x
θx 1 1
3 2
y
θy1
z
w1
如果在直角坐标系下建立位移模式，则完全三次多项式需要 10个参数
若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。
薄板三角形单元
三角形单元采用直角坐标系建立位移模式的尝试：
Tocher方案
单元有两边分别平行于x轴和y轴时，上述位移模式中的待定系数将无法 确定，因此离散时，网格划分有局限性。
在局部坐标系下其实位移列阵和力列阵的最后一项没有意义， 但是考虑到最后还是要在整体坐标下进行计算，所以占一格。 单元结点位移、结点力矩阵为
平面壳单元有限元
有了刚才的位移列阵和力列阵，采用虚功原理，可以逐步完成 有限元格式的建立过程。 以经典的三结点平面壳单元为例 局部坐标系下
整体坐标系下
平面壳单元有限元
厚板结构有限元
厚板基础理论知识
对于厚板，基本假设： a．板的挠度w微小； b．板中性面法线在变形后仍保持直线，但不再垂直变形后 的中性面； c．垂直于中性面的应力可以忽略。 中性面法线在变形后不再垂直变形后的中性面则意味着还存在 横向剪切变形， 此时即需要采用Hencky理论进行分析， 这种情况下板任意一点有三个下面的变形
薄板基础理论知识
内力可以根据应力进行计算得到
使用记号
平面应力问题 中的弹性矩阵
于是
薄板基础理论知识
进行反向回代，可以得到
在板的上、下表面处，z=±0.5t，于是应力为
薄板基础理论知识
如果薄板在z方向承受分布荷载 此时薄板内部产生应力 则可以采用虚功原理 与之平衡，
假设发生虚位移 ， 应力做的虚功为
壳结构基础理论知识
曲面单元能够更好地模拟真实结构，相应得到的计算结果会 更有效。但是，曲面壳体的变形与平板变形有所区别。壳体 的中性面变形不能忽略，在壳体中的内力包括弯曲内力和中 性面内力。 对于曲面单元，现常采用考虑横向剪切变形的超参数曲面壳 单元。曲面壳元往往较难满足完备性和协调性要求，这里不 作具体介绍。
则薄板内部会发生虚应变
外力做的虚功为 在后面我们会利用虚功原理来建立有限元控制方程。
薄板矩形单元
设局部编号1、2、3、4， x 、y方向长度分别为2a、 2b的矩形板单元如图所示。
每个结点的位移分量为
每个结点的载荷分量为 则一个单元的位移向量和载荷向量为
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 一个单元有12个位移分量，那么 位移函数应该为
位移场不能完全满足收敛的协调性准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调， 法向转角跨单元不协调，因此该单元不是完全协调元。 要解决这一问题，可以通过增加结点数或结点自由度来构造高阶协调元，目 前国内较成熟的工作有大连理工大学唐立民教授等提出的拟协调元和龙驭球 院士提出的广义协调元等，这方面仍然处于研究之中。
Adini方案
舍去了二次项xy，致使常扭率无法保证，单元过刚、位移偏小，因此分析 结果只有一阶精度。
Bell方案
增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自 由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
薄板三角形单元
Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。
对应的应变矩阵为
厚板结构有限元
方式二： 对应的应变矩阵为
事实上这只是写法的区别，没有实质影响
厚板结构有限元
由应变矩阵获得应力矩阵
事实上这只是写法的区别，没有实质影响
厚板结构有限元
以最常用的8结点厚板单元给大家进行介绍 首先需要将一个厚板单元进行等参变换，注意其是二维问题
中面形状和厚度
厚板结构有限元
熟悉的二维8结点等参元形函数计算方法：
4
8

3

2
2
1
5
2
结点位移采用第一种方式表示，则： 单元的位移可以采用形函数和结点位移表示为：
其矩阵形式为：
厚板结构有限元
应变的表达
厚板结构有限元
应力的表达
分块形式：
厚板结构有限元
应力的表达
分块形式：
厚板结构有限元
单元刚度矩阵
具体数据计算如下：
厚板结构有限元
板中心挠度 wD/PL2
0.00614
4×4 6×6 理论解
0.00580 0.00571 0.00560
边中点弯矩 M/P -0.1178 -0.1233 -0.1245 -0.1257
薄板三角形单元
三角形单元能较好地适应斜边界，实 际中广泛应用。单元的结点位移仍然 为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角 θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元 位移模式应包含9个参数。
平面壳单元有限元
根据前面的假定，那么单元上任意一点(x,y,z)的位移为
平面应力位移
薄板弯曲位移
注意：上面的位移表达式是基于局部坐标系建立的，不然则不 成立。
平面壳单元有限元
根据上述位移关系，单元的应变矩阵为
