高中数学人教A版必修三教案※1.1 算法与程序框图※§1.1.1 算法的概念一、课标要求1.理解算法的概念，掌握算法的基本特点.2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.二、知识要点1.算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的程序或步骤，这些程序或步骤必须是和的，而且能够在之内完成.2.算法的特点：（1）有限性：一个算法的步骤序列是，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. （2）确定性：算法中的每一步应该是并且能有效地执行且得到，而不应当是模棱两可.（3）顺序性与正确性：算法从开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.（4）不唯一性：求解某一个问题的解法是唯一的，对于一个问题可以有的算法. （5）普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.三、典型例题题型1：算法的概念例1以下关于算法的说法正确的是（）A.描述算法可以有不同的方式，可用形式语言也可用其他语言B.算法可以看成按照要求设计好的有限确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题c.算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果D.算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果变式1算法的有限性是指（）A.算法的步骤必须有限B.算法的最后必须包括输出c.算法中每个操作步骤都是可执行的 D.以上说法都不正确题型2 算法的写法例2已知两个单元分别存放了变量和，下面描述交换这两个变量的值的算法中正确的为（）A.第一步把的值给；第二步把的值给B.第一步把的值给；第二步把的值给；第三步把的值给C.第一步把的值给；第二步把的值给；第三步把的值给D.第一步把的值给；第二步把的值给；第三步把的值给方法规律：变式2某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊、青菜中的一种，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜.设计安全过河的算法.题型3 数值型问题的算法例3写出方程2-4-12=0的一个算法.变式3鸡兔同笼问题：鸡和兔各若干只，数腿共100条，数头共30只，试设计一个算法，求出鸡和兔各有多少只.四、备选例题例1 某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为其中ω（单位：kg）为行李的质量，如何设计计算托运费用（单位：元）的算法.例2计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是（）①S=②S=+③S=A. ①②B.①③ c.②③ D.①②③五、小结与反思§1.1.2 程序框图的概念和顺序结构一、课标要求1.熟悉各种程序及流程线的功能和作用.2.通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图三种逻辑结构之一的顺序结构.3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性.二、知识要点程序框图基本概念：（1）程序框图的概念：程序框图又称 ，是一种用规定的 、 及 来准确、直观地表示算法的图形.一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的 ；带箭头的 ；程序框外必要 .（学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：①使用标准的图形符号.②框图一般按从上到下、从左到右的方向画.③除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框具有超过一个退出点的唯一符号.④判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断.而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果.⑤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.（3）算法的三种基本逻辑结构之一：顺序结构顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构.语句与语句之间，框与框之间是按 的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都 的一种基本算法结构.顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行B 框所指定的操作.三、典型例题题型1 程序框图的识别理解下列关于程序框图的说法中正确的个数是（ ） ①用程序框图表示算法直观、形象，容易理解②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的一图胜万言 ③在程序框图中，起止框是任何流程不可少的④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 下列图形符号属于判断框的是（ ）A B C D题型2 写出算法并画出程序框图例2已知一个直角三角形的两条直角边边长分别为.设计一个算法，求三角形的面积，并画出相应的程序框图.变式2写出求A()，B()两点之间距离的算法，并画出程序框图.题型3 顺序结构例3阅读如图的程序框图，若输入的、b、c分别是21、32、75，则输出的、b、c分别是 . 变式3阅读下图所示程序框图.若输入的，则输出的的值为（）A.24B.25C.30D.40四、备选例题例1已知点P（）和直线:Ax+By+C=O，求点P（）到直线的距离.写出解决该问题的一个算法，并画出相应的程序框图.例2根据上边的程序框图所表示的算法，输出的结构是五、小结与反思§1.1.3 条件结构一、课标要求1.进一步熟悉各种程序框及流程线的功能和作用。

2.通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构剩下的两种：条件结构，循环结构.二、知识要点条件结构：条件结构是指在算法中通过对的判断，根据条件是否而选择的算法结构.条件P是否成立而选择执行A框或B框.无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行.一个判断结构可以有多个判断框.三、典型例题题型1 条件结构基本概念例1下列关于条件结构的描述，正确的是（）A.条件结构的出口有两个，这两个出口有时可以同时执行B.条件结构的判断框内的条件是唯一的C.条件结构根据条件是否成立选择不同的分支执行D.在条件结构的任何一个分支中，只能执行一个语句，而不能是多个变式1给出以下四个问题：①输入一个数，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数中的最大值；④求函数错误!未找到引用源。

的函数值其中需要用条件结构来描述算法的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个题型2 条件结构框图的理解例2输入，按图中所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A.-5B.0C.-1D.1变式2已知，运算原理如图所示，则输出的值为（）A. B. C. D.题型3 分段函数在条件框图中的应用例3已知函数如图表示的是给定的值，求其对应的函数值的程序框图.①处应填写；②处应填写；变式3函数的程序框图如图所示，则①②③的填空完全正确的是 .A.B.C.D.四、备选例题例1如图所示，给出一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值.若要使输入的的值与输出的的值相等，则输入的这样的的值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个例2到银行办理个人异地汇款（不超过100万）时，银行要收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元但不超过100万时，一律收取50元手续费，其他情况不予办理.试设计一个算法描述汇款额为时，银行收取手续费为元的过程，并画出程序框图.五、小结与反思§1.1.4 循环结构和程序框图的画法一、课标要求1.