一元一次方程的典型例题一例 国庆节即将来临，学校组织七年级学生参加“国庆专题展”，计划租借42座的客车16辆，恰好坐满．但由于126名学生准备骑自行车前往，所以学校要改变租车方案．（1）学校改变租车方案后，实际应租借多少辆客车？（2）若自行车的速度是10千米／时，出发1小时后，客车以40千米／时的速度行驶，结果全体同学同时到达指定地点，则客车行驶了多长时间？解：（1）设学校实际租借客车x 辆，则可以乘坐42x 名学生．列方程164242126⨯=+x ．（2）设客车行驶了x 小时，则自行车行驶了)1(+x 小时．列方程x x 4010)1(=⨯+．说明：（1）学生总数是题中较明显的相等关系，由此列方程；（2）“同时到达指定地点”表明全体学生在同一时刻到达，由此可设客车行驶时间为x 小时，则自行车行驶的时间为)1(+x 小时，而两者路程相同，这是此问题中的相等关系．另外，还可以理解为相同的时间里，客车比自行车多行了10)110(=⨯（千米）．可见，在实际问题中找到相等关系是列方程解决实际问题的关键，依据数量关系列方程，打破了列算式时只能用已知数的限制，使得列方程比列算式更直接、更方便，具有更多的优越性．一元一次方程的典型例题二例 观察下列各式，哪几个是等式？哪几个是方程？哪几个是一元一次方程？ ①23-=x ②2839-=- ③02=-x x ④92-x ⑤01=+xy ⑥31212=-y ⑦2=x ⑧22>+x 解：①②③⑤⑥⑦是等式；①③⑤⑥⑦是方程；①⑥⑦是一元一次方程．说明：等式、方程和一元一次方程是层层包含的关系，等式是用“＝”连接，表示相等关系的式子，方程是含有未知数的等式，而一元一次方程是含有一个未知数，并且末知数的指数都是1（次），可见一元一次方程属于方程的一种，方程又属于等式的一部分，所以区分三者必须理解它们之间的相互关系．一元一次方程的典型例题三例 根据下列条件列方程：（l ）某数的3倍比7大2；（2）某数的31比这个数小1； （3）某数与3的和是这个数平方的2倍；（4）某数的2倍加上9是这个数的3倍；（5）某数的4倍与3的差比这个数多1．分析：要列方程，首先要认真审题，明确未知数，并设未知数，然后根据题中的条件，找出相等关系，列出方程，解：（1）设某数为x ，则有：273=-x ；或 273+=x ；或723=-x ；（2）设某数为x ，则有：x x =+131；或 131=-x x ；或131-=x x ; （3）设某数为x ，则有：223x x =+；或322-=-x x ；或322-=x x ；（4）设某数为x ，则有：x x 392=+；或 932-=-x x ；或 923=-x x ；（5）设某数为x ，则有 134-=-x x ；或 x x =+-134；或 314+-=x x 说明：此题条件中的大（小）、多（少）、和（差）、倍等实际上说的是相等关系：大数－小数=差；小数十差=大数；大数一差=小数．一元一次方程的典型例题四例 判断下列各式哪些是一元一次方程．（1）2143=x ； （2）23-x ； （3）1325171-=-x y ； （4）1352+-x x ； （5）y y x 213-=+； （6）.2712y y =-分析： 判断一个数学式子是不是一元一次方程，首先看它是不是方程，其次再看它含有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少．解：（1）是，因为2143=x 是方程，且方程只含有一个未知数x ，且含未知数的项最高次数是1．（2）不是．23-x 不是方程．（3）不是．因为1325171-=-x y 虽然是方程但含有两个未知数x 、y ． （4）不是．因为1352+-x x 不是方程．（5）不是．因为y y x 213-=+含有两个未知数．（6）不一元一次方程的典型例题五例 甲、乙两个工程队共有30人，其中乙队人数比甲队人数的2倍还多6人，求甲、乙两队各有多少人？分析：设甲队有x 人，乙队人数比甲队的2倍还多6人，用代数式表示：解：设甲队有x 人，依题意有x +(2x +6)=30如果x=1，x +(2x +6)的值是9)612(1=+⨯+如果x=2，x +(2x +6)的值是12)622(2=+⨯+如果x=3，x +(2x +6)的值是15)632(3=+⨯+类似计算下去可得如果x=8，x +(2x +6)的值是9)682(8=+⨯+所以甲队的人数是8乙队人数为：8×2+6=22答：甲队有8人，乙队有22人．