注意：上面的位移表达式是基于局部坐标系建立的，不然则不 成立。
平面壳单元有限元
为进行以下的单元分析，定义单元结点i的位移列阵为 均为0 i结点力列阵为
以经典的三结点平面壳单元为例 三角形平面壳单元的3个结点i，j，m共有15个自由度，位移函 数可采用如下形式
平面壳单元有限元
以经典的三结点平面壳单元为例 将三个结点的位移代入进去，则可以反推出 单元位移=形函数×结点位移的三个表达式（u,v,w）。 根据位移函数的表达形式，不难看出其就是平面应力单元和 薄板弯曲单元的结合。后续分析过程较复杂，因此在这里只 做文字性叙述注意事项。 单元位移表达式（u,v,w）建立后，下面的工作就是进行应变 计算。但是注意up,vp并不是u,v
平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄 板小挠度对于厚板，应考虑横向剪切 变形的影响。 壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。 因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当 然，对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。
x
θx 1
1
3
那么
y
θy1
z
w1 2
薄板三角形单元
应用实例 四边简支板的中心挠度系数计算 单元数 （1/4板） 2×2 4×4 8×8 解析解 板中心挠度wD/qL4 0.004249 0.004153 0.004098 0.004042
薄板单元
关于薄板单元，要提醒大家注意的：不管是三角形单元还是 矩形单元，事实上其都是非完全协调元。 对左图所示的相邻单元 公共边挠度 公共边切向转角 公共边法向转角
结点荷载的等效 设单元表面作用有均布荷载q(x,y)，等效结点荷载为
应用举例 承受均布荷载q的方板，四边简支。4×4网格，挠度=？
h/L 有限元 厚板 薄板
0.01
0.1 0.2 0.3 0.4
0.04438
0.04628 0.05202 0.06160 0.07500
0.04439
0.04632 0.05217 0.06192 0.07557
壳结构有限元
壳结构基础理论知识
壳体的中性面是一个曲面，壳单元受力状态及应力状态见图。
在作结构分析时，一般采用平面单元（板）或者曲面单元处理。 平面单元是平面应力单元和平面弯曲单元的组合体，它依赖 于平板理论。在几何上以平板代替壳体，结构模拟是一种近 似。但是，这种单元简单，只要结构离散化分合理，完全可 以满足工程上的要求。
0.04437
0.04437 0.04437 0.04437 0.04437
厚板结构有限元
一个问题：
薄板单元是非协调元，所以总是让我们感觉不适，厚板单元 认为两个转角与挠度独立，而且根据前面等参元的使用我们 知道厚板单元一定是协调的，那么为什么不就采用厚板单元 进行薄板的计算呢？
用厚板单元进行薄板的计算在数学构造上并没有太大的问 题，无非是现在转角是挠度的偏导数，所以不需要对一个 矩形设置8个结点，4个结点已经足够表达。 计算结果表明：当采用2×2高斯数值积分时，厚板单元也可 用于薄板的分析，但是太薄时将产生剪切闭锁现象（进行刚 度矩阵计算时与剪切变形相关的剪切刚度时会出现无穷大而 导致单元刚度矩阵变成奇异矩阵）。
第九章
板壳结构有限元
板壳结构基本知识
板壳结构在工程上应用十分广泛。在设计分析中采用板壳单元 进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。
板壳结构基本知识
厚度方向的尺寸小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中，表面 为平面的成为板，表面为曲面的称为壳。
1 1 h 1 1 ~ ~ 100 80 b 8 5
由第（2）条可知挠度w与z无关，
由第（1）条可知 zx和 yz等于零，另外根据第（3）条中面无变形
薄板基础理论知识
薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。
根据几何方程，应变可表示为
对于薄板问题， 一般采用形变分量表示
x向曲率
y向曲率
扭率
薄板基础理论知识
相应的内力可表示为：
[D]为平面应力问题的弹性矩阵：
薄板结构有限元
薄板基础理论知识
薄平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直于中性面。其中 t 为 板厚。当板受有垂直于板中性面的外力时，板的中性面将发 生弯扭变形，从而变成一个曲面。板变形的同时，在板的横 截面上将存在内力——弯矩和扭矩。
薄板基础理论知识
对于薄板问题采用如下假设： （1）直法线假设：薄板中面法线 变形后仍保持为法线且长度不变。 （2）忽略板中面的法线应力分量， 且不计其引起的应变。 （3）薄板中面内的各点没有平行 于中面的位移，即中面不变形。
展开进行积分
单元刚度矩阵由16个子矩阵组成，其表示如下
薄板矩形单元
具体的元素计算为：