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弹性体振动问题之一：均匀细棒的纵振动
集总参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统只 有弹性，或者只有惯性（或阻尼）。
例如：第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是
‘集总(中）参数振动系统’。
分布参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统既
具有弹性又有惯性（或阻尼）。
本节研究的均匀细棒的纵振动中的均匀细棒就是‘分 布参数振动系统’



n a n cos( z ) cos( n t n ) L n 1

其中：a n 和 n由初条件确定。
( n 0项无意义，舍去）
分析： n 定义， n ( z , t ) an cos( z ) cos( nt n）；为两端 L 自由均匀细棒纵振动的 第n阶简正振动位移函数。 前2阶简正振动的振幅在棒 中的分布示意图：
[2]均匀细棒纵振动的比阻抗转移公式：
分析棒中波场的传播特性：棒为有限长，则由于端面 的反射，在棒中存在相向传播的平面波：
位移函数为：
（z , t ) Ae j (t kz) Be j (t kz) ;
Ae
j (t kz )
k ;
c0
ARe
j (t kz )
作业：理想流体 c，在z 0处有法线声阻抗率为 Zn的 界面；有谐合平面波沿 z坐标轴正向传播入射到 的界面 上。试求： （ 1 ）界面的声压反射系数 和振速反射系数； （2）波场在z处的波阻抗；
2-87、2-88、2-89（选）
2-91、2-96
sin(k z L ) 0 k z L n

n kz kn L
n 0,1,2,3...... k z n n k n c0 c0 L
又 k z
k z
c0
综上，可得： n n n ( z ,t ) A cos( z ){ C cos( c0 t ) D sin( c0 t )} L L L n 0
又 Tzz E zz (z ) 2 E 2； dt z z
2 2

d 又 小振幅条件下， 2 2 dt t
2 2

1 2 2 0; 2 z c0 t
稳态纵振动
方程和边界条件 2 ( z, t ) 1 2 ( z, t ) 2 0 2 2 z c t 0 ( z, t ) F0 cost ( z, t ) z 0 0; SE z z L
用‘分离变数法’ 求解，可得形式解：
2 2
其中：c
2 0
E

(!!)均匀细棒小振幅纵振动 的波动方程
思考题：为什么由均匀细棒纵振动的近似理论得到
的均匀细棒纵振动的波动方程与流体波动方程形式
一样。？
2）均匀细棒纵振动的波动方程的形式解：
2 ( z , t ) 1 2 ( z , t ) 2 0 2 2 z c0 t 用‘分离变数法’ 求解，可得：
z 0
; 则有：
z 0
c0 Z 2 jkE(1 R ) Z2 ； R j (1 R ) c0 Z 2
c0 ( 2 ) c0 E
k

棒中z处的比阻抗: ~ Tzz ( z , t ) jkEA(e j (t kz) Re j (t kz ) ) Z ( z, ) ~ u ( z, t ) jA(e j (t kz) Re j (t kz) ) ( Re jkz e jkz ) c0 jkz jkz ( Re e )
不同阶简正振动函数在 z [0, L]彼此正交；并且所有阶 简正振动函数构成正交 完备函数族。
正因如此，给定初条件 的位移分布函数和振速 分布函数， 利用简正振动函数在 z [0, L]的正交完备性，进行傅 立叶 级数展开可得形式解中 的an和 n值。 结论：自由振动时各阶 简正振动函数的幅值和 初相位， 决 定于初条件。
1 2n L n c0 2 2 1 2n n c0 ; 2L 位移共振频率 : 1 2n fn c0 4L n 0,1,2....


