Z(t)的谱密度GZ():
GZ () GZ () GY () RXY ( )e j d RYX ( )e j d
其中：
GXY () RXY ( )e j d
GYX () RYX ( )e j d
称为互功率谱密度。
一、互谱密度：
设两个联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，若x(t,)
GXY () GYX () 2mX mY ()
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积， 则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数 RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
三、相干函数
XY ()
GXY ()
1
[GX ()GY ()] 2
4.5 白噪声与白序列
一 白噪声的定义及特性：
GX
()
lim
T
1 2T
T T
T
R(t1,t2 )e j(t2 t1)dt1dt2
T
t
t1,
t2
t1
lim
T
1 2T
T t T
RX
T t T
(t , t
)dte j d
lim
T
1 2T
T
RX
T
(t , t
)dt e
j d
RX
( )
lim
T
1 2T
T
RX
T
(t , t
RZ (t,t ) E{[ X (t) Y (t)][ X (t ) Y (t )]} RX (t,t ) RY (t,t ) RXY (t,t ) RYX (t,t )
若两个随机过程X(t)、Y(t)单独平稳且联合平稳， 则：
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )
和y(t,)分别为X(t)和Y(t)的某一个样本函数，相应
的截短函数分别为xT(t,)和yT(t,)，傅立叶变换分
别为：XT (, )、YT (, ) ，则互功率谱：
GXY
(
)
lim
T
E[
X
T
(, )YT
2T
(,
)]
GYX
()
lim
T
E[YT
(, )
2T
X
T
(,
)]
二、互谱密度的性质
性质一：GXY
T
1 2T
E[
XT
(, )
2 ]d
1
2
Gf
()d
W
E[W ]
E[
f
2 (t)] lim T
1 2T
T
E[
T
f
(t) 2 ]dt
1
2
lim
T
1 2T
E[
XT
(, )
2 ]d
或
W
E[ f
2 (t)]
Rf
(0)
1
2
Gf
()d
若f(t)为各态历经过程,则有:
Gf
()
lim
T
1 2T
对于白序列其功率谱：
GZ
(
)
2 Z
,
五、限带白噪声
若噪声在一个有限频带上有非零的常数功率谱，
而在频带之外为零，则被称做限带白噪声。
GN
()
W
,
0,
otherwise
自相关函数：
RN
(
)
W
s in
GN() /
RN()
W
-
0
-2/ -/ 0 / 2/
图 低通限带白噪声
GN
()
W
,
0,
0 | | 0
otherwise
RN
(
)
W
s in
cos0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个
实现： , x2 , x1, x0 , x1, x2 , , xN1,
中的有限长序列段 xn (0 n N 1) ，或者说N个数， 如何由它尽可能准确地得到X(t)或Xj的功率谱密度 GX() 。
GZiZk () RZiZk ( )e j d
RZ i Z k
( )
1
2
GZiZk
()e j d
4.8 功率谱密度的计算举例
• 教材P102—P106：
•
例4.8—例4.10
4.9 随机过程的高阶统计量简介
• 二阶统计量丢失了随机信号重要的相位信息， 而高阶统计量则保持了相位信息，高阶统计量在 所谓盲信号处理（盲系统辩识、盲信道均衡信号 分离等）有重要的应用，高阶统计量还有一些特 性使得近年来人们对它开展了广泛的研究。
4.10 谱相关的基本理论简介
由
Gf
()
lim
T
1 2T
E[
FT
(, )
2]
得:
GX
()
lim
T
E[ 1 2T
T
xT
T
T
(t1, )e jt1 dt1 xT
T
(t2 , )e
jt2 dt2 ]
lim
T
1 2T
T T
T
E[ XT
T
(t1) X T
(t2 )]e
j(t2 t1)dt1dt2RXT (t1,t2 ) E[ XT (t1) XT (t2 )] T (t1,t2 ) T
FT (, ) 2
功率谱密度Gf()是从频率角度描述f(t)统计规律 的最主要的数字特征。 Gf()仅表示了f(t)的平均功 率按频率分布的情况，没有包含过程f(t)的任何相位 信息。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
XT (, )
xT
(t,
)e
jt
dt
XT (, ) 2 XT (, )XT (, )
1 2T
T T
fT
(t, )[ 1 2
FT
(, )e jt d]dt
lim
T
1 2T
T T
FT
(, )
1
2
[ fT
(t, )e
jt dt]d
1
lim T 2T
T
| FT (, ) |2
T
1
2
d
1
2
1
lim
T 2T
FT (, ) 2 d
W是样 本函数 的平均
功率
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数:
T
1 2T
FT (, ) 2
对所有的（实验结果）取统计平均得：
Gf
()
E[G
f
(,
)]
E[ lim T
1 2T
FT (, ) 2 ]
lim
T
1 2T
E[
FT
(, )
2]
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T
E[
T
f
(t, )
2 ]dt
lim
1
T
E[ f (t) 2 ]dt
T 2T T
1
2
lim
1、数据采样率：
随机信号采样定理：设平稳随机信号X(t)的功率
谱的最高频率为fc，则取采样间隔：
ts
1 2 fc
c
或
fs 2 fc
采样值为Xn，则有采样展开式：
Xˆ
(t)
n
Xn
sin c (t nts c (t nts )
)
且 Xˆ (t)在均方意义下逼近于X(t)，即：
E[ Xˆ (t) X (t) 2 ] 0
对于零均值随机过程X(t)，其相应的二阶、三阶、
四阶累量分别定义为：
Cum2,X ( ) E[ X (t) X (t )] Cum3,X (1, 2 ) E[ X (t) X (t 1) X (t 2 )] Cum4,X (1, 2 , 3 ) E[ X (t) X (t 1) X (t 2 ) X (t 3 )] Cum2,X (1)Cum2,X ( 2 3 ) Cum2,X ( 2 )Cum2,X ( 3 1) Cum2,X ( 3 )Cum2,X (1 2 )
• 2、功率谱密度指单位带宽上的平均功率； • 3、任何直流分量和周期分量在频域上都表现为频
率轴上某点的零带宽内的有限功率，都会在频域 的相应位置上产生离散频谱；而在零带宽上的有 限功率等效于无限的功率谱密度。
• 4、借助函数，维纳—辛钦定理可推广至含 有直流或周期性成分的平稳过程中。
4.3 功率谱密度的性质
N0 2
( )
白噪声的相关系数N ( )为:
N
( )
CN CN
( )
(0)
RN ( )
RN (0)
RN RN
() ()
RN RN
( )
(0)
N
(
)
1, 0,
0 0
二、热噪声
• 热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动（ 布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
• 其功率谱密度为：
GNU
(
对于零均值实随机变量X1，X2，X3，X4，其相应 的二阶、三阶、四阶累量分别定义为：
Cum( X1, X 2 ) E[ X1X 2 ] Cum( X1, X 2 , X 3 ) E[ X1X 2 X 3 ]
Cum( X1, X 2 , X 3, X 4 ) E[ X1X 2 X 3 X 4 ] E[ X1X 2 ]E[ X 3 X 4 ] E[ X1X 3 ]E[ X 2 X 4 ] E[ X1X 4 ]E[ X 2 X 3 ]