鲁教版2020八年级数学上册5.3三角形的中位线培优练习题2（附答案）一．选择题（共10小题）1．一个三角形的三条中位线的长为6、7、8，则此三角形的周长为（）A．40B．41C．42D．432．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．4C．5D．63．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD得△DEF，如果△ABC的周长是24cm，那么△DEF的周长是（）A．6cm B．12cm C．18cm D．48cm4．在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC 于点N，若AB＝4，AC＝6，则DM的长为（）A．B．1C．D．25．如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CF⊥AD于点F，AC＝5，AB＝13，则EF的长为（）A．B．C．3D．47．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为（）A．3B．6C．8D．128．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是（）A．22米B．17米C．14米D．11米9．如图，在△ABC中，BC＝15，B1、B2、…B9、C1、C2、…C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是（）A．45B．55C．67.5D．13510．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC 于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP ＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共10小题）11．小明的爸爸承包了一个鱼塘，小明想知道鱼塘的长（即A，B间的距离）．他通过下面的方法测量A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测得MN的长为20m，由此他就知道了A，B间的距离．请你回答A，B间的距离是．12．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF ＝6，∠AFE＝50°，则∠ADC的度数为．13．如图，为测量池塘岸边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D、E，且DE＝14米，则A，B两点间的距离是米14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，且DF＝9，则CE的长为．15．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE＝a，则AB＝2a，它的根据是．16．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若中位线EF＝2cm，则BC边的长是．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．18．已知△ABC的周长为4，顺次连接△ABC三边的中点构成的新三角形的周长为．19．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，且DE＝7cm，则BC＝cm．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点E、F分别在CA，CB上，且CE＝CF＝1，点M、N分别为AF、BE的中点，则MN的长为．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD 的中点，EF、CA的延长线相交于点H．求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．22．求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．23．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形．24．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．25．如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN＝（AB+BC+AC）26．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，AB＝12，AC＝22，求MD的长．27．如图，在△ABC中，BC＝2，则中位线DE＝．28．如图，CD是等边△ABC的角平分线，延长CB到E，使BE＝BD，F是AE的中点，已知CD＝6cm，求DF的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．一个三角形的三条中位线的长为6、7、8，则此三角形的周长为（）A．40B．41C．42D．43【解答】解：∵一个三角形的三条中位线的长为6、7、8，∴这个三角形的三边的长分别为：12，14，16，∴这个三角形的周长＝12+14+16＝42，故选：C．2．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝DE＝4．故选：B．3．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD得△DEF，如果△ABC的周长是24cm，那么△DEF的周长是（）A．6cm B．12cm C．18cm D．48cm【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、BC的中点，∴DE＝AC，同理，EF＝AB，DF＝BC，∴C△DEF＝DE+EF+DF＝AC+BC+AB＝（AC+BC+AC）＝×24＝12cm．故选：B．4．在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC 于点N，若AB＝4，AC＝6，则DM的长为（）A．B．1C．D．2【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，∴BD＝DN，AB＝AN＝4，∴CN＝AC﹣AN＝6﹣4＝2，又∵M为△ABC的边BC的中点∴DM是△BCN的中位线，∴MD＝CN＝×2＝1，故选：B．5．如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（）A．B．2C．D．3【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝17﹣BC＝17﹣6＝11，∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，∴MN＝DE＝．故选：C．6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CF⊥AD于点F，AC＝5，AB＝13，则EF的长为（）A．B．C．3D．4【解答】解：延长CF交AB于G，如图所示：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠GAF＝∠CAF，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝5，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝13﹣5＝8．又∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝4．故选：D．7．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为（）A．3B．6C．8D．12【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD；又∵E、F分别是AD、BD的中点，∴EF是△DAB的中位线，∴EF＝AB，∴EF＝CD＝3，∴CD＝6；故选：B．8．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是（）A．22米B．17米C．14米D．11米【解答】解：∵点E，D分别是边AB，AC的中点，BC＝6米，∴DE＝3米，∴DB＝3米，EC＝5米，∴篱笆的长＝DE+BC+CE+DB＝3+6+3+5＝17米．故选：B．9．如图，在△ABC中，BC＝15，B1、B2、…B9、C1、C2、…C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是（）A．45B．55C．67.5D．135【解答】解：当B1、C1是AB、AC的中点时，B1C1＝BC；当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2＝BC+BC；…当B1，B2，C1，…，∁n分别是AB，AC的n等分点时，B1C1+B2C2+…+B n﹣1B n﹣1＝BC+BC+…+BC＝BC＝7.5（n﹣1）；当n＝10时，7.5（n﹣1）＝67.5；故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是67.5．故选：C．10．