二次函数的基本性质
1、二次函数的解析式：（1）一般式： y=ax 2+bx+c （a ≠0），
（2）顶点式：y=a （x+m ）2+k （a ≠0），此时二次函数的顶点坐标为（－m ，k ）
（3）分解式：y=a （x-x 1）（x-x 2）其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线x=2
21x x +； 2、二次函数的图象与性质：
（1） 开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；当a<0时，函数开口方向向下；
（2） 对称轴：直线x=－b/2a ；
（3） 顶点坐标：（a b 2-，a
b a
c 442-）； （4） 增减性：当a>0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，
y 随着x 的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；
在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少；
（5） 最大或最小值：当a>0时，函数有最小值，并且当x=a
b 2-，y 最小值=a
b a
c 442-；当a<0时，函数有最大值，并且当x=a b 2-，y 最大值=a
b a
c 442
-； （6） 与X 轴的交点个数：当Δ=b 2-4ac>0时，函数与X 轴有两个不同的交点；
Δ=b 2-4ac <0时，函数与X 轴没有交点；Δ=b 2-4ac =0时；函数与X 轴只
有一个交点；
（7） 函数值的正、负性：如图1：当x ＜x 1或x ＞x 2时，y ＞ 0；
当x 1＜x ＜x 2时，y ＜0；
如图2：当x 1＜x ＜x 2时，y ＞0；
当x ＜x 1或x ＞x 2时，y ＜ 0；
（8） 二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴的交点坐标为A （x 1，0），B （x 2，0） ，
则二次函数与X 轴的交点之间的距离AB=()22121x x x x -=-=()212214x x x x -+
（9）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的符号判别：（1）a的符号判别
由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；（2）c的
符号判别由与Y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c＞0；若交点
在X轴的下方，则C＜0；（3）b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的
左侧，则a、b同号；若对称轴在Y 轴的右侧，则a、b异号；
（10）（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则Δ=b2-4ac=0；
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于
Y轴对称，则b=0；
（3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；
3、二次函数的解析式的求法：
（1）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交Y轴于点（0，2），且过点（-1，0）求这个二次函数的解析式；
（2）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；
（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；
（4）已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式；
（5）已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式；
（6）抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与X轴的一个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；（7）抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y最大值=4，求此抛物线的解析式；。