复习专题：立体几何 空间几何体的体积1.了解球、棱柱、棱锥、台体积的计算公式2. 会求一些简单的组合体、不规则几何体的体积例题1 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为（ ）A. 3B.32C. 1D.答案：C解析：如题图，因为△ABC 是正三角形， 且D 为BC 中点，则AD ⊥BC 。

又因为BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故BB 1⊥AD ，且BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1，所以AD 是三棱锥A －B 1DC 1的高。

所以11A B DC V 三棱锥－＝131B BC s △·AD ＝131 总结提升：求规则几何体的体积，关键在求底面积和体高，然后代公式求解即可。

斜棱柱要注意体高和斜高的区别。

例题2 如图所示，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱和底面边长都是a ，截面AB 1C 和A 1BC 1相交于DE ，求三棱锥B-B 1DE 的体积。

解：∵V 三棱锥B-B1DE =V 三棱锥B1-BDE ，又在ΔA 1BC 1中，D ，E 分别是A 1B ，BC 1的中点，∴111//,2DE AC 11111114B BDE BDE A BC B A BC V S V S -∆∆-∴==三棱锥三棱锥。

又111111231,3B A BC B A B C V V a --==⋅=三棱锥三棱锥13,B BDE V -∴=三棱锥即1348B B DEV a -=三棱锥。

总结提升：三棱锥是最简单的几何体，它的每一个顶点均可作为该三棱锥的顶点，每一个面均可作为棱锥的底面，因此要多角度观察图形，适当进行等积变换，可简化求解过程。

例题3 如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5. 求此几何体的体积。

解法1： 如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥。

则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥。

由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72。

四棱锥D －MNEF 的体积为V 2＝13×S 梯形MNEF ×DN ＝13×12×（1＋2）×6×8＝24， 则几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.解法2：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96。

总结提升：常用的求几何体体积的方法 （1）公式法：直接代入公式求解。

（2）等积法：例如，四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可。

（3）补形法：对几何体补成易求体积的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等。

（4）分割法：将几何体分割成易求出体积的几部分，分别求体积。

1. 求组合体的体积，要根据相应情况把它分解成柱、锥、台体等后分别求体积，然后求代数和。

2. 不规则几何体常通过分割或补形转化为规则几何体来求面积或体积。

（答题时间：30分钟）一、选择题1. 已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A. 22πB. 2πC.22π D.23π2. 设正六棱锥的底面边长为1 ）A. B.C. D. 23. 已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（ ）.A. 14πB.143πC.D.二、填空题4. 如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水。

若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr＝________。

5. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________。

1. 答案：A解析：底面圆周长22l r ππ==，1r =，2S r ππ==所以222V Sh πππ==⨯= 故选：A 2. 答案：B解析：由底面边长为12h ==。

又因为底面积162S =⨯=所以正六棱锥体积11233V Sh === 故选B 。

3. 答案：C解析：依题意知圆台上底面半径为1r =，下底面半径为2R =，12)6S l ππ=+=圆台侧（，解得l =2。

所以高h =圆台的体积221()3V h r rR R π=++= 故选C 。

4. 答案：3解析：由水面高度升高r ，得圆柱体积增加了πR 2r ，恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有43πr 3＝πR 2r 。

故R r ＝23。

5. 答案：12解析：设六棱锥的高为h ，则V ＝13Sh ，所以13×4×6h ＝，解得h ＝1。

设六棱锥的斜高为h ′，则h 22＝h ′2，故h ′＝2。

所以该六棱锥的侧面积为1622122⨯⨯⨯=。

球的内切、外接问题核心知识点一：球与长方体、正方体组合问题1. 正方体的内切球与外接球：设正方体的棱长为a ，求：（1）内切球半径；（2）外接球半径。

解：（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =； （2）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面AC 1作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。

2. 长方体的外接球设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，其外接球的半径为R ，如图，则OM G F E HB 1C 1D 1A 1DCBA核心知识点二：棱锥的内切、外接球问题正四面体的外接球和内切球的半径是多少？解：如图所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a 。

由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心。

设内切球半径为r ，外接球半径为R 。

在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 又3a =解得a R 46=，r =。

总结提升：由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h （h 为正四面体的高），且外接球的半径43h，从而可以通过截面图中OBE Rt ∆建立棱长与半径之间的关系。

FE O OFBAD CBA例题1 长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为2a ，a ，a ，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（ ）A. 3πa 2B. 6πa 2C. 12πa 2D. 24πa 2答案：B解析：长方体的体对角线长为球的直径，而长方体的体对角线长为：2l R ===，所以这个球的表面积为2246R a ππ=。

例题2 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，，则其外接球的体积是____。

答案：92π解析：因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，联想到正方体同一顶点处的三条侧棱，构造正方体，如图所示，设AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥BD ，且。

则该正方体的体对角线长22229l ++=，而l =2R ，所以4R 2=9，所以32R =，所以其外接球的体积为3442793382R πππ=⨯=。

总结提升：关于几何体的外接球问题，解决问题的关键是确定球心的位置。

构造法是解决几何体的外接球的常用技巧。

例题3 如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则12V V 的值是________。

DCB A答案：32解析：设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R 。

213223423V R R V R ππ⋅∴==。

球与几何体的内切、外接问题是高考的热点问题之一，此类问题综合性较强，求解时需要较强的空间想象能力。

解决此类题目应注意以下两点：（1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上。

解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解。

（2）解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映几何体与球的位置关系和数量关系。

（答题时间：30分钟）一、选择题1. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. 12π B . 332π C . 8π D . 4π二、填空题2. 已知P ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四点，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ==，且三棱锥P ABC 的体积为43，则球O 的表面积为______。

3. 三棱锥P -ABC 中，P A ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，P A =AB =2，AC =4，三棱锥P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积为 。

三、解答题4. 正四棱锥S-ABCD ，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，求此球的体积。

1. 答案：A解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝（2R ）2π＝12π，故选A 。

2. 答案：12π 解析：三棱锥的体积为2114323V PA PA =⨯⨯⨯=，故2PA =， 因为PA ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ==，故可把三棱锥补成正方体， 该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，又体对角线的长度为(212S ππ=⨯=。

填12π。

3.答案：解析：因为PA ⊥面ABC ，AB AC ABC ⊂，面，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，构造如图所示长方体，则该长方体同一个顶点处的三条棱长分别为2，2，4，则该长方体的体对角线2l R ==，所以R =，所以球O的体积为334433R ππ=⨯=。

4. 解：设正四棱锥的底面中心为O 1，外接球的球心为O ，如图所示，由球的截面的性质，可得OO 1⊥平面ABCD 。

又SO 1⊥平面ABCD ，∴球心O 必在SO 1所在的直线上。

∴△ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径。

在△ASC 中，由SA =SC，AC =2，得SA 2+SC 2=AC 2。

∴△ASC 是以AC 为斜边的直角三角形。

∴2AC =1是外接圆的半径，也是外接球的半径。

故4=3V π球。