地震作用CQC 与内力CQC 在指标统计中的应用孟磊(中国建筑科学研究院 建研科技股份有限公司 PKPM 设计软件事业部 北京 100013)摘 要：本文介绍了地震荷载的振型分解反应谱算法，以及地震作用CQC 和内力CQC 在倾覆力矩计算中的应用。
并且讨论了倾覆力矩的建筑抗震设计规范算法与轴力方式的区别，及抗规方式和轴力方式在对称布置的框架-核心筒结构，偏置框架-核心筒结构和部分框支剪力墙结构中的应用。
关键字： 振型分解反应谱；CQC 组合；规定水平力；倾覆力矩1.前言对结构进行地震作用分析，并依照分析结果进行设计，是结构抗震设计的重要内容。
现有的地震分析方法分为时程分析法和反应谱法。
《建筑抗震设计规范》GB50011-2010规定使用反应谱法进行地震作用计算，特别不规则的建筑、甲类建筑和表5.1.2-1所列高度范围的高层建筑，应采用时程分析法进行多遇地震下的补充计算[1]。
与此同时，本文结合SATWE 进行了规定水平力的计算以及对其给出的倾覆力矩的抗规方式和轴力方式进行了计算原理阐述，并结合SATWE 对其结果进行对比。
2.地震荷载计算方法振型分解反应谱法是基于坐标变换，将耦联的微分方程分解为n 个相互独立的微分方程，从而将多自由度体系的动力计算转变为单自由度体系的方法。
CQC 方法振型组合适用于经典阻尼线性系统，其基本假定为：1)地震地面加速度是白噪声平稳随机过程，2)不考虑由于零初始条件造成的非稳态反应，3)结构的最大反应与标准差之间具有固定的比例关系[2]，文献 [2]中详细讲解了振型相关系数ρij 在《抗规》中的简化算法的推导，以及其对振型组合的影响。
以下公式为《抗规》考虑扭转耦联的计算公式：FF xxxx xx =∝xx ϕϕxxxx xx γγtt xx GG xx (1)FF yyxx xx =∝xx ϕϕyyxx xx γγtt xx GG xx (2)FF tt xx xx =∝xx φφxx xx γγtt xx rr xx 2GG xx (3)其中，FF xxxx xx 、FF yyxx xx 、FF tt xx xx —分别为i 振型j 层的x 方向、y 方向和转交防线的地震作用标准值； ϕϕxxxx xx 、ϕϕyyxx xx —分别为i 振型j 层质心在x 、y 方向的水平相对位移；φφxx xx —i 振型j 层的相对扭转角； rr xx 2—j 层转动半径，可取j 层绕质心的转动惯量初一该层质量的商的二次方根； γγtt xx —计入扭转的i 振型的参与系数，其计算方法如下单向水平地震作用下的扭转耦联效应计算公式，SS EEEE =�∑∑ρρxx EE SS xx SS EE mmEE =1mm xx =1 (4) 其中，SS EEEE —地震作用标准值的扭转效应； SS xx 、SS EE —分别为i 、k 振型地震作用标准值的效应，可取前9-15个振型；ζζxx 、ζζEE —i 、k 振型的阻尼比；ρρxx EE —i 和k 振型的耦联系数λλTT —i 与k 振型的自振周期比，TT xx TT EE ⁄3.地震作用CQC 和内力CQC3.1 地震作用CQC 计算WZQ.OUT 中输出的每层的地震剪力是外力CQC ，即指地震力荷载的CQC 组合结果。
第j 层楼层剪力和地震力计算方法为VV xxxx =�∑∑ρρxx EE (∑VV ll EE xx nn ll =1∑VV ll xx xx nnll =1)mm EE =1mm xx =1 (5) VV yyxx =�∑∑ρρxx EE �∑VV ll EE yy nn ll =1∑VV ll xx yy nn ll =1�mm EE =1mm xx =1 (6)FF xxxx =�∑∑ρρxx EE (∑FF ll xx xx nn ll =1∑FF ll xx xx nn ll =1)mm EE =1mm xx =1 FF yyxx =�∑∑ρρxx EE �∑FF ll EE yy nn ll =1∑FF ll xx yy nnll =1�mm EE =1mm xx =1 (8)其中，VV ll EE xx ，VV ll xx xx ，VV ll EE yy ，VV ll xx yy —第j 层第l 个抗侧力构件在第k 和第i 振型下x 、y 方向的地震剪力 FF ll EE xx ，FF ll xx xx ，FF ll EE yy ，FF ll xx yy --第j 层第l 个竖向构件在第k 和第i 振型下x 、y 方向的地震力首先在这里的Fx 与Vx 都是外力CQC 的结果，Fx 为各振型按照每层的地震力进行CQC 分层计算得到的结果；而Vx 为各振型的分层地震力先进行单振型内部的楼层叠加，然后再按照CQC 组合方式进行各振型之间的计算。
由于CQC 本身是非线性计算，因此WZQ.OUT 中输出的楼层剪力和地震反应力除顶层以外并不相等。
例如：下图1所示将第31层和第30层的Fx 相加并不等于第30层的Vx ，即F 31x +F 30x =724.89+471.52=1196.41 KN ≠V 30x =1193.74 KN 。
