（1）SZ的矩阵形式
选Sz作为力学量完全集，即取Sz表象，那在自身表象中的表 示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值
相应的本征矢
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第11页
在Sz表象中Sx,Sy的矩阵表示
矩阵元：只要将Sx,Sy作用于 Sz的基矢并以Sz基矢展开，从 展开系数来获得
[Sz, S+]=ℏS+, S±=Sx±iSy
SzS+|S, ms> = S+(Sz+ℏ) |S, ms> =(ms+1) ℏ S+ |S, ms>
Sˆ S, ms S, ms 1
Sˆ S, ms A S, ms 1
S+|S,ms>和S+|S,ms> 标积
Sˆ S, ms
S, ms
Sˆ
( x, y, z, Sz , t)
由于 SZ 只取 ±ℏ/2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
写成列矩阵
若已知电子处于Sz = ℏ/2或Sz = -ℏ/2的自旋态，则波函数 可分别写为：
旋量波函数
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自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
Bohr 磁子
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回转磁比率
（1）电子回转磁比率
（2）轨道回转磁比率
S z e
Sz
mec
轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
则，轨道回转磁比率为：
e 2mec
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
以e/2mec单位，则gs=2（而gl=1）.
第九章 自旋
教学内容
§1 电子自旋态与自旋算符 §2 总角动量的本征态 §3 碱金属原子光谱双线结构、反常Zeeman效应 §4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态
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§1 电子自旋态与自旋算符
电子自旋存在的实验事实
在讨论电子在磁场中的运动时，发现电子具有轨道磁矩
电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。
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自旋算符
已知通常的力学量都可以表示为坐标 和动量的函数
F = F(r, p)
由于电子具有自旋，实验发现，它 也具有内禀磁矩
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
与其他力学量一样，自旋角动量 也是用 一个算符描写，记为
假设：自旋算符S有三个分量，并满 足角动量所具有的对易关系
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对比轨道角动量的关系:
[Lˆi , Lˆ j ] i ijk Lˆk
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由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±ℏ/2 两个值 所以Sx,Sy,Sz的本征值都是±ℏ/2 2iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z 2iˆ y
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是±ℏ/2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1；
σx2,σy2,σZ2 的本征值都是1。
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对于 S 在 n(θ,φ) 方向上的分量为
Sˆn sin cosSˆx sin sinSˆy cos Sˆz
则本征矢
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Pauli算符
分量
(I) Pauli 算符的引进
形式
分量形式：
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆ x
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Stern-Gerlach实验（1922年）
（1）实验描述 S 态的银原子束流，经非均匀磁场发 生偏转，在感光板上呈现两条分立线 。 （2）结论: I.银原子有磁矩.因在非均匀磁场中 发生偏转; II.银原子磁矩只有两种取向,即空间 量子化的.
如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为
如磁场方向在z方向
显然ΔV是量子化的，它取(2l+1)个值.在较强的磁场(105Gs），发现一些类氢 离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好地解 释它。 但是，当这些原子或离子置入弱磁场的环境中，或光谱分辨率提高后，发现 问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
S, ms
Sˆ
S, ms SˆSˆ S, ms A2
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S2 = Sx2+Sy2+Sz2 =S(S+1)ℏ2 [Sx, Sy]=iℏSz
同理可得
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第9章 自旋@ Quantum Mechanics
（3）讨论 当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如 果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具 有磁矩，那在磁场中的附加能量为
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Z
N
S
处于 S 态的 原子
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Fang Jun
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S2算符的本征值是S2 = Sx2+Sy2+Sz2 =3/4ℏ2 仿照l2=1(l+1) ℏ2
S2=s(s+1) ℏ2 = 3/4ℏ2 , s=1/2
自旋量子数 s 只有一个数值
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
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含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的 波函数需写为：
Fang Jun
电子自旋假定
根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck（乌伦贝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）1925年根据上述现象提出了电子自旋假 设 （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只 能取两个数值：
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：