典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上， 37AE BF ==，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。
当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为【 】 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【答案】A 。
【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点E ,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E 点时，需要碰撞14次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，为便是于计算，将正方形ABCD 的边长扩大7倍，这样边长为7，3AE BF ==，4BE CF ==。
∴这些三角形相似的两边长之比43BE BF =。
∴431616574333CF GC DG GC GC ==⇒=⇒=-=；355443DH DH DH DG ==⇒=； 531313147774222CI CI DH CI BI --==⇒=⇒=-=； 132219274333BI BJ AJ BJ BJ ==⇒=⇒=-=； 31919971944443AK AK AK DK AJ ==⇒=⇒=-=；93434DK DL DL DL ==⇒=。
∴经过7次碰撞，到达与点E 成轴对称的点L 处，根据正方形的对称性，再经过7次碰撞，到达点E ，共14次碰撞。
故选A 。
例2. （2012年全国大纲卷文5分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，13AE BF==，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。
当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为【】A 8B 6C 4D 3【答案】B。
【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞6次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，为便是于计算，将正方形ABCD的边长扩大3倍，这样边长为7，1AE BF==，2BE CF==。
∴这些三角形相似的两边长之比21BEBF=。
∴32331311222GKFK DGFK FK==⇒=⇒=--=；21112DH DHDHDG==⇒=；∴经过3次碰撞，到达与点E成轴对称的点H处，根据正方形的对称性，再经过3次碰撞，到达点E，共6次碰撞。
故选B。
例 3. （2012年江西省理5分）观察下列各式：221,3,a b a b+=+=3344554,7,11,a b a b a b+=+=+=则1010a b+=【】A．28 B．76 C．123 D．199【答案】C。
【考点】归纳推理的思想方法。
【解析】观察各等式的右边,它们分别为1，3，4，7，11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,…，故1010123a b +=。
故选C 。
例4. （2012年福建省文5分）数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于【 】A ．1006B ．2012C ．503D ．0【答案】A 。
【考点】规律探索题。
【解析】寻找规律：a 1＝1cos π2＝0，a 2＝2cosπ＝－2，a 3＝3cos 3π2＝0，a 4＝4cos2π＝4； a 5＝5cos 5π2＝0，a 6＝6cos3π＝－6，a 7＝7cos 7π2＝0，a 8＝8cos 8π2＝8； ······∴该数列每四项的和()+1+2+3+++=2=1,59,4+1k k k k a a a a k r r N *⋅⋅∈，，，。
∵2012÷4=503，∴S 2 012＝2×503＝1006。
故选A 。
例5. （2012年北京市理5分）已知()()x f x m(x 2m)x m 3,g x 22=-++=-（），若同时满足条件：()()()()x R f x 0g x 0x (,4),f x g x 0∀∈∃∈∞⋅ ，＜或＜，--＜①②，则m 的取值范围是 ▲【答案】()4,2-- 。
【考点】简易逻辑，函数的性质。
【解析】由()x g x 220<=-得x 1<。
∵条件()()x R f x 0g x 0∀∈，＜或＜①，∴当x 1≥时，()f x 0＜。
当m=0时，()f x =0，不能做到()f x 在x 1≥时，()f x 0＜，所以舍去。
∵()f x 作为二次函数开口只能向下，∴m <0，且此时两个根为12x =2m x =m 3--，。
为保证条件①成立，必须12m 0m 01x =2m 1m 4m 02x =m 31m 4<<<<<<<>⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪--⎩-⎪⎩。
又由条件()()x (,4),f x g x 0∃∈∞⋅ --＜②的限制，可分析得出x (,4)∈∞ --时，()f x 恒负。
∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比12x x ，两根中小的那个大。
由2m=m 3--得m=1-，∴当()m 1,0∈- 时，m 34<---，解得交集为空集，舍去。
当m=1-时，两根同为－2＞－4，舍去。
当()m 4,1∈-- 时，2m 4m 2<<-⇒-。
综上所述，()m 4,2∈-- 。
例6. （2012年湖北省文5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。
他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：（Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第 ▲ 项；（Ⅱ）12k b - = ▲ 。
（用k 表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k -。
【考点】归纳规律。
【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为(1)2n n n a +=，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110。
故142539*********,,,,,b a b a b a b a b a b a ======。
从而由上述规律可猜想：255(51)2k k k k b a +==（k 为正整数）， 2151(51)(511)5(51)22k k k k k k b a ----+-===。
故201221006510065030b a a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项。
例7. （2012年湖南省理5分）设N =2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N -1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n -2时，将P i 分成2i 段，每段2i N 个数，并对每段C 变换，得到P i +1，例如，当N =8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置.（1）当N =16时，x 7位于P 2中的第 ▲ 个位置；（2）当N =2n （n ≥8）时，x 173位于P 4中的第 ▲ 个位置.【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+。
【考点】演绎推理的基本方法，进行简单的演绎推理。
【解析】（1）当N =16时,012345616P x x x x x x x =,可设为(1,2,3,4,5,6,,16),113571524616P x x x x x x x x x =,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616P x x x x x x x x x x x =,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16), x 7位于P 2中的第6个位置。
（2）考察C 变换的定义及（1）计算可发现：第一次C 变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C 变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以为4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项；依此类推可得出P 4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x 173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N =2n （n ≥8）故每段的数字有2n -4个，以13为首项的是第四段，故x 173位于第43211n -⨯+个位置。
例8. （2012年福建省理4分）数列{a n }的通项公式=cos +12n n a n π，前n 项和为S n ，则S 2 012＝ ▲ .【答案】3018。
【考点】规律探索题。
【解析】寻找规律：a 1＝1cos π2＋1＝1，a 2＝2cosπ＋1＝－1，a 3＝3cos 3π2＋1＝1，a 4＝4cos2π＋1＝5；a 5＝5cos5π2＋1＝1，a 6＝6cos3π＋1＝－5，a 7＝7cos 7π2＋1＝1，a 8＝8cos 8π2＋1＝9； ······∴该数列每四项的和()+1+2+3+++=6=1,59,4k k k k a a a a k r r N *⋅⋅∈，，，。
∵2012÷4=503，∴S 2 012＝6×503＝3018。
例9. （2012年福建省文4分）某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用．要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小，例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图①，则最优设计方案如图②，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图③，则铺设道路的最小总费用为 ▲ ．【答案】16。