*
* 2 2'
1'
di 0, dt
u22' = M di 0 dt
R S 1
1'
i *
电压表瞬时正偏。 思考：当开关S打开时，电压表？
*2
2'
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+ V –
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10--2 含有耦合电感电路的计算
对于含有耦合电感电路的正弦稳态分析仍可以采用相量法。 •直接计算法
提示思考：同名端改变，电流流入端改变时，磁通链变化？
7
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三、互感线圈的伏安特性
当互感线圈通以变动的电流时，根据电磁感应 定律，在每个线圈两端将产生感应电压。
u = i1
d Ψ dt
1.仅线圈1上通以变动的电流
11
M
* L1 * L2 +
21 N1 N2 _ * i1 1*+ u1 _ 1 u + 2 ´ 2 ´ 2 + u11 – + u21 有了同名端后，分析互感电压时不必考虑线圈实 –
u 1 = u 11 + u 12 = L 1 di 1 + M di 2 dt dt u 2 = u 21 + u 22 = M di 1 + L 2 di 2 dt dt
思考总结： 线圈绕向，同名端，互感磁通增强/减弱，互感电压正极性端之间的关系？
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例10-2 图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H， L2=3H， M=1H，求两耦合线圈的端电压u1 和u2 。
2 2
等效
I
+ U –
Req
jω Leq
+ j ( L + M ) I = R2 I 2 =U +U = ( R + R )I + j ( L + L + 2 M ) I = ( Req + jLeq ) I U 1 2 1 2 1 2
Req = R1 + R2 Leq = L1 + L2 + 2 M Z eq = Req + jLeq
13
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六、同名端的确定方法总结：
同名端实质：反映线圈绕法的相互关系。
i
(1) 根据绕向判别：当两个线圈中电流同时由 同名端流入(或流出)时，两个电流产生的 磁场相互增强。 (2) 实验判别法：当随时间增大的时变电 流从一线圈的一端流入时，将会引起 另一线圈相应同名端的电位升高。 如图电路，当闭合开关S时，i 增加， 1
•互感消去法
首先分析互感的连接方式，然后对互感采用前述方法去耦；
电路去耦后，求解方法视方便，自由选择，无任何限制；
思考：互感线圈的可能连接方式？
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一.互感线圈的串联
1. 串联顺接
M
i 等效 + u –
Req Leq
i i1 R1 + + u –
* u1
L1
i2 R2
– +
* u2
L2 –
i = i1 = i2 u = u1 + u2
di1 di2 di di di u1 = R1i1 + L1 +M = R1i + L1 + M = R1i + ( L1 + M ) dt dt dt dt dt di di di2 di1 di = R2 i + L2 + M = R2 i + ( L2 + M ) u2 = R2 i2 + L2 +M dt dt dt dt dt di di = Req i + Leq u = u1 + u2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 + 2 M ) dt dt
它们的相互位置有可能改变耦合因数的大小；当 L1和 L2一定时，也就相应 地改变了互感系数 M 的大小。
12
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特殊地，当k=1为全耦合: 11= 21，22 =12
1 1' 2
思考
2'
什么情况下 k≈0 ？
k≈1
互感现象的利与弊： 利用——变压器：信号、功率传递; 避免——干扰; 克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用；采用屏蔽。
11 = L1 i1 =20Wb
22 = L2 i2 =15cos(10t) Wb
21 = M i1 =10Wb
12 = M i2 = 5cos(10t) Wb
1 = L1 i1 + M i2 =[20+ 5cos(10t)] Wb 2 = M i1 + L2 i2 =[10+ 15cos(10t)] Wb
L 1= y
11
i1
， L 2=
y
22
i2
，
称 L 1 L 2 为自感系数，单位亨 ( H) 。
M 21 =
y
21
M 12 =
i1 y
，称 M 21 为线圈 1 对线圈 2的互感系数，单位亨（ H ）。
12
i2
，称 M 12 为线圈 2 对线圈 1的互感系数，单位亨（ H ）。
M21 = M12 =M
– +
*
U 2
jω L2
–
–
2
=RI U 1 1 1 + jL1 I 1 + jMI 2 + jL I = R1 I 1 + jMI + j ( L + M ) I = R1 I 1 =RI U 2 2 2 + jL2 I 2 + jMI 1 + jL I + jMI =RI
dΨ 1 u1 = , Ψ 1 = L1 i1 + Mi2 dt dΨ2 u2 = , Ψ 2 = L2 i 2 + Mi1 dt
i1 + + + * u1 u11 u12L1 _ _ _
M
i2
* + + + L2 u21 u22 u2 _ _ _
di1 di2 u1 = L1 +M = 50 sin( 10t ) dt dt di1 di2 u2 = M + L2 = 150 sin( 10t ) dt dt
第十章 含有耦合电感的电路
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
§10-4 理想变压器
1
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10. 1 互感
一、 互感
11
N1
i1 +
1
21
N2 –
1’
u11
+
2
u21
–
2’
当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux) 11 ， 产生的自感磁通链为11 ，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，产生互 感磁通链为21 ，我们把这种一个线圈的磁通交链另一线圈的现象称为 磁耦合。 i1 称为施感电流, 11 = N1 11 , 21 = N2 21
不首先对具有互感的电感解耦，因为互感电压是电流的函数，所以 列写电路方程求解时，通常采用以电流为未知量的求解方法建立方 程；具体地，可采用支路电流法、回路电流法、网孔法。 • KCL的形式不变； • 在KVL的表达式中，应计入由于互感的作用而引起的互感电压。即当 某些支路具有耦合电感时，这些支路的电压将不仅与本支路电流有关， 同时还将与那些与之有互感关系的支路电流有关。 •关键：不要丢掉互感电压；
i1 * L1
M * L2
i2
+ u2 _
2
2’ 5
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当有两个以上的电感彼此之间存在耦合时，同名端应一对一对地 加以标记。每一对采用不同的符号。如果每一电感都有电流时，则每 一电感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和。
11
s 0
N1
i1
+ * u11 –
2 = ± 21+22
思考：上式什么时候取加？什么时候减？
3
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当线圈周围各向同性的线性磁介质时，11、21与i1成正比， 12、22与i2成正比。可以分别用下式表示：
11 = L1 i1， 21 = M21 i1， 22 = L2 i2， 12 = M12 i2
M 恒大于或等于零
1 = L1 i1 ± M i2 2 = ± M i1 + L2 i2
4
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二、互感线圈的同名端
1 = L1 i1 + M i2
2 = + M i1 + L2 i2 21
11
i1

1
N1
1’
i2
+
u11–Βιβλιοθήκη + u212
N2
2’
1 = L1 i1 -M i2
k =
de f
y 12 y 21 = y 11 y 22
k=
def
M L1 L2
| 21 |= Mi1
M 1 L1 L2
11 = L1i1 ，
|12 |= Mi2 ， 22 = L2 i2 ，
Mi2 Mi1 = L1 i1 L2 i2
说明：
显然，k1。
k 的大小与 2 个线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有关。改变或调整