缩平移得到的
j k
x
2jxk
kj
x
,
j k
x
构成Vj+1的正交基。
x和 x 满足下列关系式(二尺度方程)：
x 2ln2x n nZ
x 2 hn2x n nZ
其中ln称为低通滤波器，hn称为高通滤波器。
且hn＝1nl1 n
信号的多尺度分解：
J
f
x
cn0
x
n
ckJ
kJ
x
d
kj
J k
j0
jmodM ,
y
x 0,1,, M 1; y 0,1,, N 1 2ILຫໍສະໝຸດ x,y 1 Nl
Nl 1
liIL x,2x imod N
i0
I LH
x,
y
1 Nh
Nh 1
h
j0
jIL x, 2x
jmod N
I HL x,
y
1 Nl
Nl 1
liIH x,2x imod N
i0
1.1 一维小波变换（一维多尺度分析）
设有L2(R )空间的子空间序列：
V0 V1 V2
Vj 的正交基函数是由一个称为尺度函数的函数(x)经伸缩
平移得到的
kj x 2 j x k
设Wj 是Vj 相对于Vj+1的正交补空间， (t) (2t) (2t 1)
Wj 的正交基函数是由一个称为小波函数的函数(x)经伸
IHH x,
y
1 Nh
Nh 1
h jIH
j0
x, 2 x
jmod N
x 0,1,, M 1; y 0,1,, N 1
2
2
对逼近子图重复此过程，直到确定的分解水平，下 图是二层小波分解的示意图。
图6 图像多尺度分解，(a)一层分解，(b)二层分解
图像的小波特征提取首先对输入图像做J层二维
伸缩
X[0,1/ 4) (t) X[0,1) (22t)
引入记号： (t) X[0,1) (t)
定义：
j,k (t) (2 j t k)
k 0,1,,2 j 1
可得： 0,0 (t)
1,0
(2t )
1 0
0 t 1/ 2
其它
1,1
(2t
1)
1 0
1/ 2 t 1
其它
f (t) x12,0 (t) x22,1(t) x32,2 (t) x42,3(t)
f (t) x1X[0,1/ 4) (t) x2 X[1/ 4,1/ 2) (t) x3 X[1/ 2,3 / 4) (t) x4 X[3 / 4,1) (t)
平移 X[1/ 4,1/ 2) (t) X[0,1/ 4) (t 1/ 4) X[1/ 2,3 / 4) (t) X[0,1/ 4) (t 1/ 2) X[3 / 4,1) (t) X[0,1/ 4) (t 3 / 4)
小波分解；
因为小波变换具有很好的时频局部化特性，所 以可以将图像的不同底层特征变换为不同的小波系 数；
输入图像经过经一层小波分解后，被分成4个子 图：
➢ LL1—逼近子图，它代表输入图像水平和垂直
两个方向的低频成分；
➢ HL1—细节子图，它代表输入图像水平方向的
高频成分和垂直方向的低频成分；
➢ LH1—细节子图，它代表输入图像水平方向的
平均与细节
{x1，x2，x3，x4}－最高分辨率信息 {a1,0,a1,1}－次高分辨率低频信息 {d1,0,d1,1}－次高分辨率细节信息 {a0,0}－最低分辨率低频信息 {d0,0}－最低分辨率细节信息
{x1，x2，x3，x4}的小波变换{a0,0,d0,0,d1,0,d1,1}由整体 平均和两个不同分辨率的细节信息构成
LL x, y xy; LH x, y x y; HLx, y xy; HH x, y x y
图像的二维小波变换包括沿行向(水平方向)和列向(垂直 方向)滤波和2-下采样，如图所示：
图5 图像滤波采样
说明：如图所示，首先对原图像I(x,y)沿行向(水平 方向)进行滤波和2->1下采样，得到系数矩阵IL(x,y) 和IH(x,y)，然后再对IL(x,y)和IH(x,y)分别沿列向(垂 直方向)滤波和2->1下采样，最后得到一层小波分 解的4个子图：
I4(x,y) [8 8]
I4H(x,y) [8 8]
I4V(x,y) [8 8]
图7 图像I(x,y)的多尺度分解
I4D(x,y) [8 8]
小波基的选取一般考虑下列因素：
线性相位：如果小波具有线性相位或至少具有广义线性 相位，则可以避免小波分解和重构时的图像失真，尤其是 图像在边缘处的失真；
ILL (x,y)—I(x,y)的（粗）逼近子图 IHL(x,y) — I(x,y)的水平方向细节子图 ILH (x,y) — I(x,y)的垂直方向细节子图 IHH (x,y) — I(x,y)的对角线方向细节子图
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表示大小为M N的原始图像，l(i)表示相对于分析
I(x,y) [128 128]
I1(x,y) [64 64] I1H(x,y) [64 64] I1V(x,y) [64 64] I1D(x,y) [64 64]
I2(x,y) [32 32] I2H(x,y) [32 32] I2V(x,y) [32 32] I2D(x,y) [32 32]
I3(x,y) [16 16] I3H(x,y) [16 16] I3V(x,y) [16 16] I3D(x,y) [16 16]
a1,1 (x3 x4 ) / 2
d1,1 (x3 x4 ) / 2
信号可以表示为：{a1,0,a1,1,d1,0,d1,1}
丢失细节信号压缩为： {a1,0,a1,1}
a0,0 (a1,0 a1,1 ) / 2
d 0,0 (a1,0 a1,1 ) / 2
信号可进一步表示为：{a0,0, d0,0} 丢失细节信号压缩为： {a0,0} a0,0 (x1 x2 x3 x4 ) / 4
x1 a d
x2 a -d
当x1与x2非常接近时，一维信号{x1，x2}可近似的用{a}表 示，可实现信号压缩。
a可以看成信号的整体信息
d可看成原信号用a表示时丢失的细节信息
平均与细节
对多元素信号{x1，x2，x3，x4}
a1,0 (x1 x2 ) / 2
d1,0 (x1 x2 ) / 2
小波的低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表示滤波器L的 支撑长度； h(i)表示相对于分析小波的高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表示滤波器H的支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
Nl 1
liI 2x imodM ,
i0
y
I H
x,
y
1 Nh
Nh 1
h jI 2x
函数可以由一个尺度函数的伸缩与平移的线性组合表示
同理，对小波变换
1
(t) X[0,1/ 2) (t) X[1/ 2,1) (t) 1
0
伸缩和平移
0 t 1/ 2
1/ 2 t 1
其它
序列的多分辨率表示：
f (t) a0,0 0,0 (t) d0,0 0,0 (t) d1,01,0 (t) d1,11,1(t)
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8
1/2Ψ（2t-t0）
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2 0
-0. 2 -0. 4
2/3Ψ（4t-t1）
-0. 6
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
像Ψ(t)这样，有限长且均值为0的函数称为小波函数。 常用的小波函数如下图：
1. 小波变换
➢ 小波变换既有频率分析的性质，又能表示发生 的时间，有利于分析确定时间发生的现象，傅立 叶变换只具有频率分析的性质。
➢小波变换的多分辨率的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图像压缩、边缘抽取、噪声过 滤）。 ➢ 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。 ➢小波变换速度比傅立叶快一个数量级，长度为M 的信号，计算复杂度：
x
nZ
k
j1 k
ckj
称为尺度系
数，d
j k
称为
小波系数，它们的计算：
ckj
d
j k
nZ nZ
ckj
1l
n
2k
d
j k
1hn
2k
一维MALLAT算法
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
傅立叶变换： Of M log 2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F( j)e jtd
2
=
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6