静电场中的导体与电介质作业
1．题号：40743001 分值：10分
如图下所示，一半径为1R 的无限长导体，单位长度带电量为λ，外有一半径为2R ，
单位长度带电量为λ-的圆筒形导体，两导体同轴，内外圆柱面间充满相对电容率为
r ε的均匀电介质。

求：（1）该导体系统内外的电场分布；（2）两导体轴心处的电势（设
外圆筒面外任意一点P 的电势为零，P 点与中心轴的距离为P R ）；（3）电介质中的极化强度；（4）画出r E -曲线。

2．题号：40743002 分值：10分
半径为1R 的金属球带电荷量Q +，外罩一半径为2R 的同心金属球壳，球壳带电量
Q +，厚度不计，内外两球面间充满相对电容率为r ε的均匀电介
质。

求：（1）该球面系统内外的电场分布；（2）球心处的电势；（3）电介质中的极化强度；（4）画出r E -曲线。

3．题号：40743003 分值：10分
一个半径为R 电容率为ε的均匀电介质球的中心放有点电荷q ，求(1)电介质球内、外电位移的分布；(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)球体表面极化电荷的密度。

4．题号：40743004
分值：10分
如图所示，带电量为Q 、半径为0R 的金属球置于介电常量为ε，半径为R 的均匀介质球内。

求（1）介质层内、
外的D 、E
的分布；（2）介质层内、外表面上的束缚电荷面密度。

5．题号：40843012 分值：10分
如下图所示，真空中的球形电容器的内、外球面的半径分别为1R 和2R ，所带电荷量为Q ±。

求：（1）该系统各区间的场强分布；（2）该系统各区间的电势分布；（3）该系统的电容。

6．题号：40842020 分值：10分
（1）．一电荷面密度为σ “无限大”均匀带电平面，若以该平面处为电势零点，试求带电平面
x ＞0 空间的电势分布。

（2）．如图所示，真空中的球形电容器的内、外半径分别为1R 和2R ，所带电荷量为Q ±。

求该电容器的电容。

静电场中的导体与电介质作业解答
1．题号：40743001 分值：10分 解答及评分标准：
（1）由高斯定理得出电场分布：0
2032
022
1
11
=>=
<<=<E R r r
E R r R E R r r επελ
（3分）
方向均沿径矢方向。

（1分）
（2）设外圆筒面外任意一点P 的电势为零，P 点与中心轴的距离为P R ，如图所示，则轴心处的电势为：（2分）
1
2
0003210ln 21
2
1
2
R R l d E l d E l d E l d E V P
P
R R R R R R r ⎰⎰⎰⎰=
⋅+⋅+⋅=⋅=επελ
（3）电介质中的极化强度为：
)(21
)1(2120R r R r
E P r r r <<-=-=λ
πεεεε（2分）
方向与电场强度同向。

（1分） （4）r E -曲线：（1分）
2．题号：40743002
分值：10分
解：（1）根据高斯定理，可得出整个系统的电场分布：
2
032
2
022*******r Q
E R r r Q E R r R E R r r πεεπε=
>=
<<=<（3分）
方向沿径矢方向。

（1分）
（2）球心处的电势：（2分） 2
0210
003210
1
42)11(
41
21
2
R Q R R Q l d E l d E l d E l d E V R R R R r
πεεπε+
-=
⋅+⋅+⋅=⋅=
⎰⎰⎰⎰∞
∞
（3）极化强度：2
2041)1(r
Q
E P r r r πεεεε-=
-=（2分） 方向与电场强度方向一相同。

（1分）
（4）r E -曲线：（1分）
3．题号：40743003
分值：10分
解：（1）由高斯定理 ⎰
=⋅S
q S d D
得
R r < 2
4r q D π=
R r > 2
4r
q D π= （2）由 E E D r
εεε==0 得
电场强度的分布 R r < 2
4r
q E πε=
R r > 2
04r q E πε=
由 ⎰∞
⋅=r l d E V
得
电势的分布 R r < )1
1(440R r q R q V -+=
πεεπ
R r > r
q V 04πε=
（3）球体表面极化电荷的密度： ε
πεε2
0)(0r 4)()1'R q
E εεP σR -=-==（
4．题号：40743004 分值：10分 解答及评分标准：
根据对称问题的性，D
的分布具有球对称性， 在介质层中取一半径为r 的高斯面。

⎰
=⋅s
r D S d D 2
4π ⎰=⋅s Q S d D
（2分）
求得介质内的电位移为：
2
14r
Q
D π=
)(0R r R <<（2分） 介质外的电位移为：
2
24r Q
D π=
)(R r >（2分） 根据E D ε=，得
2
14r Q
E πε=
)(0R r R <<（2 分） 2
24r
Q
E πε= )(R r >（2分）
5．题号：40843012 分值：10分
解答与评分标准：
（1）由高斯定理得电场分布：0
40
32
2
022
111=>=
<<=<E R r r
Q E R r R E R r πε （4分）
（2）电势分布：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞=⋅=>-=⋅+⋅=⋅=<<-=⋅+⋅+⋅=⋅=<r
r R r R r R r R R R l d E U R r R r Q l d E l d E l d E U R r R R R Q l d E l d E l d E l d E U R r 0
)
1
1(4)
1
1(4322
02212
101122
1212
πεπε（4分） （3）两极板间的电势差：)1
1(42
1021
R R Q l d E U R R -=⋅=⎰πε （1分） 电容：1
22
104R R R R U Q C -==
πε （1分）
6．题号：40842020 分值：10分
（1）．解答及评分标准：
2εσ
=
E （2分）
x dx l d E V p
a
x 0
0022εσ
εσ-==⋅=⎰⎰ （3分）
（2）．解答及评分标准：
由高斯定理得电场分布：
40
32
2
022111=>=
<<=<E R r r Q E R r R E R r πε（2分）
两极板间的电势差：)11(42
102
1
R R Q l d E U R R -=⋅=
⎰
πε （2分）
电容：1
22
104R R R R U Q C -==
πε（1分）。