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC 于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP ＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①∵CE平分∠ACE，∴∠ACP＝∠MCP，∵AM⊥CE，∴∠APC＝∠MPC＝90°，∴∠CAM＝∠CMA，∴AC＝CM，∴AP＝PM，①正确；②同理得：BN＝AB＝6，∵CM＝AC＝5，∴BC＝BN+CM﹣MN＝6+5﹣2＝9，②正确；③∵∠BAC＝∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③正确；④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN，∵AB＝6≠AC＝5∴∠ABC≠∠ACB，∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；所以本题不正确的有④，故选：D．二．填空题（共10小题）11．小明的爸爸承包了一个鱼塘，小明想知道鱼塘的长（即A，B间的距离）．他通过下面的方法测量A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测得MN的长为20m，由此他就知道了A，B间的距离．请你回答A，B间的距离是40m．【解答】解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴AB＝2MN＝40cm，故答案为：40cm．12．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF ＝6，∠AFE＝50°，则∠ADC的度数为140°．【解答】解：连接BD，∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，∴∠ADB＝∠AFE＝50°，BD2+CD2＝225，BC2＝225，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝140°，故答案为：140°．13．如图，为测量池塘岸边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D、E，且DE＝14米，则A，B两点间的距离是28米【解答】解：∵D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，∴DE＝AB，∴AB＝2DE＝2×14＝28米．故答案为：2814．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，且DF＝9，则CE的长为 6.5．【解答】解：∵BC＝5，DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝2.5，DE∥BC，又∵DF＝9，∴EF＝9﹣2.5＝6.5，∵DE∥BC，CF平分∠ACM，∴∠ECF＝∠FCM＝∠EFC，∴CE＝FE＝6.5，故答案为：6.5．15．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE＝a，则AB＝2a，它的根据是三角形的中位线等于第三边的一半．【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，设DE＝a，则AB＝2a．故答案是：三角形的中位线等于第三边的一半．16．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若中位线EF＝2cm，则BC边的长是4cm．【解答】解：∵△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，EF＝2cm，∴EF是△ABC的中位线∴BC＝2EF＝2×2＝4cm．故答案是：4cm．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE＝AM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC•sin∠ACN＝，∴AM＝，∴DE＝，故答案为：．18．已知△ABC的周长为4，顺次连接△ABC三边的中点构成的新三角形的周长为2．【解答】解：如图示，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE＝C，DF＝AC，EF＝AB，∵△ABC周长为4，∴新三角形DEF的周长为×4＝2．故答案为：2．19．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，且DE＝7cm，则BC＝14cm．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，且DE＝7cm，∴BC＝2DE＝14cm，故答案为：14．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点E、F分别在CA，CB上，且CE＝CF＝1，点M、N分别为AF、BE的中点，则MN的长为2．【解答】解：取AB的中点D，连接MD、ND，如图，AE＝BF＝5﹣1＝4，∵点M、N分别为AF、BE的中点，∴DM为△ABF的中位线，DN为△ABE的中位线，∴DM＝AF＝2，DM∥BF，DN＝AE＝2，DN∥AE，∵AE⊥BF，∴DM⊥DN，∴△DMN为等腰直角三角形，∴MN＝DM＝2．故答案为2．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD 的中点，EF、CA的延长线相交于点H．求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【解答】证明（1）∵E，G分别是BC，CD的中点，∴EG是△BDC的中位线，∴EG∥BD，∴∠CGE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD，∴∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）连接FG，∵E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，∴EG＝BD，FG＝AC，∵BD＝AC，∴GE＝GF，∴∠GFE＝∠GEF，∵FG∥HC，∴∠GFE＝∠H，∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH，∴∠H＝∠AFE，∴AH＝AF．22．求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．【解答】已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的中点．证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．23．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形．【解答】证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE＝BC，同理，GF∥BC，且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，四边形DGFE是平行四边形．24．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC；（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝．25．如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN＝（AB+BC+AC）【解答】证明：∵AM⊥BM，∴∠AMB＝∠DMB＝90°，∵BM平分∠ABD，∴∠ABM＝∠DBM，在△ABM与△DBM中，，∴△ABM≌△DBM（asa），∴AB＝DB，AM＝DM，同理：AN＝EN，AC＝CE，∴MN＝DE＝（DB+BC+CE）＝（AB+BC+AC）．26．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，AB＝12，AC＝22，求MD的长．【解答】解：延长BD交AC于点N．∵BD⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠ADB＝∠ADN＝90°，∠BAD＝∠NAD．在△ABD与△AND中，，∴△ABD≌△AND（角边角），∴BD＝DN，AB＝AN＝12，∴CN＝AC﹣AN＝10，又∵BM＝MC，∴DM＝CN＝5．27．如图，在△ABC中，BC＝2，则中位线DE＝1．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×2＝1．故答案是：1．28．如图，CD是等边△ABC的角平分线，延长CB到E，使BE＝BD，F是AE的中点，已知CD＝6cm，求DF的长．【解答】解∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，又∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝30°，且CD⊥AB，D是AB的中点，又∵F是AE的中点，∴DF是△AEB的中位线，∴DF＝EB，又∵BE＝BD，∴DF＝DB，Rt△DBC中，∵∠DCB＝30°，CD＝6，∴BD＝CD•tan∠DCB＝6×＝2∴DF＝×2＝（cm）．。