正态分布表介绍： 表的纵目——z的整数和第一位小数部分，表的 横目——z的第二位小数部分； 中间是相应的概率（面积）Ф(z) 值 z的范围由0到3.09；
x
4
三、应用举例(2)
2.求各比例的分数区间 【例】某校欲招收500名新生，报考人数为3160人，考 生平均成绩为176分，标准差为64分，考试满分400分， 若全体考生成绩呈正态分布，问：（1）成绩为300分 的考生大约能列多少名？（2）最低录取分数线约为多 少？
4
三、应用举例(3)
【例】某校欲招收500名新生，报考人数为 3160人，考生平均成绩为176分，标准差为 64分，考试满分400分，若全体考生成绩呈 正态分布，问：（1）成绩为300分的考生 大约能列多少名？（2）最低录取分数线约 为多少？
§4 正态分布
一、正态分布曲线
二、正态分布表的使用
三、应用举例 90
80
70
60
50
东部
40
西部
30
北部
20
10
0 第一季度
第三季度
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三、应用举例(1)
1． 各分数段的比例 【例】某班48人，语文测验分数呈正态分布， =80 ， s =10 ，问分数在 70-88 之间的学生比例为多少？人 数为多少？