线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
简写式
Max(min)z c j x j
j 1 n
aij x j (, )bi , i＝1, 2,..., m st. j 1 x 0, j 1, 2,..., n j
n
向量式 Max(min)z CX
Pj x j (, )b st . j 1 x 0
min z C T X
线性规划的标准型
下列情况具体处理 若要求目标函数求最大化 若约束方程为不等式：非负松弛变量，非负 剩余变量 若变量不是非负：非正，自由变量， 右边为非正 任何形式的线性规划模型都可以化为标准型。

Ai

配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料
1
A
4
B
1
Ｃ
0
每单位成本
2
2
3
6
1
1
7
2
1
5
6
4
每单位添 加剂中维生 素最低含量
2
5
3
8
12
14
8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12
s x’1－2x2+x’3 －x”3 – s2= 2 － 3x’1+x2－3(x’3 － x”3 )=5
x’1 ≥ 0 x2 ≥0 x’3 ≥0
x”3 ≥0 s1≥0 s2 ≥0 其中s1 为松弛变量，s2为剩余变量
－x’1+x2+x’3－ x”
+0s1 +0s2 3 + 1=9
x3＝x’3－x”3
4X1+5X2
3X1+10X2
+s2 =200
+ 3
s
=300
X1≥0 X2≥0
Xj≥0 j=1,2
其中S1， s2 ，s3 ≥ 0为松弛变量
化标准型
minZ=x1+2x2-3x3 maxZ’=x’1－2x2+3(x’3－x”3)
x1+x2+x3 ≤9 -x1-2x2+x3 ≥2 3x1+x2-3x3=5 x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束
2线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解X=(x1,x2,…,xn)F 可行域:可行解的集合(线性规划问题的可行 域一般为凸集) 最优解：使目标函数达到最优的可行解 若线性规划问题有唯一最优解，则最优解一 定在可行域的顶点处取得

线性规划问题可能存在无穷多个最优解（若 线性规划问题有两个最优解，则一定有无穷多个最优解） 线性规划问题可能存在无界解（即无最优解） 线性规划问题可能存在无可行解（此时无最优解， 可行域为空集）
a11 a12 ...a1n a21 a22 ...a2 n A ...... a a ...a mn m1 m 2
2.2线性规划问题的图解法
1图解法用于求解两个决策变量的线性规划问 题，图解法简单直观，有助于了解线性规划 问题求解的基本原理。 如： maxZ=70X1+120X2 人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
劳动力 设 备 原材料
利润元/kg
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？

步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件： 人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
运筹学 （OR:operational research(英) \operations research(美) ）
主讲：卢安文
2 线性规划（LP:Linear Programming ）问题与图解法
2.1 问题的提出

生产计划问题 某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利 润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表 产品A 9 4 3 70 产品B 4 5 10 120 资源限量 360 200 300
nLeabharlann 其中：C=(c1,c2,…,cn)价值向量 X=(x1,x2,…,xn)T 决策向量 Pj=(a1j.a2j,…,amj)T 系数向量 B=(b1,b2,…,bn) T 资源向量

矩阵式
Max(min)z CX AX ( , )b st . x 0
其中系数矩阵
x1 + x2 +7x3+5x4 14
2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
线性规划问题的基本特征

决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的 方案，一般有xi非负 约束条件：线性等式或不等式 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大 （Max）或极小(Min)

3 线性规划问题的标准型
目标函数极大化（或极小化） 约束条件为等式，且右端常数全为非负 决策变量非负

化标准型
maxZ=70X1+120X2 maxZ=70X1+120X2 +0S1 +0s2 +0s3 9X1+4X2≤360 9X1+4X2+S1
=360
4X1+5X2 ≤200
3X1+10X2 ≤300

x2 .
90
80 60 40 B C
A
9x1+4x2 ≤ 360
4x1+5x2 ≤200
Z=70x1+120x2
20
H
I
G
3x1+10x2 ≤300
F 100
0
20
D E 40 60
80
x1




图中阴影部分为可行域（满足约束条件的点的集 合） 可行解：满足约束条件的解 可行域是可行解的集合 当等值线Z=70x1+120x2 平行移动到 H点时 Z取得最大值 此时，x1=20,x2=24 Z=70*20+120*24 设备和原材料恰好使用完，而人力节余84个单位 即：设备约束和原材料约束条件取等号，而人力 约束条件仍然取不等号