第二章 静电场习题2.1真空中有一密度为2πnC/m 的无限长电荷沿y 轴放置，另有密度分别为0.1nC/m 2和-0.1nC/m 2的无限大带电平面分别位于z =3m 和z =-4m 处。
求点P （1,7,2）的电场强度E。
z=-4xyz z=3τO图2.1题意分析： 题目中给出了3个不同类型电荷的位置与大小，计算空间中一点的电场强度E。
可以先分别计算每个电荷在场点产生的电场强度，然后采用叠加原理得出总的场强。
考虑平面电荷与直线电荷的电场共同产生电场，选用用直角坐标系进行计算比较合适，如图2.1所示，对圆柱坐标系中计算出的直线电荷电场，需要转换成直角坐标下的形式，再进行矢量叠加求总电场。
解：（1）计算无限大平板在P 点产生的电场强度在计算无限大平板在P 点产生的电场强度时，建立图2.1所示的直角坐标系，则位于z =3m 处的无穷大带电平板在P 点产生的电场强度1σE为：Ze E 021.01εσ-= （1）位于z =-4m 的无穷大带电平板在P 点产生的电场强度为：Ze E 021.02εσ-= （2）因此，2个无穷大带电板在P点产生的合成场强1E为：Ze E11.0ε-=（3）（2）计算无穷长直电荷产生的电场强度对于圆柱坐标系中位于z 轴上的长直电荷产生的电场强度至于场点的ρ坐标有关，其电场强度的表达式为：ρρπετe E02-=z=-4xyz z=3τO z'ρO'图2.2因此图2.2中所示在沿y 轴放置的无穷长线电荷产生的电场2E 为：ρρπετe E022-= 式中22x z ρ=+z x e zx z e zx x e 2222+++=ρ∴()z x z x e z e x zx e z x ze z x x z x E++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=2202222220211122επεπ所以，P 点(1,7,2)的电场强度E为:()m V e e e e e E E E Z x Z x Z /88.3359.2225111.00021+=++-=+=εε习题2.2如题图2.3所示球形电容器中，对半地填充有介电常数分别为1ε和2ε两种均匀介质，两介质交界面是以球心为中心的圆环面。
在内、外导体间施加电压U 时，试求： （1）采用边值问题计算电容器中的电位函数和电场强度； （2）内导体两部分表面上的自由电荷密度。
1R U2R 1ε2ε1R图2.3题意分析：题目中要求采用边值问题计算电容器的电位函数与电场强度，需要确定坐标系类型。
分析该球形电容器中电场分布，在同种介质中电场具有球对称性，选用球坐标系，原点位于内导体球心。
解：（1）计算电容器中电场强度与电位函数建立球坐标系，原点位于球心。
在均匀介质1和介质2中，电位分别满足拉普拉斯方程，并且边界面条件相同，所以可判断两个区域的电位函数相同，有1220r R r R U ϕϕϕ==⎧∇=⎪=⎨⎪=⎩（1）在球坐标系中有22222222111()(sin )0sin sin rr rrr r ϕϕϕφθθθθθϕ∂∂∂∂∂∇=++=∂∂∂∂∂ （2）在两种介质中，ϕ都与θ、ϕ无关，所以2221()0rrrrϕϕ∂∂∇==∂∂ （3）式（3）的通解为12C C rϕ=-+ （4）有边界条件解得： 12112R R U C R R =-2212R U C R R =-所以1221211U R R R R r R ϕ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭122211r U R R e R R rE ϕ=-∇=-（2）内导体两部分表面上的自由电荷密度 两种介质中的电位移矢量分别为111D Eε'=， 222E D ε=' （5）根据分界面条件()21ne D D σ∙=-（6）对于本题，设媒质2为介质，媒质1为导体，因此有10D =，2n D e σ∙=则内导体两部分表面上的自由电荷密度为：112•11211()R n U R e R R R E εσε==-122•22211()R n U R e R R R E εσε==-习题2.3图2.3所示为一半径a ，带电量q 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，两种介质的介电常数分别为ε1和ε2，分界面可视为无限大平面。
1ε2εaO图2.4试求：（1）两种介质中的电场强度E和电位函数ϕ；（2）球的电容C ； （3）总静电能量W e 。
题意分析：给出带电导体球的电量，不同介电常数的2种介质，要求计算电场、电位、电容、静电能量。
导体球在2种介质中的电场分别呈现球对称性分布，可以用高斯定理方便地求解电场的分布。
2种介质之间电场以介质分界面条件相联系。
因此本题可以首先根据高斯定理计算出导体球所产生的电场，根据电场的积分进而可以计算出电位分布，从而计算出电容与电场。
解：导体球在无限大的介质中产生的电场具有球对称性，选取球坐标系，如图2.5所示，虚线所示为所选高斯面，用于计算两种介质中的电场。
