2 a x EA e [k ] ax a y l a a x z
2 ay
a y az
对称 a z2
在初步设计时，可将空间问题简化为平面问题，用平面桁架来计算， e T { F } [ F , F , F , F ] xi zi xj zj 如图所示。结点位移列阵 0 结点力列阵 { }e [ui , wi , u j , w j ]T EA 1 e 单元坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但 [k ]0 l 0 0 结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但
桥梁结构有限元法的分析过程
结构有限元法的分析过程六个步骤： （1）结构的离散化 将要分析的桥梁结构物分割成有限个单元体 ，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元 的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单 元的集合体，以它代替原来的结构。 （2）选择位移模式 假定位移是坐标的某种函数，称为位移模式 或插值函数。根据所选定的位移模式，就可以 导出用结点位移表示单元内任一点位移的关系 式：
0 0 0
a x ay [t ] a y / l x ax / lx a y a z / l x a y a z / l x 0 [t ] [T ] [t ] 0
az 0 lx
l ( x j xi ) 2 ( y j y i ) 2 ( z j z i ) 2
传统的杆单元、板单元、块单元、壳单元不断完善， 索单元、虚拟层合单元等使得复杂结构分析得以简化. 本章--简述有限元法的基本思路 汇总出桥梁结构分析中的常用单元刚度矩阵 介绍一种通用三维单元构造方法 虚拟层合单元在桥梁结构分析中的应用
贺:例如分析 对象是桁架桥 时，可以取每 根杆件作为一 个单元，因为 桁架桥本来就 是由杆件组成 的。但如果分 析的对象是连 续体，如板桥， 那末为了有效 地逼近实际的 连续体，就需 要考虑选择单 元的形状和分 割方案以及确 定单元和结点 的数目等问题。

[ K ]{ } { F }
（5）求解未知结点位移 考虑几何边界条件将方程作适当修改之后，根据方程组的特点， 选择合适的计算方法，可解出未知位移。 （6）计算单元应力及所需要的结果 利用已求出的结点位移，计 算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。
桁架桥结构分析
桁架桥结构一般均为空间结构，可按空间杆单元进行分析，每个桁 架 杆即 为 一 个 单 元 。 取结构坐标系 （ x0 , y 0 , z 0 ），单元坐标系 （ x, y , z ） { }e [ui , vi , wi , u j , v j , wj ]T
{F}e [Fxi , Fyi , Fzi , Fxj , Fyj , Fzj ]T
单元坐标系下单元刚度矩阵
[k ]e 0 e [ K ]0 e [ k ] 0
1 EA e [k ]0 0 l 0 0 0 0
[ k ]e 0 e [k ]0
（3）分析单元的力学特性 ①利用几何方程，由位移表达式导出用结点位移表示单元应变
{ } [ B]{ }e
②利用本构方程，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力
{ } [ D][B]{ }e
③利用变分原理，建立单元的平衡方程
e e {F}e [ K ] { } 0 0
T [ K ]e [ B ] 0 [ D][ B]dxdydz
单元坐标系与结构坐标系不一致时，需用坐标转换
[K ]e [T ]T [K ]e 0 [T ]
单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容
（4）建立整个结构的平衡方程 两个方面： 一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵； 二是将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的荷载列阵。 常用方法---直接刚度法 集合所依据的理由是要求所有的相邻的单元在公共结点处的位移 相等。整个结构的平衡方程
{ f } [ N ]{ }e
贺:选择适当的 位移函数是有限 单元法分析中的 关键。通常选择 多项式作为位移 模式。其原因是 因为多项式的数 学运算（微分和 积分）比较方便， 并且由于所有光 滑函数的局部， 都可以用多项式 逼近。至于多项 式的项数和阶次 的选择，则要考 虑到单元的自由 度和解的收敛性 要求。一般来说， 多项式的项数应 等于单元的自由 度数，它的阶次 应包含常数项和 线性项等。这里 所谓单元的自由 度是指单元结点 独立位移的个数。
i
N
Mx
Qx
1850年矩阵符号问世， 1956年Turner 等人将刚架位移法推广 应用到弹性力学的平面问题，并在分析飞机结构获得成功 现代有限元法在各个领域都得到广泛应用: 1.由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题：拱坝、涡 轮叶片、飞机、船体及大型桥梁 2.由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题：结构地震、抗风与 波浪力、动力反应 3.由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题、土力学与岩石力学 问题，疲劳与脆性断裂问题 4.由结构计算问题扩展到结构优化设计问题 5.由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热 应力问题（焊接残余应力、原子反应堆结构的热应力）、磁场问 题（感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪音问题 6.由工程力学扩展到力学的其它领域（冰川与地质力学、血管 与眼球力学等）
桁架桥及 其单元
a x ( x j xi ) / l
a y ( y j yi ) / l
a z ( z j zi ) / l
经运算，在结构 坐标系单元刚度 矩阵为
[k ]e [ K ]e [k ]e [k ]e [k ]e
2 2 lx ax ay
桥梁结构理论 桥梁结构理论 长安大学 贺拴海
长安大学 贺拴海
第1篇 桥梁结构整体分析
桥梁结构分析的有限元法 梁板式结构分析的有限条法 能量原理及组合结构分析的变形协调法 变截面连续梁、拱式结构分析的子结构法 桥梁结构的材料几何非线性分析
Qx
j 桥梁结构分析的有限元法
Mx
N
桥梁结构有限元法的分析过程 桁架桥结构分析 梁式桥结构分析 刚架桥结构分析 薄壁箱梁桥结构分析 复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元 小结 本章参考文献