说明：如果这个题设乙队有x 人，则甲队的人数是26-x 人，显然所列代数式比设甲队有x 人复杂而且容易出错．所以列方程解应用题时，在认真审题的基础上，第一个关键步骤就是如何“设未知数”．估算在实际生活中经常用到，可以根据计算的结果适当调整带入的数以便快捷的得到近似值．是．因为.2712y y =-中未知数最高次数为2次． 一元一次方程的典型例题六例 判断0和4是不是方程)1(596)12(3-+=++x x x x 的解．分析：根据方程解的意义，将数带入方程两侧判断是否相等．解：（1）如果0是方程的根，那么把0分别代入原方程的左边和右边，方程两边的数值应该相等．左边=,306)102(3=⨯++⨯右边=5)10(509-=-+⨯∴ 左边≠右边，∴ 0=x 不是方程的解．（2）把4=x 分别代入原方程的两边．左边=x x 6)12(3++=5146)142(3=⨯++⨯⨯=，右边=)14(549)1(59-⨯+⨯=-+x x 51=∵左边＝右边，∴4=x 是方程的解．说明：我们在检验某数是不是方程的解时，应把这个数分别代入原方程的左边、右边，而不是代入原方程本身．一元一次方程的典型例题七例 检验1=x 及0=x 是否是方程)12(2)1(3+=+x x 的解．分析：将1=x 及0=x 代入方程，若使方程左右两边的值相等，则是，否则就不是． 解：将1=x 代入原方程，左边6)11(3=+⨯=，右边6)112(2=+⨯⨯=。

由于左边＝右边，因此1=x 是原方程的解．将0=x 代入原方程，左边3)10(3=+⨯=，右边2)102(2=+⨯⨯=。

由于左边≠右边，因此0=x 不是原方程的解．说明：根据方程的解的定义进行检验判断．一元一次方程的填空题1．为了保障师生的身体健康，学校每年都要购买无尘粉笔，现在无尘粉笔的售价是每盒a 元，比去年便宜了b 元：（1）去年此粉笔的售价是每盒____元；（2）若去年购进该粉笔100盒，需要_________元；（3）若学校现在购进该粉笔100盒，需要____元；（4）若购进100盒粉笔，今年比去年节省____元；（5）若该粉笔现在的售价是每盒1.5元，比去年每盒便宜了0.3元，则去年购买100盒粉笔的钱今年可以购买多少盒？设今年可以购买x 盒，可列方程为_______________．2．某数与2的和的3倍是9，设某数为x ，列成方程是___________．3．写一个以2-=x 为解的一元一次方程为_____________．4．一家商店将某种服装按成本价提高40％后标价，又以8折（即按标价的80％）优惠卖出，结果每件仍获利15元，如果设每件服装的成本价为x 元，那么（1）每件服装的标价为________；（2）每件服装的实际售价为_______；（3）每件服装的利润为_________；（4）由此，可列出方程为________；参考答案：1．（1）)(b a + （2）)(100b a + （3）a 100 （4）b 100 （5）x 5.1)3.05.1(100=+ 2．9)2(3=+x 3．如262=+x 等4．（1）x %)401(+ （2）%80%)401(⋅+x（3）x x -⋅+%80%)401( （4）15%80%)401(=-⋅+x x一元一次方程的选择题1．方程032,12,2433,032,22=-=+=+=+=x •x •x x x •x •yx 中是一元一次方程的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．42．“比a 的31少2的数”可以列式表示为（ ）． A ．⎪⎭⎫⎝⎛-⨯231a B ．231+a C ．231-a D ．)2(31-a3．长方形的宽是a 米，长比宽多2米，则此长方形的面积可以表示为（ ）．A ．a a )2(2+B ．)2(+a aC ．)2(22++a aD ．)22(2+a a4．下列各方程后面括号里的数，均是该方程的解是（ ）A ．{}1,145-=+x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+67,61413121x C ．{}4,2282xx -=- D ．{}2,1,00)2)(1(--=++x x x 5．方程x x 231=+-的解是（ ） A ．31- B ．