Kronig-Penney 一维方形势场模型有着重要意义，首先它 是第一个可以严格求解的模型，证实了周期场中的电子可以 占据的能级形成能带，能带之间存在禁带。其次，这个模型 有多方面的适应性，经过适当修正可以用来讨论表面态，合 金能带以及超晶格的能带问题。
Blakemore 书也介绍了这个模型， p213 给出了p=2 的结果。
引入周期性边界条件后，波数 q 不能任意取值，只能取分
立的值。在 q 轴上，相邻两个 q 的取值相距
2
Na
， 2
即在 q 轴上，每一个 q 的取值所占的空间为： Na
所以，q 值的分布密度（单位长度上的模式数目）：
q Na L
2 2
L＝Na 为晶体链的长度。
第一布里渊区中波数 q 的取值总数等于晶体链的原胞个数，
五. 扩展到bloch电子
上面对自由电子的讨论可以推广到Bloch电子，只需要用有效 质量 m* 代替 m 即可，因为前者已经涵盖了周期场的影
响，上式推广到 Bloch 电子，有：


1 B


2 e
1 AF
AF是垂直于磁场的费米面极值截面积，如果我们测出磁场沿 不同方向给出的截面积，就可以绘出费米面的形状。
进行一些推导和必要简化，最后可以得出下式

maU
2
0b

sin


a
a


Байду номын сангаас
cos(

a)

cos(ka)
式中

2mE
而 k 2 是电子波的波矢。
上式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子能量 E与波矢 k 之间的关系 式。
f(E)
E
图 5 f(E)函数图
由图看出，在允许取的 E值之间，有一些不允许取 的 E值，称为能隙。
(3)空穴：k(状态)空间的一种状态空缺，是存在这一空缺的整
个能带的描述，同其它电子一样，在真实空间的位置不确定，
在k空间的运动方向与其它电子相同，总带正电荷。
k 如果轨道中一个波矢为
能带是对称的，有
Ee
(ke
)

