• 贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面， 它由给出的4*4个网格点唯一决定.
一般称 Pij为 P(u, v)的控制顶点，把由 Pi0 , Pi1, , Pim
(i 0,1, , n) 和 P0 j , P1 j , , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 称为 P(u, v)的控制网格，记为{Pij} ,如图9.15所示。
v
3
bi (v) bijBj,3(v)i 0,1,2,3
j0
根据“线动成面”的思想，按设定间
隔取v* [0,1] ，在四条v线上取点，沿u
u
向生成三次Bezier曲线：
v V*
3
b(u) bi (v* )Bi,3 (u)
i0
将u,v向曲线方程合并得：
3
33
u
b(u,v) bi (v)Bi,3(u)
更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条 曲线的新型曲线。
2.Ｂ样条曲线的数学表达式 Ｂ样条曲线的数学表达式为：
n
Pi,n (t)
Pik Fk ,n (t )
k 0
控制顶点 B样条基函数
在上式中０≤t≤1 , i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定 义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
三段曲线的形状。
角点重叠和角点共线(*)
• 二重角点
若要使B样条曲线与特征多边形相切，可运用二重角
点的方法。 P0
Q0 Q（0-1）
P1
Q1
Q2
P2
Q3
Q4
• 三重角点
若要使B样条曲线产生一个尖点，可运用三重角
点的方法。
Q2 Q3 Q4
P1
P2 P3
Q1
P0
P4
Q5
Q0
Q6
• 三角点共线
若要使B样条曲线产生反向弧切接的效果，可运用三
注：矩阵表示见课本
曲面片1
P3,3(Q0,3) Q3,3
P3,2(Q0,2)
P0,3
P3,1(Q0,1) Q3,0
P(u,v)
Q(u,v) P3,0(Q0,0) 边界线
P0,0
Beziet曲面片的拼接
曲面片2
6.5.2 B样条曲面的定义和性质
uv v v u u u 设节点向量 U
ui
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
P14
P04
P03 P02 P01
P11 P21
P31
P(0,v)
P10 P20
P41 P30
P00
P(u,0)
P40
图9.15 Bézier曲面的控制网格
Bézier曲面的矩阵表示是：
P(u, v) [J0,n (u) J1,n (u)
P00 P01
J
n,n
(u)]

P10
P11
,V
i

{v
j
} j
(
≤i
i1 ,
j ≤ v j1)分别是
对参数 平面的 轴和 轴的分割，如图1所示。称下列张量积形
式的参数曲面为 k h( k≤n,h≤m)阶的B样条曲面
n
P(u, v)
m
Pij Bi,k (u)B j,h (v)
,uk-1≤u≤un＋1,vh-1≤v≤vm＋1
Bi,3(u)Bj,3(v)b(i, j) v
i0
i0 j0
Bézier曲面的定义
在空间中给定(n+1)×(m+1)个点，称以 下张量积形式的参数多项式曲面为n×m次的 Bézier曲面:
• 贝塞尔曲面表达式如下：
nm
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v) 0≤u,v≤1
i=0 j=0
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线
• 相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
• 角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。 B样条曲线：修改一个角点只影响该角点所在位置前后
i0 j0
其中Pij是空间中给定的(n+1)×(m+1)个网格点，通常称为 P(u, v)的 控制顶点。Bi,k (u) ，B j,h (v)分别是关于节点向量U,V的k阶和h阶的B样条
基函数。
vm
vj
v2
vv01 u0
u1
u2
ui
un
图1 uv平面的分割
由两组多边形 Pi0Pi1Pi2
Pim ( i 0,1, 2,
Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶 点。 （见下图）
n
Pi,n (t)
Pik Fk ,n (t )
k 0
B: P1,P2,P3 P3
P1 i=1 P1,2(t)
n=2,二次B样条曲线 m+n+1个顶点，三 点一段，共m+1段。
P4
i=0
P2
P0,2(t)
P0
B: P0,P1,P2
)和 , n
P0 j P1 j P2 j
Pnj
( j 0,1, 2, , m )组成的网格（如图2）称为P(u,v) 的
控制网格，简记为 {Pij}。
P04 P01
P10
P20
P00
P40
图2 B样条曲面及其控制网格
均匀B样条曲面
给定16个顶点dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。

Pn
0
Pn1
P0m J0,m (v)
P1m


J1,m
(v)



Pnm


J
m,m
(v)
Bézier曲面具有以下性质：
(1) 端点位置
控制网格的四个角点 P00, P0m, Pn0, Pnm 是曲面P(u, v) 的四个端点。决定了曲线的形状，位置。
P(0, 0) P00, P(0,1) P0m
( i= 0,1,2,…,m ) m+1段
写成一般的矩阵形式为：
2
P(t) Fk,2 (t) Bk t 2
k 0
t
1
1
1 2

2
1
2 2 1
1B0
0

B1

0B2
式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形 的顶点：B0,B1,B2。对于第i段曲线的
与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图）
B1
P(1/2)
P'(1/2)
P(0)
M
P(1)
B0
是什么曲线？
与Bezier曲线有
B2
何差别？
结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图）
Bezier曲面
Bezier曲面是Bezier曲线的扩展， Bezier曲面的边界线就是由四条Bezier曲 线构成的。三次Bezier曲线段由四个控制 点确定，三次Bezier曲面片则由４× ４ 控制点确定。16个控制点组成一个矩阵：
Q00 Q 10 Q20 Q30
B=
Q01 Q 11 Q02 Q12
P3 P1
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
线在连接处达到二阶连续。 *** F281.c 三次 B-样条曲线
Ｂ样条曲线是一种非常灵活的曲线，曲线 的局部形状受相应顶点的控制很 直观。这 些顶点控制技术如果运用得 好，可以使整 个Ｂ样条曲线在某些部位满足一些特殊的技 术要求。如：可以在曲线中构造一段直线；
使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。
Q21 Q22
Q31 Q32
Q03 Q13 Q23 Q33
u
Q30 Q20
Q10 Q00
Q01
w
Q31
Q11Q21
Q32 Q22 Q33
Q02 Q12Q13Q23
Q03
由曲线拓展为Bézier曲面
给定空间16个位置点bij，可以确定 一张三次Bezier曲面片。