31 C ．1 D ．－1 6．一元一次方程)72(2)2(5+=+x x 的解是（ ）．A ．7B ．6C ．5D ．48．3-=x 是方程4=+a x 的解，则a 的值是（ ）A ．7B ．1C ．－1D ．－74．x 增加6倍后，比它扩大到8倍少4，则列得的方程是（ ）A ．487-=x xB ．487+=x xC ．486-=x xD ．486+=x x9．有一批画册，如果3人一本，还剩2本，如果2人一本，还有9人没有分到，设人数为x ，则可以列出方程为（ ）A ．2923-=+x xB ．2923-=-x x C ．9223-=+x x D ．2923+=-x x参考答案：1． C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．A 8．A 9．A一元一次方程的解答题1．列方程：（1）小明在超市购买4瓶酸奶和3瓶鲜奶，共花去9.6元．酸奶的标价是每瓶1.5元，则鲜奶每瓶多少元？（2）校图书馆的图书被学生借出25％后，还剩15万册，则学校图书馆共有图书多少册？（3）校足球场的周长为310米，长与宽的差是25米，这个足球场的长是多少米？（4）甲、乙两名同学练习百米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？（5）小伟今年14岁，爷爷60岁，多少年后小伟的年龄是爷爷年龄的31 2．我们赖以生存的地球是一个蓝色的星球，因为在地球上，海洋的面积是陆地面积的2.4倍，而地球的表面积约为5.1亿平方米，你能求出地球上海洋的总面积吗？3．足球的表面是由一些黑色的正五边形和白色的正六边形皮块组成，黑、白皮块的数目之比是3：5．一个足球的表面有32个皮块．请问，黑色皮块有多少块？4．商店里为了不积压夏装，在秋天往往都会打折销售．有一款裙装打8折出售，结果便宜了32元钱，你知道这套裙装原来的售价吗？5．由算术到代数是数学史上的一次伟大的进步．现在我们可以用含字母的式子，表示实际问题中的数量关系．如果已知一个含有字母的式子，你能用实际问题加以解释吗？例如：3a 可以解释为：苹果每公斤a 元，买3公斤共需3a 元；等边三角形的边长是a ，则此三角形的周长是3a ；等等．请你尝试用生活中的实际问题来解释25+a ．6．根据题意设未知数并列出方程（不必求解）（1）矩形周长是16 cm ，长比宽多2cm ，则这个矩形的长是多少？（2）A 、B 两地相距50 km ，甲、乙两人分别从A 、B 两地出发，相向而行，甲每小时比乙多行2 km ，若两人同时出发，经过3 h 相遇，则甲、乙的速度分别为多少？（3）某校社会实践活动小组，调查了高峰时段的某市的二环路、三环路、四环路的车流量：二环路车流量为每小时10 000辆，四环路比三环路车流量每小时多2000辆，三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍．则三环路，四环路的车流量各是多少？参考答案1．（1）设鲜奶每瓶x 元，则6.9345.1=+⨯x ；（2）设学校图书馆共有藏书x 万册，则15%25=-x x ；（3）设长是x 米，则310)25(22=-+x x ；（4）设甲经过x 秒可以追上乙，则x x 5.65.67+=；（5）设x 年后小伟的年龄是爷爷年龄的31，则)60(3114x x +=+． 2．设陆地面积x 亿平方米，则1.54.2=+x x ．3．设黑皮块有x 个，则3235=+x x ． 4．设原价x 元，则32%80-=x x ． 5．略6．（1）解法一：设宽为x cm ，则长为)2(+x cm ，根据题意，得16)2(22=++x x 解法二：设长为x cm ，则宽为)2(-x cm ，根据题意，得16)2(22=-+x x（2）解法一：设甲的速度为x km/h ，则乙的速度为)2(-x km/h ，根据题意，得50)2(33=-+x x解法二：设乙的速度为x km/h ，则甲的速度为)2(+x km/h ，根据题意得50)2(33=++x x（3）解法一：设三环路的车流量为每小时x 辆，则四环路的车流量为每小时)2000(+x 辆，根据题意得100002)2000(3⨯=+-x x解法二：设四环路的车流量为每小时x 辆，则三环路的车流量为每小时)2000(-x 辆，根据题意得100002)2000(3⨯=--x x ．。