4o 均匀细棒纵振动的阻抗转移公式（电传输线类比） [1]细棒纵振动的比阻抗: (这里的比是类似的意思)
~ Tzz ( z ) 定义， Z ( z , ) ~ uz ( z ) 为细棒纵振动的比阻抗 。
用‘分离变数法’ 求解，可得形式解：
( z , t ) { A cos(k z z ) B sin(k z z )}{C cos( k t )
kz
z
D sin( k z t )} 其中：k z
k
c0
z
;
代入边界条件 ( z ,t ) 由： 0 z z 0
（3）只考虑 z 方向的应力分量；其它方向应力分
量可略。
1）均匀细棒小振幅纵振动的波动方程
细棒中取dz段，建立运动方程：
体元dz在z方向受力： Tzz ( z ) f S ( z dz)Tzz ( z dz) S ( z )Tzz ( z ) S dz z d 2 Tzz ( z ) d 2 Tzz ( z ) Sdz 2 S dz; 2 dt z dt z
分布参数振动系统与集 总参数振动系统的自由 振动比较：
[1]分布参数振动系统的自 由振动是以简正振动方 式进行； 能够以多个固有频率作 阶简正振动。 [2]n个自由度的集总参数振 动系统的自由振动也以 简正振 动方式进行, 但其最多有n个固有频率, 各自由度上最多有 n 个简正振动迭加。
3o 例二：一端固定另一端谐合力激励下均匀细棒的
( z , t ) g ( z) t t 0
[2]均匀细棒纵振动的边条件类型：
A )固定边条件：（端点固定不动，位移为零）
（z ,t ) z 端点 0
B) 自由边条件：（端点自 由，应力为零） ( z ,t ) z 0
z 端点
C )质量负载边条件（端点联结刚性质量块） ( z ,t ) SE z M
这里，设R是位移波在棒端 ( z 0)的反射系数。 则，振速函数为： u ( z, t ) jA(e j (t kz ) Re j (t kz ) ); t
应力分量函数为： j (t kz ) j (t kz ) Tzz ( z , t ) E jkEA(e Re ); z ~ Tzz 如果，已知终端比阻抗 ：Z 2 ~ u jkEA(e j (t kz ) Re j (t kz ) ) jA(e j (t kz ) Re j (t kz) ) Z2



c0
L)
F0 Sc0 cos( sin( L)

c0
; L)
BD 0

( z, t )
F0 Sc0 cos(

c0

c0
z ) cos(t )
分析：
( z ,t )
F0 Sc0 cos(

c0
sin( L)

c0
z ) cos(t )
显然： cos(

c0
L ) 0时，系统发生位移共振。
1o均匀细棒纵振动的近似理论
均匀：棒的材料参数、棒的截面均匀。（一样） 细棒：棒的截面最大线度远小于棒中弹性波的波长。
纵振动：沿棒的长度方向振动。（如图）
均匀细棒纵振动的近似理论中‘近似’的含义：
在细棒条件下，在分析棒纵振动时可以近似认为：
（1）只考虑 z 方向振动；其它方向的振动可略。
（2）在垂直于 z 轴的同一个截面上振动相同。
定义： 分布参数系统自由振动 时，各阶简正振动的频 率为系 统的固有频率。 分布参数系统有 多个固有频率；其中最 低的固有频率 称作基频；其它固有频 率称作泛音频率。 例：
n nc0 fn 为两端自由均匀细棒纵 振动第n阶简正振动 2 2 L
的固有频率。
两端自由均匀细棒纵振 动基频 : c0 f1 2L 两端自由均匀细棒纵振 动第n阶泛音频率: nc0 fn nf1 2L 两端自由均匀细棒纵振 动第n阶泛音频率是基频 的n倍谐音频率。
z 端点
2 ( z ,t ) t 2
z 端点
D )激励力作用边条件（端 点有激励力作用） ( z ,t ) SE z f (t )
z 端点
2 例一：两端自由均匀细棒的自由纵振动
o
方程和边界条件 2 ( z, t ) 1 2 ( z, t ) 2 0 2 2 c0 t z ( z, t ) ( z, t ) 0; 0 z z L z z 0
( z, t ) { A cos(k z z ) B sin(k z z )}{C cos( k t ) D sin( k t )}
kz
z z
其中：k z
k
c0
z
;
k z、A、B由边条件确定； C、D由初条件确定。
[1]初（始）条件: 初始位移分布： 初始位移分布：
( z , t ) t 0 f ( z );
c0 Z 2 将R 代入上式；可得阻抗转 移公式： c0 Z 2 c0 Z 2 jkz jkz c0 ( e e ) j tg (kz) 1 c0 Z 2 Z2 Z ( z, ) c0 Z 2 c0 Z 2 jkz jkz Z2 j tg (kz) 1 ( e e ) c0 c0 Z 2
( z, t ) { A cos(


c0
z ) B sin(

c0
z )}{C cos(t ) D sin(t )}