进一步熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.2.通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构剩下的：循环结构. 3.通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图.二、知识要点1.循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件， 的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为 ，显然，循环结构中一定包含条件结构.循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1）一类是 ，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果 ，再执行A 框，如此反复执行A 框，直到某一次条件P 为止，此时不再执行A 框，离开循环结构.（2）另一类是 ，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P 是否成立，如果P 仍然 ，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 为止，此时不再执行A 框，离开循环结构.注意:（1）循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断.因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”.（2）在循环结构中都有一个计数变量和累加变量.计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果.计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次.2.从前面的学习可以看出，设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤：第一步，用自然语言表达算法步骤；第二步，确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框表示，得到该步骤的程序框图；第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图.三、典型例题题型l 循环结构的概念 例1 下列关于循环结构的说法正确的是( ) A.循环结构中，判断框内的条件是唯一的 B.判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行C.循环体中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”D.循环结构就是无限循环的结构，执行程序时会永无止境地运行下去变式1 如图所示是一个循环结构的程序框图，下列说法不正确的是( )A.①是循环变量初始化，循环就要开始B.②为循环体C.③是判断是否继续循环的终止条件D.①可以省略不写题型2 累加问题例2 书写求的算法，并画出相应的程序框图.变式2 设计一个算法，求的值，并画出算法框图.题型3 累乘问题例3阅读如图所示的程序框图，则问该程序框图输出的结果是 .变式3执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的是（）A.120B.720C.1440D.5040题型4 循环体计数问题例4某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）（例4）（变式4）A. B. C. D.变式4阅读如图的程序框图，若输出S的值为-7，则判断框内可填写（）A. B. C. D.四、备选例题例1按下列程序框图来计算：若输入，则输出的S= .例2以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77, 82,94,60.要求将80分以上的同学的平均分求出来.画出程序框图.五、小结与反思※1.2 基本算法语句※§1.2.1 输入、输出语句和赋值语句一、课标要求1.理解学习基本算法语句的意义；2.学会输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法；3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.二、知识要点1.输入语句（1）输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”，变量（2）输入语句的作用是实现算法的功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用隔开.2.输出语句（1）输出语句的一般格式PRINT“提示内容”，变量（2）输出语句的作用是实现算法的功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或以及字符.3.赋值语句（1）赋值语句的一般格式变量=表达式（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给；（3）赋值语句中的“=”称作，与数学中的等号的意义是不同的赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是，而不是，右边表达式可以是一个；（5）对于一个变量可以 .注意:①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式，如：2=X是错误的.②赋值号左右不能对换，如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的.③不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等).④赋值号“=”与数学中的等号意义不同.三、典型例题题型1 算法语句概念的理解例1下列赋值语句中错误的是（）A.N=N+1B.K=K*KC.C=A(B+D)D.C=A/B变式1下列赋值语句正确的是（）A.S=S+i2B.A =-AC.x=2x-lD.p=题型2 利用输入输出语句编写程序例2对于平面直角坐标系中给定的两点A()、B()，编写一个程序.要求输入两点的坐标，输出这两点间的距离.变式2写出如图所示的程序框图对应的算法语句.题型3 算法语句的理解例3下列程序段执行后，变量的值分别为（）A.20,15B.35,35C.5,5D.-5,-5变式3 给出下列程序：此程序的功能为（）A.求点到直线的距离B.求两点之间的距离C.求一个多项式函数的值D.求输入的值的平方和四、备选例题例1已知一个三角形的三边长分别是，它的面积可用海伦-秦九韶公式计算.其中.为计算机设计一个算法，输入三角形的三条边长，输出三角形的面积S，其程序框图为写出对应的算法语句.例2“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的趣题之一.大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中这样描述：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔几何？试设计一个算法，输入鸡兔的总数和鸡兔的脚的总数，分别输出鸡、兔的数量.五、小结与反思§1.2.2 条件语句一、课标要求1.理解学习基本算法语句中条件语句的意义；2.学会条件语句的基本用法；3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.二、知识要点1.条件语句的一般格式有两种：（1）语句；（2）语句；2.IF-THEN-ELSE语句IF-THEN-ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2.分析：在IF-THEN-ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束.计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2.3.IF-THEN语句IF-THEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4.注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF表示条件语句的结束.计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其他语句.