图1 WZQ.OUT 输出结果3.2 内力CQC 计算：VV xxxx =∑�∑∑ρρxx EE (VVll EE xx VV ll xx xx )mmEE =1mm xx =1nn ll =1 WV02Q.OUT 中输出内力CQC 倾覆力矩的是基于构件内力CQC ，上面的公式即为内力CQC 计算方法，也就是先对单个构件在各个振型下的内力进行CQC 运算，然后再对本层所有构件进行累加。
由于CQC 的计算结果本身没有符号，因此SATWE 中采用的是各振型中绝对值最大的值的符号作为最后内力分量的符号，但这种符号取值不能保证是在同一振型下的，只能是单一构件一个分量的最大效应符号，有时不能反映实际情况，如柱的剪力与墙的剪力方向不一致的情况[5]。
这种方式的取值在某些情况下缺乏物理意义。
因此，新版高规使用规定水平力的方式来计算倾覆力矩。
4.倾覆力矩的计算方法4.1 规定水平力由于新版高规使用规定水平力的方式来计算倾覆力矩。
因此首先来介绍规定水平力的计算方法。
规定水平力规范方法是依赖于楼层概念的，并且与多塔划分方式相关。
其确定方法为：《高层建筑混凝土结构技术规程》JGJ 3-2010条文说明3.4.5中指出“规定水平地震力”一般可采用振型组合后的楼层地震剪力换算的水平作用力，并考虑偶然偏心。
水平作用力的换算原则：每一楼面处的水平作用力取该楼面上、下两个楼层的地震剪力差的绝对值；连体下一层各塔楼的水平作用力，可由总水平作用力按该层各塔楼的地震剪力大小进行分配计算。
结构楼层位移和层间位移控制值验算时，仍采用CQC的效应组合[1]。
抗规中规定该水平力一般采用振型组合后的楼层地震剪力换算的水平作用力，并考虑偶然偏心[3]。
其中规定水平力为乘以剪重比调整系数之后得到的数值。
算例如表1：第46层X向规定水平力为|0-1337.74*1.095|=1464.8 KN第45层X向规定水平力为| (1337.74-2299.66)*1.095|=1053.3 KN4.2 框架柱地震倾覆力矩的计算：4.2.1 规定水平力抗规方式图2 框剪和框筒结构计算简图一般情况下将结构中所有剪力墙墙元合并为总剪力墙，作为整体抗弯构件；所有的框架单元简化为总框架，作为整体结构的抗剪切构件；用链杆来考虑楼板的作用。
从力学原理来说，由于链杆为铰接因此仅能传递轴向力，并不能承担剪力，也不能传递由剪力产生的弯矩。
因此，在计算的时候可以简化为抗规6.1.3条文说明中规定的框架部分地震倾覆力矩的计算公式：MM cc=∑∑VV xx xx mm xx=1NN xx=1ℎxx (10)M c--规定水平力下的地震倾覆力矩N--结构层数m--为框架第i层的柱根数V ij--第i层第j根框架柱计算地震剪力h i--第i层层高但是这种简化算法对于一些情况，其表达式不能满足实际状态下的倾覆力矩计算。
比如对不能忽略梁和弹性楼板的剪力，以及由剪力产生的弯矩的结构，即不能简化为剪力墙和框架使用铰接链杆相连的结构。
4.2.2 规定水平力轴力方式：轴力方式也就是按照力学方法计算倾覆力矩，这里首先求解竖向力合力点的位置，然后用本层底部轴力对合力点取矩。
SATWE中第j层取矩合力点位置确定[4]XX xx0=∑|NN xx xx|xx xx xx∑|NN xx xx| (11)其中，X j0为第j层X方向的合力点，N ji第j层X方向规定水平力下各个构件的轴力，x ji为柱或墙的中心点的坐标。
1. 对于单层对称结构图3单层对称结构计算简图图4 多层对称结构计算简图MM ccxx∗=2MM1+NN(2aa+bb)=2(VV cc HH−MM2)+NN(2aa+bb)=2(VV cc HH−NNxx)+NN(2aa+bb)=2VV cc HH+NN(2aa+bb−2xx)=2MM cc+NN(2aa+bb−2xx)由于结构是对称的，因此合力点在整个结构的中间位置。
相对于柱的刚度，剪力墙的刚度较大，因此造成了结构抗侧刚度不一致，梁上弯矩的反弯点靠近抗侧刚度较小的一侧。
从上式可以看出，相对于抗规的倾覆力矩计算公式，上面公式多了一项NN(2aa+bb−2xx)/2。
2. 对多层结构的倾覆力矩如图4所示[5] [6]：由单层结构推广到多层结构其计算公式为：MM ccEE ∗=∑[NN EExx �xx EExx −xx EE 0�+MM EExx ]nncc xx =1 (12)MM ccEE∗--第k 层的框架的倾覆力矩 NN EExx --第k 层第j 根柱的轴力Nc --第k 层框架柱根数5.例题分析抗规方式与轴力方式的区别5.1 对称布置的框架-核心筒结构图5 对称布置框架—核心筒 图6 平面布置图图5和图6所示31层框架-核心筒结构，混凝土构件强度为C50，1-5层柱截面为900mm*900mm ，6-7层为850mm*850mm ，以此类推减小至500mm*500mm ；梁截面，主梁截面为350mm*900mm ，次梁截面为300mm*700mm ，剪力墙厚度从底层350mm 减小至顶层200mm 。
嵌固端为结构底部，无地下室。
计算结果见表2 ：表2 WV02Q.OUT 倾覆力矩( KN*m)规定水平力框架柱及短肢墙地震倾覆力矩(抗规)规定水平力框架柱及短肢墙地震倾覆力矩(轴力)表3 框架承担的倾覆力矩两种算法的差别由表2输出的计算结果可知嵌固端第1层x方向由力学方式计算的倾覆力矩为270407.9KN*m，而由抗规方式计算出的倾覆力矩为125375.1KN*m，在X方向轴力方式计算出来的倾覆力矩是抗规方式的2.16倍；Y 方向为2.06倍。