Ee
(ek的e ) 电Eh子(k逸e ) 失Eh,(k则h )，空显穴然的有波矢E为h (k-h
3.由同种原子组成的二维密排结构晶体，原子间距为a，作图画出其前三个布
里渊区图形，并求：(1)每个原子有一个价电子时的费米半径kF；(2)第一布 里渊区的内切圆半径k1；(3)内切圆为费米圆时的电子浓度1 (即平均每个原 子的价电子数)；(4)每个原子有两个价电子时的费米半径，画出简约区中近
自由电子近似的费米面图形。
n
AeitN naq Aeitnaq
即：eiNaq 1
q 2 n
Na
n =任意整数，但考虑到 q 值的取值范围，n 取值 数目是有限的：只有布里渊区内的 N 个整数值。
2 n
a Na a
N n N
2
2
周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定 的条件，q 只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波。
即：晶格振动格波的总数 =N·1= 晶体链的总自由度数。
2 (q) 2 Na N
a
a 2
至此，我们可以有把握的说找到了原子链的全部振动模。
b=0, U0=∞，P=β2ba/2
见 Kittel 8版 p121
对于本题，每个能带里有8条小分能带
A
B
8a a
3. (1)试说明有效质量的物理意义.
(2) 试说明负有效质量的物理意义。
(3) 什么是空穴? 为什么能带中空穴的速度等于逸失电子的速 度, 这与通常我们所说的外加电场下, 电子与空穴有相反的漂 移速度是否有矛盾? 为什么?
上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界 条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量结 果呢？ Born－Karman 最早利用周期性边界条件解决了此问题， 成为固体理论的一个典范。
所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长
晶体链的一个重复单元，即：
N n
4、用紧束缚近似处理面心立方晶格s态电子， 试导出其能带关系，并求出能带底的有效质 量。
5、 氢原子外层只有一个电子，为何固态氢不像钾、钠等碱 金属那样呈金属性？科学家们又为何相信，只要通过高压 手段把氢原子间距压缩得足够小，就可以使固态氢转变为 金属？请通过能带模型加以解释。
解：固态氢的原子局域在氢原子周围，无法形成公有化运 动。当施加高压时，氢原子的间距减小，氢原子周围的电 子的周期性势场势垒减小，电子形成公有化运动，从而固 态氢可以导电，变为金属。
Aexp i t naq un
1
该解表明：晶体中所有原子共同
参与的振动，以波的形式在整个
晶体中传播，称为格波。
从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质
弹性波中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取 na 格点位
置这样的孤立值。
连续介质弹性波：Aei t xq
(0 x c) (c x a)
定态薛定谔方程为： d 2 2m E U( x) 0
d2x 2 U(x)
U0
1区 2区 3区
b x
0 ca 1( x) Aeix Beix , 2( x) Aei 'x Bei 'x , 3( x) eika ( Aeix Beix ), 这里 2mE / , ' 2m(E U0 ) /
4.分别求出二维正方晶格简约区中沿M和XZM轴自由电子能量函数En(k) 能量
最低的前四条曲线的表达式，画出其示意图并给出各曲线的简并度。
二度简并
• 思考题
（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你认为其晶体能带相 对于理想晶体会有什么变化？
周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是准连续的。
B 系统的能量随1/B周期变化，因此系统的磁矩也随磁场 做周期性震荡变化。而从实验上测出M随1/B变化的周期， 定出费米面 SF ，这是十分有用的。
金属的电导率、比热等物理量在低温强磁场中也有类似
的振荡现象。
这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中的行为有关， 因而与金属的费米面结构有密切关系，这些现象是研究金属 费米面结构的有力工具
边界条件：波函数和它的一阶导数在x=c,和a处连续
U(x)
U0
1区 2区 3区
b x
0 ca Aeic Beic Cei 'c Dei 'c , ( Aeic Beic ) '(Cei 'c Dei 'c ) Cei 'a Dei 'a eika ( Aeia Beia ), '(Cei 'a Dei 'a ) eika ( Aeia Beia )
解的物理意义： 格波 nq Aeitnaq
原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。
2的整
q
如： ma na 2 l,(m, n,l 都是整数）。
q
有： um Aexp i t maq Aexp i t naq exp(i2l)
• （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维超晶格量子阱的能带变化。*( 如下图)
A
B
ECA
EVA
8a a
ECB
EVB
克朗尼格-朋奈模型 (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型
U(x)
周期性方势阱
U0
2区
1区
3区
b
x
0 ca
在 0 < x < a 一个周期的区域中，电子的势能为
0 U( x) U0
3、当加有电场后，满带中的电子能永远的 飘移下去吗？
一. 电子散射 • 电阻表明存在对电子的散射； • Bloch波稳态解－> 无散射； • 散射－> 偏离平移对称性的结果，稳态Bloch态的微扰：
散射：偏离平移对称性有几种可能： 1）时间和空间都确定的缺陷，如杂质、位错、晶界； 2）随时间变化的偏离平移对称性，如晶格振动； 3）电子－电子相互作用造成的散射，与上面讲到的散射 相比，通常并不显著。
q2

2 2

5
2a
参考黄昆书 p85 图
由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一
种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与 连续介质弹性波的重大区别。
由白线所代表的波不能给出比黑虚线更多的信息， 为了表示这个运动，只需要大于2a的波长。
见Kittel P70 图
周期性边界条件（Born－Karman 边界条件）
有原子的振动实际上没有任何区别，因此有物理意义的 q 取值
范围可以限制在第一布里渊区内。
aq
q
a
a
这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题
这种性质称作格波的简约性。 一维单原子链的倒格矢：
Gn
n 2
a
1 4a
2

4 5
a
q1
2 1


2a
解： (1)有效质量的引入，是把周期性势场作用归结到质量中 去，在受外场作用时可以不考虑周期性势场而直接把晶体中 的电子准经典运动的加速度与外力联系起来，这样的电子看 起来像自由电子。
(2)负有效质量：电子交给晶格的动量多于它从外场中所获得 的动量，此时电子的状态是处于布里渊区边界附近，电子受 到晶格的强烈的布拉格反射，电子的加速方向与外力作用方 向相反，有效质量为负。