❖ 线性规划问题可能存在无界解（即无最优解）
❖ 线性规划问题可能存在无可行解（此时无最优解， 可行域为空集）
3 线性规划问题的标准型
❖ 目标函数极大化（或极小化） ❖ 约束条件为等式，且右端常数全为非负 ❖ 决策变量非负
化标准型
maxZ=70X1+120X2 maxZ=70X1+120X2 +0S1 +0s2 +0s3
约束条件仍然取不等号
2线性规划问题的解
❖ 可行解：满足约束条件的解X=(x1,x2,…,xn)F ❖ 可行域:可行解的集合(线性规划问题的可行
域一般为凸集) ❖ 最优解：使目标函数达到最优的可行解 ❖ 若线性规划问题有唯一最优解，则最优解一
定在可行域的顶点处取得
❖ 线性规划问题可能存在无穷多个最优解（若 ） 线性规划问题有两个最优解，则一定有无穷多个最优解
9X1+4X2≤360
9X1+4X2+S1
=360
4X1+5X2 ≤200
4X1+5X2 +s2 =200
3X1+10X2 ≤300
3X1+10X2 +s3 =300
X1≥0 X2≥0
Xj≥0 j=1,2
其中S1， s2 ，s3 ≥ 0为松弛变量
化标准型
minZ=x1+2x2-3x3
maxZ’=x’1－2x2+3(x’3－x”3)
设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300
非负性约束X1≥0 X2≥0
Ai
❖ 配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添
加剂中维生 素最低含量
12 14 8
求：最低成本的原料混合方案
❖ 1图解法用于求解两个决策变量的线性规划问 题，图解法简单直观，有助于了解线性规划 问题求解的基本原理。
❖ 如： maxZ=70X1+120X2 人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
x2
.
90 A
x”3 ≥0 s1≥0 s2 ≥0
其中s1 为松弛变量，s2为剩余变量
x3＝x’3－x”3
x1+x2+x3 ≤9
+0s1 +0s2
－x’1+x2+x’3－ x”3 + s1=9
-x1-2x2+x3 ≥2
x’1－2x2+x’3 －x”3 – s2= 2
3x1+x2-3x3=5
－ 3x’1+x2－3(x’3 － x”3 )=5
x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束 x’1 ≥ 0 x2 ≥0 x’3 ≥0
80
9x1+4x2 ≤ 360
60
4x1+5x2 ≤200
40 B
C
20
HI
G
Z=70x1+120x2 3x1+10x2 ≤300
0
20 D40 E 60
80 1F00 x1
❖ 图中阴影部分为可行域（满足约束条件的点的集 合）
❖ 可行解：满足约束条件的解
❖ 可行域是可行解的集合 ❖ 当等值线Z=70x1+120x2 ❖ 平行移动到 H点时 Z取得最大值 ❖ 此时，x1=20,x2=24 ❖ Z=70*20+120*24 ❖ 设备和原材料恰好使用完，而人力节余84个单位 ❖ 即：设备约束和原材料约束条件取等号，而人力
劳动力 设备 原材料 利润元/kg
产品A 9 4 3 70
产品B 4 5 10 120
资源限量 360 200 300
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？
❖ 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg
2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件： 人力约束 9X1+4X2≤360
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
线性规划问题的基本特征
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的 方案，一般有xi非负
简写式
n
M ax(min)z c j x j j 1
st.
n j 1
aij x j
(, )bi , i＝1, 2,..., m
x
j
0,
j
1,
2,..., n
向量式
Max(min)z CX
st .
n j 1
Pj x j
(, )b
x
0
❖ 其中：C=(c1,c2,…,cn)价值向量
❖ X=(x1,x2,…,xn)T 决策向量
运筹学 （OR:operational research(英)
\operations research(美) ）
2 线性规划（LP:Linear Programming ）问题与图解法
2.1 问题的提出
❖ 生产计划问题 ❖ 某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利
润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表
❖ Pj=(a1j.a2j,…,amj)T 系数向量
❖ B=(b1,b2,…,bn) T
资源向量
矩阵式
Max(min)z CX
AX (, )b
st.
x
0
其中系数矩阵
a 11 a 12 ... a 1n
A
a
21
a 22
... a 2 n
......
a
m
1
am2
... a mn
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2.2线性规划问题的图解法
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大
（Max）或极小(Min)
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)