心O为原点， OM0所 在的直线为x轴，建立 直角坐标系.
显然，点M的位置由 时刻 t 惟一确定，因 此可以取 t 为参数。
M(x,y)
r
o
M0 x
5
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是
M(x,y)，那么θ=ωt，设 OM r，那么由三角
函数定义，有
cost x , sin t y
r
r
即
v
则向量V =OO1=(a,b)
o
P1(x1,y1)
x
设Ｐ１(x1,y1)为圆O上任一点，
则有：xy11
r cos r sin
设P（x，y）为圆O1上与P1对应的点，
则由PP v得x x , y y a,b
1
1
1
即
x y
x 1
y 1
a b
x y
a b
x 1
y 1
10
所以该圆 为圆心(a,b)为半径r为的圆的参数方程
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其中参数θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转 到OM的位置时， OM0转过的角度。
由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一
般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因
此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的
参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在
建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范 7
围。
练习：已知圆O的参数方程为 xy
5 cos 5 sin
(
为参数）
(1)如果圆上的点P对应的参数 = 2 ，求P点的坐标
3
(2)如果Q（5 3，- 5）求的值
22
（3）A 1，2 B 3, 4是否在该曲线上
（4）写出该曲线的普通方程。
8
二.圆心为O1（a，b）半径为r的圆的参数方程 例1：已知某曲线的参数方程为
1
y
p
y
o1
r
p0
o
x
o
r
x
2
知识回顾
若以（a，b）为圆心，r为半径的圆 的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2 标准方程的优点在于：它明确指出圆的
圆心和半径
若 D2+E2-4F>0 时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆，称为 圆的一般方程
思考：圆是否还可用其他形式的方程来表示？ 3
x y
r r
cos t（t为参数, sin t.
t
R）
这就是圆心在原点O，半径为 r 的圆的参数方程。 其中参数 t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周 运动的时刻）
6
考虑到 t ，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数， R或 0,2）)
这也是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程。
x y
2 3cos 1 3sin
(为参数）
求该曲线的普通方程，并说明是什么图形。
猜测：（x a)2 ( y b)2 r2的参数方程为
x y
a b
r cos cos
(为参数）
9
例2
y
证明： 圆心为O1(a,,半径为r的圆
P(x,y)可以看成由圆心为原点O半
O a,b 1
径为r的圆平移而得到的，
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动 点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中 点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。
y
P M
o
Qx
11
解 ： 设 点M的 坐标 是( x, y)，xOP ,则 点
P的 坐标 是(2cos ,2sin ),由 中点 坐 标公 式 得：
1、(1)指出参数方程{x 2cos 5(为参数)所 y 3 2sin
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
(2)把圆方程x2 y2 2x 4 y 1 0
化为参数方程为x 1 2 cos
y
2
2
sin
14
x r r cos 3、圆{y r r sin (为参数，r 0)的直径
圆周运动是生产，生活 中常见的，当物体绕着 定轴做匀速转动时，物 体中各个点都做匀速圆 周运动，那么，怎么刻 画动力中的位置呢？
4
一.求圆心在原点， 半径为r的圆的参数方程。
如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0 （t=0时的位置）出发，按逆时针y 方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M绕
点O转动的角速度为w. 以圆
2
是4，则圆心坐标是__（__2_，__1__）____
4.选择题：参数方程
x y
2 cos 2 sin
(
为参数)
表示的曲线是 A
A.圆心在原点, 半径为2的圆
B.圆心不在原点, 但半径为2的圆
C.不是圆
D.以上都有可能
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课时小结
通过本结学习，要了解圆的参数方程，以及 圆的标准方程，一般方程，参数方程的关系，能 熟练地互化，且可根据不同形式方程的特点灵活 选取应用，以便恰当解决相关问题。
x 2cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所 以， 点M的 轨迹 的 参数 方 程是
{ x cos 3(为参数) y sin
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思考： 这里定点A在圆O外，你能判断这个 轨迹表示什么曲线吗？如果定点A在 圆O上，轨迹是什么？如果定点A在 圆O内，轨迹是什么？
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练习：