1ε2εaOr图2.5（1）计算介质内电场 在图2.5中根据高斯定理，qS d D S=⋅⎰qD r D r S d D S=+=⋅⎰221222ππ 在介质的分界面上，电场只有切向方向分量，没有法向方向分量，根据介质分界面条件可以得，12E E E ==221222r E r E q πεπε∴+= ()122122r q E E e rπεε∴==+（2）计算电位根据电位的定义可以得()()2121222r r rrq q E dl e dre rr ϕπεεπεε∞∞=⋅=⋅=++⎰⎰（3）电容由已知电量导体球，其周围空间电位分布已知，按定义式可计算其电容()122q C a Uπεε==+（4）静电能量已知电量、电位、电容可以采用下式计算静电能量()222122e qqW qU C UCa πεε====+习题2.4半径为a 的导体球，被内半径为b （b >a ）、外半径为c (c >b )的同心导体球壳所包围，两导体间填充介质，其介电系数为ε（常数），外球壳之外为空气。
设外导体带有电荷Q ，内球接地（假定大地在无限远处）。
Oa cεb a ε0Q图2.6试求：（1）内球上应有的电荷； （2）两个介质区间中的电位与电场强度； （3）求静电独立系统的能量； （4）系统等值电容。
题意分析：本题是一个典型的静电场中导体的静电感应问题，导体球位于静电场中，达到静电平衡后，导体球、外球壳与大地形成一个静电独立系统。
设内球上有电荷+q ，外球上有电荷Q ，则外球壳内表面有感应电荷-q ，外球壳外表面有电荷（Q ＋q ）。
内导体球接地，大地设在无穷远，二处电位同时都应为零，由此可以计算出电荷q ，得出内导体与外球壳间、外导体以外的电场与电位的分布。
进一步，导体球与球壳、大地组成的静电独立系统的能量、系统的等值电容可求。
解：根据导体球与球壳产生的电场的对称性，选取球坐标系，坐标原点位于球心。
做如图2.7中虚线所示的高斯面。
O a c S 1εba ε0Q+q+q -q1E2E S 2图2.7（1）导体球的电量设介质内电场强度为1E ，空气中电场强度为2E，在导体球壳内外做如图2.7中虚线所示的同心高斯球面S 1和S 2。
根据高斯定理可得， qr E S d E s =⋅=⋅⎰21141πεε （1） qQ r E S d E s +=⋅=⋅⎰2202042πεε（2）所以b r a e rq E r<<=214πε （3）c r e rQ q E r >+=224πε （4）选择大地为电位参考点，则导体球的电位为：041144422211=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞cQq b a q dr rQ q dr rqr d E r d E r d E cbacbaaa πεπεπεπεϕ（5）()0a b Qq c b a a bεεε-∴=-+， （6）（2）两个介质区间中的电位函数与电场强度 将（6）分别带入（3）与（4）中可以得出()()b r a e ab a bc r Qab E r<<+--=εεπεε0214 （7）()()()c r e ab a b c r Qa b c E r>+--=εεπεε02024 （8）根据电位的定义，可得()()()()()εεπεεεεπεεπεπεϕab a b c c Q a b c b a ab a b c ab drrQ q dr rq r d E r d E r d E cbrcbrrr +--+⎪⎭⎫⎝⎛-+--=++=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞000022211411444 （a ≤r ≤b ） （9）()()()02200()4cc b a Qr E dr r c b a ab εϕπεεε∞-=⋅=-+⎰（r ≥c ） （10）（3） 内、外导体与大地组成了静电独立系统，其能量为： ()()()2012001112228||e kk r ar cc b a QW q q Q c c b a ab εφφφπεεε==-==⋅+⋅=-+∑（4）系统的等值电容 ()()()200044442ec b a a b cQ Qab C c W Q qb a b aπεεπεπεπε-+====++--或1214b aqab C b aπεφφ==--20240c q QC cπεφ+==-12044ab C C C c b aπεπε=+=+-习题2.5已知板间距离为d ，电压为U 0的两平行电极，浸于介电常数与ε的液态介质中，如图2.8所示。
已知液体升高的高度为h ，电容器极板的宽度为H ，长度为L ，介质液体的质量密度为ρm 。
求：液体在空气与液体分界面上受到的电场力U 0dHhε，ρmU 0dHhε，ρmOz图2.8图2.9题意分析：题目要求计算液体受到的电场力，根据电场力的定义，首先需要计算出电场能量。
题目中给出的是两平行电极，形成一个平板电容，因此可以考虑采用212e W C U=计算其电场能量，然后计算液体所受到的电场力。
选用直角坐标系如图2.9所示。
解选取坐标系如图2.9所示。
液面的面积为S （d ⨯L ），电场强度为d U E x 0=则静电能量密度为22020e12121dU E w xεε==，2202e22121d U E w xεε==静电能量为()2200e 0221122e VU U W w dV z S H z S ddεε==+-⎰将两极板看作电容器，则电容为 ()0C a H za z ddεε-=+电容中储存的能量：()()22200e 002200022111C 2221122U U W U a z a H z ddU U zS H z Sddεεεε==+-=+-液体在空气与液体分界面上的受到的电场力为： ()()2200e 0021z22z u constU W U f S L ddεεεε=-∂==-=∂()200z 2U f Le dεε-=。