三、典型例题题型1 条件语旬概念的理解例1给出下列四个问题:①输入一个数，输出它的绝对值；②求函数的函数值；③求面积为6的正方形的周长；④求三个数中的最大数.其中需要用条件语句来描述其算法的个数是（）A. 1 B.2 B.3 D.4变式1下列关于条件语句的说法正确的是（）A.条件语句中必须有ELAE和ENDB.条件语句中可以没有END IFC.条件语句中可以没有ELSE，但必须有END IFD.条件语句中可以没有END IF，但必须有ELSE题型2 IF-THEN语句的应用例2当输入时，程序输出的结果为（）A.-3.2B.3.2C.3D.-3变式2如果输入出的结果是（）A.7B.10C.5D.8题型3 IF-THEN-ELSE语句的应用INPUT xIF x﹤0 THENx=-xEND IFPRINT xENDINPUT x1，x2IF x1=x2 THENx1=x1+x2END IFy= x1+x2PRINT yEND例3 函数，写出求函数的函数值的程序.变式3 阅读下面的程序：如果输入，则输出的结果为 .四、备选例题 例1 已知函数根据输入的值，计算的值，设计一个算法并写出相应的程序.例2 读下面的程序，并回答问题.该程序的作用是输入的值，输出的值. （1）画出该程序对应的程序框图；（2）若要使输入的值与输出的值相等，问这样的值有几个？五、小结与反思§1.2.3 循环语句INPUT “x=”；xIF x ﹤0 THEN y=x+3 ELSE IF x ﹥0 THEN y=x+5 ELSEy=0 END IFEND IFPRINT yENDINPUT x IF x ＜=2 THEN y=x^2 ELSE IF x ＜=5 THEN y=2*x-3 ELSE y=1/x END IF END IF PRINT y END一、课标要求1.理解学习基本算法语句中循环语句的意义.2.学会循环语句的基本用法.3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.二、知识要点循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有和两种语句结构.即WHILE语句和UNTIL语句.1.WHILE语句（1）WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是：（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件，就执行WHILE与WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句.因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环.2.UNTIL语句（l）UNTIL语句的一般格式是：对应的程序框图是：（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句.三、典型例题题型1 循环语句概念的理解例1在循环语句中，下列说法正确的是（）A.UNTIL型循环可以无限循环B.WHILE型循环可以无限循环C.循环语句中必须有判断D.WHILE型循环不能实现UNTIL型循环的功能变式1下列对WHILE语句说法不正确的是（）A.当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体B.当条件不符合时，计算机不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句C.WHILE型语句结构也叫当型循环D.当型(WHILE)循环结构不能转化为直到型(UNTIL)循环结构题型2 UNTIL语句的应用例2下面的程序运行后第3个输出的数是 .变式2 设计一个计算的直到型算法，并写出程序，画出程序框图.题型3 WHILE 语句的应用 例3 运行下面的程序，输出的结果为 .变式3 下列程序运行的结果为 .四、备选例题例1 设计算法求的值，并画出程序框图及编写程序.例2 某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，大约几年可使总销售量达到30000台?画出解决此问题的程序框图，并写出程序.五、小结与反思※1.3 算法案例※§1.3.1-§1.3.2 算法案例（一）、秦九韶算法与排序A=1 B=1WHILE B<15A=A+BB=A+BWENDC=A+BPRINT “C=”；C ENDi=1 S=0 WHILE S<=20 S=S+i i=i+1 WEND PRINT ；END一、课标要求1.理解算法案例的算法步骤和程序框图.2.理解辗转相除法(欧几里得算法)与更相减损术、秦九韶算法.3.体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.二、知识要点1. 辗转相除法辗转相除法，也叫算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:（1）用较大的数m 除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0；（2）若R0=0，则n为m，n的最大公约数，若R0≠0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；（3）若R1=0，则R1为m，n的最大公约数，若R1≠0，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；……依次计算直至R n=0，此时所得到的R n-1即为所求的最大公约数.2.更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.翻译为：（1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数.3.辗转相除法与更相减损术的区别:（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显. （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为O则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.4.秦九韶算法概念：求值问题：==…=求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题.三、典型例题题型1 辗转相除法（欧几里得算法）例1 4830与3289的最公约数为（）A.23B.35C.11D.13变式1用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）A.1B.2C.3D.4题型2 更相减损法例2用更相减损术求459和357的最大公约数，需要减法的次数为 .变式2用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为 .题型3 秦九韶算法例3利用秦九韶算法求，当时的值，需做加法和乘法的次数分别为（）A. B. C. D.变式3用秦九韶算法求多项式当时的值.四、备选例题例1用秦九韶算法求函数，当的值时，的结果是 .例2用秦九韶算法计算多项式当时的值.五、小结与反思§1.3.2 算法案例（二）一、课标要求1.理解算法案例的算法步骤和程序框图；2.理解进位制的各种转换；3.体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.二、知识要点进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数.对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71，用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.三、典型例题题型1 k进制转换成十进制两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为( )A. 12B.11C. 10D.9下列各数中最小的数是( )A. 101 010(2)B. 210(8)C.1 001(16)D.81题型2 十进制转换成k进制(除k求余法)把89化为二进制数.将十进制数34转化为二进制数.题型3 k进制之间的转换将八进制数127（8）化成二进制数为 .题型4 进位制在算法中的应用例4设计一个程序，实现“除k取余法”.四、备选例题例1设计一个算法，把k进制数（共有n位）化为十进制数b.算法分析：从例1的计算过程可以看出，计算k进制数的右数第i位数字i；与k i-1的乘积i•k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.五、小结与反思※复习小结※一、本章知识网络。