j 1 j i 1 i
m
n
上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。
当根轨迹增益kg<0时：
根轨迹方程可写为：
| kg | s z j
j 1
m
s p
i 1
m j 1
n
e
n m j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
的旁边。
根轨迹的两种类型：
180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0)
的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的 点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨
称 Gk (s) 1 或 k ×
g
(s z ) (s p )
j1
j
m
i1 n
i
1
为负反馈系统根轨迹方程
4.1.2
根轨迹的幅值和相角条件
当根轨迹增益kg>=0时： 根轨迹方程可写为：kg s Nhomakorabea z j
j 1
m
kg
1
(s z )
i
m
s p
i 1
不满足相角条件，所以点B不是根轨迹上 的点。
Im
B A
A2
p2
s2
s
A1
p1
Re
利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg
上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：
kg s( s 2) s 1 j1
1 ， kg 2
4.1.4
本节小结
根轨迹概念与定义
有必要寻找一种简单的方法获得系统的根轨迹：
利用伊文斯图解法(手工画法)获得系统根轨迹 是一种很实用的工程方法。 使用计算机辅助计算软件，比如MATLAB软件， 获得系统的根轨迹。
4.1.2
根轨迹的幅值和相角条件
根轨迹的幅值和相角条件: 系统的方块图如下：
R( s )
G( s) 闭环传递函数为： ( s) 1 G( s) H (s)
R s


K s 0.5s 1
Y s
R s
D( s) s 2s 2K
s1,2 1 1 2 K
jω
K 0 s1 0 ; s2 2
解为两实根；
K 1
K 0 K 0.5 K 0 0
K 0.5 s1 1 ; s2 1
解为两实重根
控制系统的设计者通常希望借助某种较为简单的分析 方法，当已知的开环系统某个参数发生变化时，可以很明 确地看出闭环特征根的变化趋势。
W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零、极点确定闭 环极点的图解方法—根轨迹法。 其基本思路：当开环系统的一个或多个参数发生变化时， 根据系统的开环零点和极点，借助若干条绘图准则，绘制出 闭环特征根变化的轨迹，简称根轨迹。
kg s(s 2) |s A s (s 2) A1 A2
B A
Im
A2
p2
s2
s
A1
p1
Re
Gk ( s )
kg s( s 2)
显然，对于A点，有： A1 A2 ，A 点是根轨迹上的点。对于B点，由于： kg | s B s (s 2) B1 B 2 s(s 2)
2 K 1

K 1 s1 1 j ; s2 1 j
解为一对共轭复根
根轨迹定义:控制系统的某一参数由零到无穷大变化时， 闭环系统的特征根（闭环极点）在s平面上形成的轨迹。 在根轨迹图中，根轨迹用粗实线表示，根轨迹上的 箭头表示参变量增加的方向，开环零点和极点在图中 分别用“○”和“×”表示， “ · ”表示根轨迹上的 点。
m j 1 n
n
e
n m j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
(s p )
j j 1
i 1 n
1
i
即： k g ( s z j )
(s p )
i i 1
1
1 ， 2， (s z ) (s p ) (2k 1)，k 0，
闭环传递函数的极点就是闭环特征方程： 1 Gk (s) 0 的根。
换句话说，满足： Gk ( s) 1或：k g 系统的极点，闭环特征 方程的根。
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
1的点就是闭环
当根轨迹增益kg从零到无穷大变化时，满足上式的对应于 所有kg的s值，就是闭环传递函数的极点。把这些闭环极点在平 面s上按顺序连接起来，就是闭环系统的根轨迹。
第4章 线性系统的根轨迹分析法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本规则 4.3 控制系统根轨迹绘制示例 4.4 基于根轨迹法的系统性能分析
4.1
根轨迹的基本概念
4.1.1 根轨迹概念 4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
4.1.3
利用试探法确定根轨迹上的点
4.1.1
根轨迹的基本概念
根轨迹的意义 由时域分析法可知，系统的输出响应很大程度上取决于闭 环特征方程式的根（特征根），即闭环传递函数的极点。当系 统的某个参数变化时，特征方程的根随之发生变化，系统的性 能也跟着发生变化。 对于高阶系统来说，手工求解闭环特征方程的根较为困 难。尤其是当系统的参数（比如开环增益，开环零点和开环 极点等）发生变化时，闭环特征根需要重复计算，而且不能 看出系统参数变化对闭环特征根分布的影响趋势。
m
n
上述两式称为满足根轨迹方程(kg<0)的幅值条件和相角条件。
说明： 根据幅值条件和相角条件画出的曲线分别称为等幅值根轨 迹和等相角根轨迹。 等幅值根轨迹与等相角根轨迹是正交的。 每一个交点表示了相应的根轨迹增益对应的闭环特征根。 绘制根轨迹时，一般先用相角条件绘制出等相角根轨迹图， 然后利用幅值条件计算出根轨迹上各点对应的值，并标在该点
迹应满足的相应幅值和相角条件，完全可以确定s平面上的根 轨迹和根轨迹上各点对应的kg值。
4.1.3
利用试探法确定根轨迹上的点
利用试探法确定根轨迹上的点: 由于根轨迹上的点满足相角条件，所以可利用相角条件来 判断s平面上的点是否在根轨迹上。 以例4.1.1为例： 假设s平面上有任意点A，如右图所示。 记-p1指向点A的向量为s，-p2指向点A 的向量为s+2，向量s和s+2的相角分 别为A1和A2，假设kg>=0，则开环 传递函数的相角为:
-
G (s)
Y ( s)
H (s)
开环传递函数为： Gk (s) G(s) H (s)
将 Gk (s)写成开环零、极点形式 得：
Gk ( s) k g
(s z )
i i 1 n j j 1
m
(s p )
式中：kg 称为根轨迹增益； zi，p j 为开环零、极点。
绘制根轨迹图的基本方法是根据系统的开环零点、极点以 及根轨迹增益kg来获得系统闭环极点的轨迹 。
根轨迹方程 根轨迹的幅值条件和相角条件
180度和0度等相角根轨迹，等幅值根轨迹
相角条件和幅值条件的使用 用解析法画根轨迹的方法
kg
1
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
1
i
即： | k g | (s z j )
(s p )
i i 1
n
1
1 ， 2， (s z ) (s p ) 2k，k 0，
j 1 j i 1 i
利用根轨迹法可以： 分析闭环系统的稳定性
计算（或估算）闭环系统的瞬态和稳态性能指标 确定闭环系统的某些参数对系统性能的影响 对闭环系统进行校正
例
GK s
GB ( s )
一、根轨迹的基本概念
Y s
2
K 2K s(0.5 s 1) s s 2
2K s 2 2s 2 K