2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定 时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到 数据如下：
时间 0.25 0.5 (小时)
酒精 30 68 含量
时间 6 7 (小时)
酒精 38 35 含量
0.75 1 75 82 89 28 25
1.5 2 82 77 10 11 18 15
1
11 1 12 1
y k x k y
1 12 1 21 1
-----------（5）
（4）是可分离变量的微分方程，（5）是一
阶线性非齐次微分方程，通过求解，得出
它满足初始条件 ：
x1 ( 0 ) Na
y
(0) 0
1
.
11
上述方程的特解为：
x e Na(k1 1k1)2t ， 1
y k
2.5 3 68 68 12 13 12 10
3.5 4 58 51 14 15 77
4.5 5 50 41 16 4
.
4
假
设
1.假设喝啤酒后，啤酒中的酒精全部进入胃肠（含肝脏）， 然后经过胃肠渗透到体液。
2.假设酒精从胃肠向体液的转移速度，与胃肠中的酒精浓度 （或含量）成正比。
3.假设体液中的酒精消耗（向外排出、分解或吸收）的速度， 与体液中的酒精浓度（或含量）成正比。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符 合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇 检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什 么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
.
2
问题
1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车
x1
k x k x 11 1 12 1
如图
y k x k y
1
12 1 .
21 1
(1)
返回8
1）大李在中午12点喝一瓶啤酒时，即在t=0时胃 肠中的酒精量x1（0）为一瓶酒中的酒精a与饮酒 瓶数N的乘积，而此时体液中的酒精量y1(0)为零 ，所以初始条件为：
x1 ( 0 ) Na
y (0) 1
就会违反上述标准，在以下情况下回答： 1)酒是在很短时间内喝的； 2)酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
.
3
参考数据
1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重 的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体 液中的含量大体是一样的。
x
2
k 11
x 2
k 12
x2
y
2
k 12
x 2
k
21
y 2
x
(0 )
2
x 1 (T
) aN
1
y
(0 )
2
y 1 (T
)
1
y (t)
C (t) 2源自V根据题意判断 C(14 T1). y2(1V4 T1)20是否成立。10
二.对问题一求解
• 微分方程：
x k x k x •
----------（4）
Na 12
( kk k) ( )t 11 12
t
21
e e 1
k k k 11 12 21
令
k k k k 11
12，
21
，a
12
x e 1Naat ，y1N (et e t)
.
12
根据题目所给的饮两瓶酒的数据，此时 N=2，据高斯-牛顿算法可得：
2.180， 0.1755， 54468
V： 人体体液的体积；
t ： 时间；
.
7
对问题一建立模型及求解
一：建立模型 根据假设的条件及图1可以看出：x1(t)的变化 率由从胃肠进入体液的酒精-k11x1和从胃肠渗 透到（除体液外）其它地方的酒精-k12x1组成； y1(t)的变化率是由从胃肠进入体液的酒精 k12x1与体液中消耗（向外排出、分解或吸收） 的酒精-k21y1组成。所以，可以建立以下微分 方程：
4.对问题一，假设大李在下午6点接受检查，之后由于停车、 等待等原因耽误了一定时间T0（这里不妨设T0=0.5小时）， 即大李第一次检验到第二次喝酒之间间隔为半小时。
5.对问题一，假设大李在两次喝酒时都是将酒瞬时喝下去并 立即进入胃肠中，没有时间耽搁。
6.假设酒在很短时间内喝完即将酒瞬时喝下去并立即进入胃 肠中，没有时间耽搁。
7.假设酒在较长一段时间内喝时是匀速喝下去。 8.假设体液的密度为1千克/升.
.
5
• 一个人血中酒精含量取决于他的饮酒量、 体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。有 科普知识知道，酒精是经胃肠（主要是肝 脏）的吸收与分解进入体液的，酒精从胃 肠（含肝脏）向体液转移情况如图所示：
• f(t) 胃 k12 体 k21
肠
液
•
返回
k11 图1
.
返回
6
符号说明:
k11：酒精从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的速 率系数;
k12：酒精从胃肠进入体液的速率系数；
k21：酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收） 的速率系数；
f(t):酒精进入胃肠的速率；
x：胃肠中的酒精含量；
y：体液中的酒精含量；
a：每瓶酒中的酒精含量；
N：饮酒的瓶数；
饮酒驾车
建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型
团队成员：魏凤佳、邵娟娟、张程
.
1
题
目
据报导，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，
其中因饮酒驾车造成的占有相当大的比例。
针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004 年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值 与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含 量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾 车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于 或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫 克／百毫升）。
0
(2)
体液中酒精浓度为：
y (t )
C (t ) 1
V
返回 (3)
y (6)
求出N=1时C(6)
1
V
的值，判断c(6)<20是否成立
.
9
2）大李第二次喝酒时胃肠和体液中已经有酒精，所 以在第二次喝酒即t=0时胃肠中的酒精量x2(0)为N 瓶酒中的酒精质量Na与第一次喝酒后残留在胃肠中 的酒精质量x1（T1)之和，而此时体液中的酒精质 量y1(0)为第一次喝酒后残留在体液中的酒精质量 y1(T1)。因此大李第二次喝酒的模型如下：
4
3.5
• 利用非线性最小 3
二乘法拟合见 2.5
图2.
2
1.5
1