级数的收敛性
Snkn2ln1k12
[3 l n l1 n 2 l2 n ] [4 l n l2 n 2 l3 n ][ln5
ln 32ln 4] [ n 1 l ) l n n n 1 ) 2 l ( n ] ( n
ln2ln n 1 () lnln1 (1 n)ln2
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “拆项相消” 求 和
12
(2) n1n(n11).
解 S n1 1 22 1 33 1 4 n(n 1 1 )
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1nn11
lim Snln2,故原级数收敛 , 其和为 ln2.
n
14
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 u n 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n 1
n 1
乘以常数 c 所得级数 c u n 也收敛 , 其和为 c S .
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 .
10
例2:判断下列级数的敛散性
1.
1 n1 n1 3n1
解:原式= n 1
( 1)n1 3
n0
( 1)n此为等比级数,公比 3
(2 )n 1 n (n 1 1 ).
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l 1 l ) ( n 3 n l 2 l ) n n l n 1 ) n l n n
lnn(1) (n ) 技巧:
1 1 1 (n ) n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
13
例4. 解:
判别级数
ln1
n2
1 n2
的敛散性
.
ln1n12
ln
n2 1 n2
ln n 1 ) ( ln n 1 ) ( 2 ln n
寄
语
孝、悌、忠、信 礼、义、廉、耻
衡量人生的尺度
1
第十二章 数项级数
本章内容: 第一节、级数的收敛性
第二节、正项级数 第三节、一般项级数
2
第十二章 数项级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
3
第一节 级数的收敛性
第十二章
一、级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 四、柯西审敛原理
1
84 2
此是公比为q=
1 2
的等比数列
1. Sn 1 221221321n
2 22 23
1 2
1
1 2
n
1 1
2 n
1
1 2
n
2.
Slim n
Sn
lim
n
[1
1 2
n
]
1
2
6
定义: 给定一个数列u 1 ,u 2 ,u 3 , ,u n , 将各项依
k 1
称为级数的部分和. 若limSnS存,在 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作 S un
n1
若limSn不存,在 则称级数发散 .
7
n
部分和 数列Sn
S1 u1,
S2u1u2,
S n u 1 u 2 u 3 u n
当q1时,由于 limqn,从而 limSn,
n
n
因此级数发散 .
9
2). 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为 a a a a ( 1 ) n 1 a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
次相加, 简记为 u n , 即
n 1
u n u 1 u 2 u 3 u n 1
n 1
称上式为无穷级数,其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项
(通项). 级数的前 n 项和
n
Sn uk u 1 u 2 u 3 u n
q
1 3
1 1 3
该级数收敛。
2.
4n n1 3n1
解:原式=4
n1
4n1 3n1
4
n0
4 3
n
此为等比级数,公比
q 4 1 该级数发散。
3
11
例3. 判别下列级数的敛散性:
(1 )n 1 ln n n 1;
解: (1)
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q1, 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1a
(1 1
q q
n
)
当q 1时, 由于 limqn0,从而
n
因此级数收敛 , 其和为 S a ;
limSn
n
1aq
1 q
即
A a 0 a 1 a 2 a n
5
引例2:一尺之棒,第一次去其一半,第二次再去所余
之半,如此分割下去问: 1、分割 n 次共去棒长多少? 2、无限分割下去,共去棒长多少?
a1 1qn 1q
解:
把所去之半排列起来:
01 1 1
1 11 1
级数 u n 是否收敛即 nlimSn 是否存在.
n 1
当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然 limrn 0
n
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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
4
一、级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 3 2 n(n 0 ,1 ,2 , )边形, 设 a0 表示
内接正三角形面积, an 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 32n 边形面积为
a 0 a1 a2 an n时,这个和逼近于圆的面积 A .